2024-2025高中物理竞赛辅导 实验理论含答案

2024-2025高中物理竞赛辅导实验理论含答案实验理论物理学是一门实验科学，几乎所有的物理定律都来自于物理实验并不断地受到新的物理实验的检验，因此研究物理实验是每个对物理感兴趣的同学必须做的工作，正因为如此，物理实验在物理竞赛中也占有重要的地位，不论是全国物理竞赛，还是国际奥林匹克物理竞赛，实验内容都要占30%—50%的比例。一、

有关实验的基础知识（一）实验误差的概念1、为什么要讨论测量误差任何物质都有自身的各种各样的特性，反映这些特征的量所具有的客观真实数值，称为真值。测量的目的就是力图得到真值，但是由于测量的方法、仪器、环境和测量者本身都必然存在着某些不理想情况，所以测量不能无限精确，在绝大多数情况下，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，这就是测量误差，测量误差的大小反映我们的测量偏离客观真实数值的大小，反映测量结果的可信程度。从某种意义上说，不给出测量误差的测量结果是没有意义的，是无法使用的，例如我们测量出某种合金的密度是（3.2，即说明这种合金的密度不会小于，不会大于。如果用这种合金制造飞机，就可以估计出飞机的最大和最小质量。相反，如果测出的密度没有误差范围，是没有实际使用意义的。测量误差是反映测量结果好坏的物理量，它与实验的各个方面都有密切的关系，例如，我们要根据测量误差的限度制定实验方案，即确定实验原理和步骤，并选用器材，在实验操作过程中，要千方百计减小误差，最后，通过对实验数据的处理，确定实验结果的误差，由此可见，考虑实验误差是贯穿于实验全过程的事。2、实验误差的分类（1）绝对误差和相对误差误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。1）绝对误差：测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差，定义为：绝对误差（）=绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。2）相对误差：绝对误差无法表示测量质量的高低，例如在测量上海到北京的距离时，如果绝对误差是1米，测量质量已很高；但是如果测量百米跑道时产生1米的误差，则测量质量就不好了，为了说明测量质量的高低，我们还要引入相对误差的概念，其定义为：相对误差（E）=绝对误差（）真值（A）相对误差常用百分数的形式来表示：（2）系统误差和偶然误差误差按其性质及其产生的原因，又可以分为系统误差和偶然误差两种。1）系统误差：系统误差的特征是带有确定的方向性，在相同的条件下，对同一量进行多次测量，误差的正负保持不变，如果测量值偏大，则总是偏大；如果测量值偏小，则总是偏小，系统误差的来源主要有以下几个方面：原理误差：由于测量所依据的理论公式的近似性（不完善性）而造成的误差，例如，单摆的周期公式，它成立的条件是摆角趋近于零，否则就是一个近似公式；又如用伏安法测电阻时，因忽略了电流表的分压作用或电压表的分流作用，测得的结果只能是近似值。仪器误差：由于测量仪器本身的缺陷而造成的误差，例如尺子过长或过短、秒表零点不准、天平不等臂、砝码不够标准等等。环境误差：由于测量时周围的环境（温度、压力、湿度等）不理想而造成的误差。例如在20℃时定标的标准电阻在30℃的环境中使用等。很明显，由于系统误差有固定的偏向性，所以用多次测量求平均值不能减小系统误差，但如果我们找到了某个系统误差产生的原因，就可以采取一定的方法去减小它的影响，或者对测量结果进行修正。2）偶然误差：偶然误差的特征是带有随机性（因此偶然误差也叫随机误差）。在测量中，如果已经基本消除了引起系统误差的一切因素，而测量结果仍然无规则地弥散在一定的范围内，这种误差叫偶然误差。偶然误差的可能来源是：测量者自身感官（如听觉、视觉、触觉）的分辨能力不尽相同，外界环境的干扰等等。偶然误差是无法控制的，但它的出现却服从一定的统计规律。常见的一种规律是：大于真值和小于真值的测量值了现的机会相等；而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多；偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。因此，用增加测量次数求平均值的方法，可以减小偶然误差。关于因仪器损坏，设计错误，操作不当而造成的测量错误，则不是测量误差。（二）偶然误差1、直接测量中偶然误差的估算所谓直接测量，就是直接用测量仪器进行测量得到结果。（1）单次测量的误差估算在物理实验中，有时由于对测量的精度要求不高，或由于测量对象的不可重复性，对一个物理量的直接测量只进行一次，这种测量方法叫做单次测量。单次测量结果的误差因测量工具的不同常有以下几种确定方法：1）取测量仪器最小刻度的1/5或1/2作为测量误差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作为测量误差,一般温度计取0.2℃或0.5℃作为测量误差等等.2)天平取其感量作为测量误差,例如物理天平可取0.02g,托盘天平可取0.1g作为测量误差.3)机械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操纵表的人难免按之过早或过迟,因此可取0.1s或0.2s作为测量误差.手动的电子秒表尽管可以显示0.01s,但由于同样的原因也只能取0.1s或0.2s作为测量误差,0.01s位上的数字是没有实际意义的.4)电表(电压表、电流表)的测量误差有特定的确定方法：每个电表都有一个准确度级别（0.2级、0.5级、1级、2.5级、4级），电表的测量误差不会大于其量程和它的级别的百分阶段之一的乘积.例如有一个0.5级的电流表,量程为3A,那么其测量误差5)电阻箱同样也用级别表示误差的大小，但电阻箱级别和电表的级别略有不同。n级电阻箱的测量误差为其当时阻值与n%的乘积。（2）多次测量结果和误差估算测量某一个物理量时，为了减小偶然误差，在可能的情况下，应多次重复测量。如果在相同的条件下对某一物理量进行了n次测量，各次测量分别为，那么其平均值）根据误差统计误差，可证明在一组测量n次的数据中，其算术平均值最接近于真值，此算术平均值称为测量的最佳值。当测量次数n无限增加时，最佳值将无限接近于真值。一般就将最佳值为多次测量的结果。严格地说，误差是测量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且当测量次数多时，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值来估算误差。仍以上例来说明误差的估算方法。…（3）测量结果的表示测量结果应该包括数值、误差和单位三个部分。通常将测量的结果写成单位。其中是测量值，可以是一次测量值，也可以是多次测量的最佳值，是绝对误差。为了更清楚地表示测量质量的好坏，还应同时写出其相对误差.这里要说明两点：①在误差运算的过程中，一般只取一到二位有效数字，最后表示绝对误差的值一般只取一位而且应该和测量最佳值的最末一位对齐，为了确保误差范围的有效性，一般是只入不舍。②测量结果为并不表示x为两个值，而是表示x一般在这个范围之内。2、间接测量中偶然误差的估算所谓间接测量，就是应用直接测量得到的值，经过计算得到自己所需要的结果。例如测一块圆柱体金属的密度，可以先通过直接测量得到它的直径D、高h和质量m，然后用公式计算出密度。因为计算中所用的直接测量值都是有误差的，所以算出来的间接测量值当然也是有误差的。下面就讨论在不同类型的计算中，怎样由直接测量的误差得到间接测量的误差。设x为间接测量的量，而A、B、C…为直接测量的量，它们之间满足一定的关系，即x=f(A,B,C…).如果各直接测得量表示为将这些量代入f(A,B,C…)中，便可以求得其中为间接测得量的最佳值，是间接测得量的绝对误差。（1）加法运算中的误差若x=A+B+C+…则其中最佳值绝对误差由于A、B、C都是互相独立的，它们的绝对误差可能为正，也可能为负。在最不利的情况下，可能出现的最大误差是。我们规定此可能的最大误差为x的误差。（2）减法运算中的误差若x=A-B-C-…则其中最佳值绝对误差按前面所讲，在最不利情况下，取由此可见，加减运算结果的绝对误差等于各直接测得量的绝对误差之和。（3）乘法运算中的误差若则其中最佳值绝对误差由于(即比或更小的小量),可以忽略不计,所以,.在最不利的情况下,取,于是相对误差为(4)除法运算中的误差若则)其中最佳值绝对误差,在最不利的情况下,取.相对误差为=由此可见,乘除运算结果的相对误差等于各直接测得量的相对误差之和.这个讨论虽然是从两个因子乘除的运算中推导出来的,但可以推广到任意多个因子乘除的运算中去,如果加、减、乘、除运算中有的因子是公认的理论值或测量值，那么可以不考虑它的误差。（5）乘方和开方运算中的误差若。如果n是整数就是乘方运算，如果n是分数就是开方运算。（6）三角函数运算的误差若若若若若若上列式中分别表示x和A的绝对误差。限于数学工具，以上公式我们不作推导。掌握了间接测量的误差传递公式，不但可以在实验结束后估算出实验结果可能的误差，还可以在实验前帮助我们确定实验方案和改进实验操作。请看下面一例：试用单摆测量某地的重力加速度，可提供的工具除了单摆之外还有米尺、秒表等，要求测得的g的相对误差小于1%。根据单摆的周期公式根据误差传递公式可知因为要求，进行适当的分配，可确定操作目标为：，摆长是用米尺测量的，一般取，因考虑到摆线可能有一定的伸缩性，取较妥（已留有相当的余地）。因此摆长周期是用秒表测量的，以开、停表都有0.2秒的误差计,,因此总计时图5-1图5-1这样我们在实验中用摆长为1m左右的单摆,用秒表测出它摆动100次左右的时间,即可达到题设的要求.如图11-1所示的比重瓶是一种有准确的固定体积的容器(瓶中装满液体,然后将塞子盖上,多余的液体会从塞子中央的细管中溢出,这样便保持了瓶中液体一定的体积),要求用此瓶测定一种小金属粒的密度,可提供的仪器还有天平、砝码和蒸馏水。这个实验的原理不复杂，先测了金属粒的质量，再测出装满水的比重瓶的质量最后将金属粒放进装满水的比重瓶中，测出带金属粒和水的比重瓶的质量。这样，被金属粒排出的水的质量便是，这部分水的体积是，这也就是金属粒的体积，于是金属粒的密度便是实验操作中一个有待决定的问题是：金属粒是多放一些好还是少放一些好？因为的相对误差其中有公认值，故可以忽略。对同一架天平来说,是确定的,不难看出,当金属粒放得比较多时,上面两式的分母都比较大,相对误差就比较小.因此尽量多放些金属粒,能减小实验结果的误差.(三)有效数字及其运算1、有效数字如上所述，用实验仪器直接测量的数值都含有一定的误差，因此测得的数据都只能是近似数，由这些近似数通过计算而求得的间接测量值也是近似数。为了使间接测量结果合理些，对近似数的表示和计算都有一些规则，以便确切地表示测量和运算结果的近似性。从仪器上读出来的数值，经常有一位数是估计出来的，或多或少存在着误差。例如米尺的最小刻度是mm(0.001m)，那么用米尺测量长度可读到十分之一毫米(0.0001m).0.001m这一位可以从米尺上读出来，是可靠的，0.001m位前面的数都是可靠数，0.0001m这一位是测量者估读出来的，估读的数字因人而异，因此是有疑问的，称为存疑数。由于0.0001m位已存疑，在它以后各位数的估读已无必要。我们把可靠数加上最后一位存疑数，一起记录下来，统称为有效数字。在应用有效数字进行数据处理时应注意以下几点：（1）自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9如出现在测量中，均为有效数字。“0”出现在其它数字之后或之间为有效数字，如出现在其它数字之前就不是有效数字了，它们只起定位作用。例如0.08020，前面两个零不是有效数字，后面四个数都是有效数字，因此它有四位有效数字。（2）读数时，必须按照仪器要求读出测量值，即使末位是“0”，也不能任意舍去。在数学中我们认为2.10cm、2.100cm、2.1000cm是相同的，而在物理中却表示了用三种不同的测量工具所测量的结果，其估读的可疑数分别在0.01cm、0.001cm、0.0001cm这些位上，所以我们决不能在测量结果后面任意加上或丢掉“0”。（3）有效数字是由测量对象和测量仪器所决定的，单位的换算不能改变有效数字的位数，因而必须注意单位换算时的正确表示法。例如将3.70m化成毫米单位，不能写成3700mm而应该用指数表示法写成,仍表示三位有效数字；将280mm换成以米作单位，不能写成2.8m,而要写成2.80m。2、有效数字的运算法则在有效数字运算过程中，为了做到不因运算而引进“误差”或损失有效位数，以不影响测量结果的精确度为原则，人们对有效数字的近似运算法则作了统一规定。（1）有效数字的加减我们通过下面两个例子的运算，了解一下加、减运算中有效数字的取法。

计算时，我们在存疑数下面加横线，以使之与可靠数字相区别，在相加结果35.37中，由于第三位数“3”已为存疑数字，后面的一位便毫无意义，按四舍五入的原是处理，本例应向前进位，与成35.4，有效数字为3位。同理，相减的结果应该为22.72，舍去了尾数“4”，有效数字为4位。在上面的例子中，如果我们按照位数对齐相加或相减诸数，并以其中存疑位数最靠前的量为基准，事先进行四舍五入，取齐诸量的尾数，则可简化运算过程，而结果仍然相同。仍用上面两个算式为例，具体算法如下：

这个结论可以推广到多个量相加或相减的运算中去。（2）有效数字的乘除我们通过下面两个例子的运算，了解一下乘、除运算中有效数字的取法

计算过程中，凡是有存疑数字参于运算而得到的量都是不可靠的。在运算结果中，存疑数字只保留一位，其后面的存疑数字是没有意义的。因此上面两个例子的结果分别为110和173，有效数字都是三位。从以上两个例子中可以看到，两个量相乘（或除）的积（或商）其有效数字与诸因子中有效数字位数最少的相同。这个结论可以推广到我个量相乘除的运算中去。（3）有效数字的乘方、开方按照确定乘法运算结果有效位数的方法，可知乘方运算的结果，x的有效位数应与其底数A的有效位数相同。当n是分数时，就是开方运算，也可看作是乘方的逆运算，根的有效位数与被开方数的有效位数相同。以上这些结论，在一般情况下是成立的，但也有例外/只要我们掌握了有效数字的意义和存疑数了取舍的原则，是不难处理的。还应该指出，有效数字讲的是实验数据记录和运算的规则，它不能代替绝对误差和相对误差的计算。在实验中，如果两者发生矛盾，以误差计算法则为准。如果因为各项误差的积累，使间接测量的绝对误差较大，这样就便得根据有效数字运算法则算出来的本来应该可靠的位数也产生了误差，那么就将这一位数作为存疑数，后面多余的存疑数全部舍去。（四）系统误差图5-2图5-21、由实验原理的不完善带来的系统误差以伏安法电阻为例，不论是图11-2（a）所示的电流表外接，还是图11-2（b）所示的电流表内接，都旧有系统误差的，对此系统误差，有两种办法处理，一种是对实验结果进行修正，另一种是地实验线路进行补偿。图5-4以图5-2（a）线路为例，如果事先已知电压表的内阻，即可对实验结果进行修正，如果电压表和电流表的读数分别为U和I图5-4如果电压表的内阻未知，则可改进实验线路，进行电流补偿（图5-3（a））或电压补偿（图5-3（b））。仔细地调节滑动变阻器R，使电流表的读数为零。此时因为a、b两点等势，所以电压表的读数就是的电流，这样就消除了由于电流表分压及电压表分流而带来的系统误差。注意，图5-3只是电流补偿和电压补偿的原理图，在实际操作中，还须有一些附加部件。例如在电流计上必须串一个滑动变阻器以保护电流计，电路未调平衡时将滑动变阻器置于阻值最大处，随着逐渐调平衡慢慢减小滑动变阻器的阻值直至零。2、由于测量仪表不准确带来的系统误差图5-3所示的补偿电路解决了由于实验原理不完善带来的系统误差。但电压表和电流表的准确度是很有限的（一般中学里用的电表都是2.5级的，即使大学专业实验室中的电表也只有0.5级），这会给测量结果带来较大的误差。为了用准确程度要高得多的电阻代替电表来测量，我们可以这样来分析一下图5-3（a）的电路，将R分画成两个电阻（图5-4）。我们假定有四个电阻‖，，根据欧姆定律这样，如果三个电阻都已知，也就测得了。将图5-4改画成图5-5，都用电阻箱。这就是我们熟知的惠斯通电桥。电阻箱的准确度要比电表高得多，中学里用的多数为0.2级，稍好一些的即可达0.02级。3、由外界环境带来的系统误差用量热器做热学实验时，实验系统和外界的热交换是一个比较难解决的问题，此时我们可以用“异号抵消”的思想来减小这一系统误差。在用混合法测定冰的熔解热的实验中，将量热器假定成一个完美的绝热系统，但这在职实验中是无法做到的，我们采用“异号抵消”法来尽量减小量热器和周围环境之间的热传递给实验结果带来的系统误差。在实验过程中，环境温度可以认为是不变的。适当选取量热器内水的初温和水、冰的质量，使量热器在实验的前一部分时间内向周围环境放热，在实验的后一部分时间内从周t1tθt1tθt2T1TθT2图5-6S1S2怎样才能使量热器的放、吸热基本相同呢？我们以时间t为横轴，以量热器温度T为纵轴，可得如图11-6所示的图线。AB是冰块投入前的自散热线，BCD是冰的熔解线，DE是自然吸热线，从这段时间内，量热器的温度高于室温，量热器向周围环境放出来的热量可用BFC这个曲边三角形的面积来表示（暂不作证明）。从这段时间内，量热器的温度低于室温，量热器从周围环境吸收的热量可用曲边三角形CGD的面积来表示，适当地控制水的初温和水、冰的质量，使相差不多，即可认为量热器与外界基本没有热交换。（五）图线法处理实验数据1、图线法的作用和优点物理实验中的图线法，是用作图来得到实验结果，它是一种应用得很广泛的处理实验数据的方法。特别是在有些科学实验的规律和结果还没有完全掌握或还没有找到明确的函数表达式时，采用作出的图线来表示实验结果，能形象、直观地显示出物理量变化的规律。图线法有取平均的效果。一般的图线是根据许多组数据拟全出来的平滑曲线或直线，这样的图线就有多次测量取平均的作用。图线法还可以帮助我们发现某些错误。如果在描图过程中发现某个点偏离得特别远，则提示测量或数据计算中可能有错误，应重新测量或进行校对。2、作图线的规则（1）作图线必须用坐标纸，我们一般采用毫米方格纸坐标纸的大小根据实验数据的有效位数来确定，一般的原则是：测量数据中的可靠数字在图线中也应该是可靠的，测量数据中的存疑数字在图线中应该是估画的，即坐标中的最小格对应于测量值的有效数字中可靠数字的最后一位。（2）坐标轴的坐标与比例通常以横轴代表自变量，纵轴代表因变量。在坐标轴的末端近旁标明所代表的物理量及单位。作图线时，根据需要横轴和纵轴的标度可以不同，两轴的交点也不一定要从零开始。要力求整个图线比较对称地占据整个图纸，不要偏在一角或一边。（3）图线的标点与连线根据测得的数据，用削尖的铅笔在坐标图纸上对应地以“⊙”标出各数据的点。同一坐标纸上如有不同的图线，应当用不同的符号，如“+”，“△”等来标点。当数据点标好后，用直尺或曲线板等作图工具，把它们连成直线或光滑曲线。除特殊情况（如校准曲线）外，绝不允许连成折线，也不允许连成“蛇线”。图线不一定通过每个数据点，但要求数据点在图线两旁有较均匀的分布。（4）在坐标纸上应标明图的名称，一般要求在图纸上部附近的空旷位置写出简要完整的图名，文字要用仿宋体。3、用图解法求直线的斜率和截距如果图线为直线，其函数式为y=kx+b，那么可以从图线上解出其斜率k和截距b。具体求法是在直线上任意取两点两点不能靠得太近，一般取在靠近直线两端的地方。在直线上确定这两点的坐标之后，即可列出方程组解方程组，得直线斜率 如果x坐标的起点为零，则可直接从图线上读取直线与y轴的交点的y的坐标，就是直线的截距b。如果x坐标轴的起点不为零，则要在图线上再取一点有要注意的是都要由图线上取得，不可用原来的实验数据点。为了减少误差，这三个点的确良x坐标可取整数，读坐标值时，只要读取它们的y坐标即可。4、曲线化直在实验中，会遇到各种各样的函数形式，其中一次函数的图线最容易精确绘制，并且可以根据图线求出所需要的数据（一般是求出图线的斜率k和截距b，然后再根据k和b求出所需实验结果）。所以，我们常通过一些变换，将曲线函数化成直线函数，这一工作可称为“化直”。物理实验中常遇到下列函数图线类型函数式例子物理公式直线匀变速运动抛物线单摆双曲线玻意耳定律平方反比库仑定律指数曲线阻尼振动下面具体说明怎样将上述函数“化直”：（1）抛物线，设y=Y,（2）双曲线，设y=Y,（3）平方反比，设y=Y,（4）指数曲线，设作了上列变换后，再作~X图线，便可得到直线。5、图线法求实验结果图线法求实验结果的一般步骤是：（1）改变实验条件多次重复测量，得到一系列实验数据；（2）进行数据变换，得到直线形函数（3）拟合出图线（直线）；（4）求出图线的斜率k和截距b；（5）从k和b中间求出所需要的实验结果。6、图线法探索物理规律在已知物理规律（如上例中已知）时，可以用图线法来求实验结果；如果物理规律尚不清楚，也可以用图线法来探索物理规律。先看一个物理学史上的事例：欧姆当年研究电压、电流和电阻三者之间的关系时，非但没有测量电压、电流、电阻的电表，连电压、电流、电阻的概念都没有。他以导线的长度L代表电阻，以放在通电导线旁边的小磁针的偏转角度代表电流强度，得到如下实验数据：L（英寸）24610183466134（度）30528125922417812579440.3280.3560.3860.4460.5610.8001.272.27

我们可以通过以下步骤来探索当电压一定时，电流（）和电阻（L）的关系。20406080100120140（英寸）20406080100120140（英寸）1/θ度3

2

1图5-920406080100120140（英寸）θ度300

200

100图5-8（1）以纵轴代表，横轴代表L，作出~L图线（图11-8）（2）根据图11-8初步判断与L成反比关系，因此再算出一系列值，并试作图线（图11-9），得到一条不过原点的直线。这说明与L不成反比关系，但和L却成线性关系。（3）设,其中k为图线的斜率，b为图线在纵轴上的截距，上式可化成（4）在图线上取两点：求出图线的斜率从图11-9中可直接看出图线的截距，所以这个式子和我们今天常用的全电路欧姆定律已完全一样了，式中6600代表电动势，20代表内阻。7、图线法的局限性由于图线一般都是靠目视而拟合出来的（这种方法叫直觉拟合），因此在拟合过程中人的因素难免要起作用。同一组数据，两个人通过直觉拟合得到的结果一般不可又红又专完全一样，这就说明图线法处理数据的过程又会给实验结果带来一些新的“误差”。因此，直觉拟合作图法是一种比较粗略的数据处理方法，一般不讨论结果的误差。（六）线性回归法直觉拟合法最大的缺陷就是无法克服连线时的主观随意性，也就是说，直接拟合很难找到一条离各个数据点最近的图线。那么是否可以通过严格的数学方法找到这条最佳的图线呢？这就是下面要讨论的问题。1、线性回归法（最小二乘法）假定变量x和y的关系是线性的y=kx+b其图线是一条直线。在实验中测得n组数据现在的问题是怎样根据这些数据确定上面线性方程中的k和b。为了理论上计算的需要，假定中只有是有误差的。在实际处理实验数据据时，可以把两个变量中相对业说误差较小的变量作为x。我们对回归直线提了的标准是：要求从各数据点到回归直线的竖直距离平方之和为最小，也就是说，要求出k和b等于什么值时，各数据点到回归直线的竖直距离平方之和取得极小值。由于数学知识的限制，这里不介绍具体推导，只给出结论供使用：令那么斜率截距式中符号表示求和，如果共有n个数据点，那么这个计算过程看起来比较复杂，但在职电脑使用日益普及的今天，用电脑来完成这样的工作很方便。一些功能比较齐全的计算器具有二维统计功能，也能自动完成这些计算。在统计理论中还给出一个叫做相关系数的量，它主要表征x、y两个变量相关的程度。从图线上看，如果x、y的相关程度高，那么数据点都比较靠近拟合出来的图线；如果相关程度低，那么数据点就比较分散。相关系数当x与y完全不相关时，r=0；当x与y正相关，即回归直线的斜率为正时，r>0;当x与y负相关，即回归直线的斜率为负时，r<0；当所有数据点都在回归直线上时，。所以，r的数值只能在（-1）和（+1）之间。图11-10说明了数据点分布情况不同时的相关系数。（2）线性回归法的误差由于线性回归法是建立在严格的统计理论基础上的，因此可以计算回归直线方程的系数k和b的误差，同样由于数学方面的原因，这里只给出计算结果：k的相对误差：k的绝对误差：b的绝对误差：b的相对误差：有了k和b的误差，便可以确定k和b的有效位数了：使k和b只保留一位存疑数，即让误差的位数和k、b的最末一位数相同。3、线性关系显著的标准由对相关系数r的讨论可知，对一个实际问题，只有当相关系数r的绝对值大到一定程度时，才可以用回归直线来近似地表示变量x和y之间的关系，即可以认为x与y成线性关系。因此，要有一个标准，在这个标准之上，就可以认为x与y线性关系显著。线性关系显著的标准与数据点的个数有关，下面我们给出两个变量达到线性关系显著标准的相关系数的最小值（此值还与显著性水平有关，这里列出的是显著性水平a=0.01时的相关系数的最小值）。下表中n为数据点个数，r为相关系数的最小值。n34567891011r1.0000.9900.9590.9170.8740.8340.7980.7650.735n121314151617181920r0.7080.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.561下面用一个很简单的例子来说明线性回归法处理实验数据的具体做法。在研究导体上的电流I和导体两端的电压U的关系时，得到如下数据：U（伏）0.400.600.800.951.101.301.602.00I（毫安）2.784.105.146.107.458.8610.8213.10(1)对以上数据进行线性回归处理 （2）计算相关系数及误差（3）根据以上计算，可以得到下列结论①电流I和电压U的相关系数为0.9988,因为0.9988>0.834,因此是显著相关，说明I和U成线性关系。②回归直线的截距b=0.06953,而，因此可以认为回归直线过原点，说明I和U成正比。③导体的电阻

因此温度和气体分子运动论§1。1温度1．1．1、平衡态、状态参量温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P、V、T就是气体的状态参量。气体的体积V是指盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m。1m=103L=10cm气体的压强P是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是p。1atm=76cmHg=1.01310p1mmHg=133.3p1．1．2、温标温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是：1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0℃，汽点为100℃，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K。这样0℃与冰点，100℃与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。1．1．3、理想气体温标定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。T(P)=P是比例系数，对水的三相点有T=P=273.16KP是273.16K时定容测温泡内气体的压强。于是T(P)=273.16K(1)同样，对于定压气体温度计有T(V)=273.16K(2)是273.16K时定压测温泡内气体的体积。用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K，定义式为T=T(V)=T(P)=273.16K=273.16K(3)1．1．4、热力学温标理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K～1000℃)，T＜1K，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是：t=T-273.15(4)这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为510K，但是绝对零度是不可能达到的。例1、定义温标t与测温参量X之间的关系式为t=ln(kX),k为常数试求：(1)设X为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点，试确定t与热力学温标之间的关系。(2)在温标t中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t中，是否存在零度？解：(1)设在水三相点时，X之值是，则有273．16=In(kX)将K值代入温标t定义式，有(2)热力学温标可采用理想气体温标定义式，X是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有(3)因测温物质是定容稀薄气体，故满足X→0的要求，因而(2)式可写成(4)这是温标与温标T之间关系式。(2)在热力学温标中，冰点，汽点。在温标中其值分别为(3)在温标中是否存在零度？令=0，有低于1K任何气体都早已液化了，这种温标中=0的温度是没有物理意义的。§1-2气体实验定律1．2．1、玻意耳定律一定质量的气体，当温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常数，式中常数C由气体的种类、质量和温度决定。PV贮气筒PV贮气筒b图1-2-1简单抽气机的构造由图1-2-1示意，它由一个活塞和两个阀门组成。当活塞向上提升时，a阀门打开，贮气筒与抽气机相通，气体膨胀减压，此时b阀门被关闭。当活塞向下压缩时，b阀门打开，a阀门关闭，抽气机内的气体被压出抽气机，完成一次抽气。贮气筒被抽气的过程，贮气筒内气体质量不断在减小，气体压强也不断减小。设第一次抽气后贮气筒内气压，第n次抽气后贮气筒内气压，则有：整理得PV贮气筒b图PV贮气筒b图1-2-2塞上提时，a阀门打开，b阀门关闭，外界空气进入压气机中，活塞下压时，压气机内空气被压入贮气筒，而此时阀门a是关闭的，这就完成了一次压气过程。每次压气机压入贮气筒的气体是，故1．2．2、盖—吕萨克定律一定质量的气体，当压强保持不变时，温度每升高1℃，其体积的增加量等于0℃时体积的。若用表示0℃时气体的体积，V表示t℃的体积，则。若采用热力学温标，则273+t为摄氏温度t℃。所对应的热力学温度T，273为0℃所对应的热力学温度。于是，盖—吕萨克定律可写成。若温度为T时，体积为；温度为时，体积为，则有或。故盖—吕萨克定律也可表达为：一定质量的气体，当压强保持不变时，它的体积与热力学温标成正比。1．2．3、查理定律一定质量的气体，当体积保持不变时，它的压强与热力学温度成正比式中常数C由气体的种类、质量和体积决定。汞柱移动问题的讨论：一根两端封闭、粗细均匀的石英管，竖直放置。内有一段水银柱，将管隔成上下两部分。下方为空气，上方为一种可分解的双原子分子气体。该双原子分子气体的性质为：当＞时，其分子开始分解为单原子分子(仍为气体)。用表示时的双原子分子数，表示时分解了的双原子分子数，其分解规律为当△T很小时，有如下关系：。已知初始温度为，此时下方的气柱长度为，上方气柱长度为，水银柱产生的压强为下方气压的倍。试讨论当温度由开始缓慢上升时，水银柱将上升还是下降。假设水银柱不动。当温度为时，下方气体压强为，温度升至，气体压强。水银柱压强为，故当T=时，上方气体压强为，当温度升至，有个双原子气体分子分解为个单原子气体分子，故气体分子数由增至个。令此时压强为，管横截面积为S，则有：解得，因△T很小，故项起主导作用，而项的影响较之第一项要小得多，故从分析如下：①当＞时，＜0时，水银柱上升，②当＜时，＞0水银柱下降。③当=时，＞0水银柱下降。以上三个实验定律只能反映实验范围内的客观事实，它们都具有一定的近似性和局限性。对于一般的气体，只有当压强不太大，温度不太低时，用三个定律求出的结果与实验数据才符合得很好。如果压强很大或温度很低时，用这三个定律求出的结果与实验结果就会有很大的偏差。1．2．4、理想气体它是能够准确遵守气体实验定律的一个气体的理论模型。对查理得律，设P和分别表示和时气体压强，则有，对盖—吕萨拉定律，设和分别表示和时气体的体积，则有，PoLo图1-2-3PoLo图1-2-3n0例1、一个质量m=200.0kg、长=2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部(图1-2-3)桶内的横截面积(桶的容积为)，桶本身(桶壁与桶底)的体积，桶内封有高度的空气，池深，大气压强水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值，试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水(包括池水和桶内水)的机械能改变了多少(结果要保留三位有效数字)。不计水阻力，设水温很低，不计其饱和蒸气压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。解：在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气(空气质量不计)这一整体的浮力将增大。本题若存在桶所受浮力等于重力的位置，则此位置是桶的不稳定平衡点，再稍上提，浮力将大于重力，桶就会上浮。从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底到达水面并冒出。因此绳对桶的拉力所需做的最小功的过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力的位置所历的过程。HL`图1-2-4下面先看这一位置是否存在。如果存在的话，如图1-2-4HL`图1-2-4(1)代入已知数据可得(2)设此时桶的下边缘距池底的高度H，由玻——马定律可知(3)由(2)、(3)式得到H=12.24m(4)因为H＜，即整个桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置。现在要求将桶由池底缓慢地提高到H处桶及水的机械能的增量△E。△E包括三部分：(1)桶势能的增量；(2)在H高时桶本身排开的水可看作下降去填充在池底时桶本身所占空间而引起水势能的增量；(3)在H高度时桶内空气所排开的水，可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空间，由于空气膨胀的那部分上升到水池表面，由此引起水势的增量。则；；。

§1-3理想气体状态方程1．3．1、理想气体状态方程反映气体在平衡态下状态参量之间规律性联系的关系式称为气态方程。我们知道，理想气体状态方程可在气体实验定律的基础上得到，一定质量的理想气体的两平衡参量之间的关系式为（5）在标准状态，，1mol任何气体的体积m3mol-1。因此vmol气体在标准状态下的体积为，由(5)式可以得出：由此得到理想气体状态方程或称克拉珀龙方程：式中R称为摩尔气体恒量，它表示1mol气体在标准状况的的值，其值为推论：1、1mol的任何物质含有的粒子数，这称为阿伏伽德罗常数。设质量为m、摩尔质量为M的气体，其分子数为N，则此气体的摩尔数为(6)同时引用玻耳兹曼常数k的物理意义：1个分子在标况下的。将(6)式代入(5)式，可以得到(7)或者 (8)2、气体密度：由(5)式可以得到(9)例如空气的平均摩尔质量，在标准状态下空气密度为由(5)式可知，对于理想气体，可应用气态方程的另一形式，为(10)3、气体的分合关系：无论是同种还是异种理想气体，将质量为m，状态为PVT的理想气体被分成若干部分()时，则有(11)1．3．2、混合理想气体状态方程1、道尔顿分压定律指出：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。这条实验定律也只适用于理想气体。即(12)其中每一部分的气态方程为(13)混合理想体气状态方程与单一成分的理想气体状态方程形式相同，但M为平均摩尔质量。(14)由于混合气体的摩尔数应是各组分的摩尔数之和。因此混合气体的平均摩尔质量M有(15)由(1-20)式和(1-19)式可得混合气体的分压强：(16)1．3．3、混合气体的状态方程如果有n种理想气体，分开时的状态分别为(、、)，(、、)，…，(、、)，将它们混合起来后的状态为P、V、T，那么，有如果是两部分气体混合后再分成的部分，则有例1、一根一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段20cm的水银柱。当温度为27C且开口端向上时，被封闭的气柱长60cm。试问温度至少为多少度，水银柱才可从管中全部溢出。解：设气体温度为T时，管内的水银柱高度为x，x＜20cm，大气压强。(1)得到(2)其中P以cmHg为单位，长度以cm为单位。要求x有实数解的条件400+4×(76×96-)≥0可见≤，≥时，管内气体可以形成平衡状态。反之，T＞因而x＜时，管内气体压强总是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡态无法建立而导致非平衡状态，水银柱将全部溢出。例2、设在恒温0℃下，测得三甲胺的密度随压强变化的数据如下表所示，试根据这些数据要求三甲胺的摩尔质量。0.20.40.60.80.53361.07901.63632.2054解：为了准确测定气体的摩尔质量，必须把实际气体的压强外推到零(P→0)时应用理想气体状态方程，即由(1-15)式有(1)为了求出P→0时()的极限值，可将上述数据作如下变换：0.20.40.60.82.66802.69752.72722.7568现以为纵坐标，P为横作标，作出-P图形(图1-3-1)，将图中曲线外推到P→0得到2.752.702.652.602.752.702.652.600.80.60.40.20P(atm)图1-3-1即三甲胺的分子量为59.14。§1.4气体分子运动论1.4.1、分子运动论的基本点1、宏观物体由大量分子组成。分子直径的数量级一般为，分子质量为。在标准状态下，气体分子的数密度为2、物体内的分子永不停息地作无规则运动。这是根据布朗运动和扩散现象得出的结论。实验表明扩散的快慢和布朗运动的激烈程度与温度的高低有明显的关系。由此常把大量子的无规则运动称为热运动，热运动是物质运动的一种基本形式，热现象是它的宏观表现。气体分子热运动的平均速率与温度的关系为常温下，。3、分子之间存在的相互作用力。分子之间同时存在引力和斥力，它们都随距离的增大而减小。其合力具体表现为相吸引还是相排斥，取决于分子间的距离。当时，合力为零，分子间的距离的位置称为平衡位置；当r＞时，分子力表现引力；当r＜时，分子力表现为斥力；当r＞时，分子力可忽略不计。分子力是保守力，存在着由分子和分子间相对位置所决定的势能称为分子力势能。分子力和热运动是决定物体宏观性质的基本因素。分子力作用倾向于使分子聚集一起，在空间形成某种有序排列；热运动却力图造成混乱存在向外扩散的趋势。1．4．2、理想气体的微观模型先来作个估算：在标准状态下，1mol气体体积，分子数，若分子直径，则分子间的平均间距，相邻分子间的平均间距与分子直径相比。由此可知，气体分子间的距离比较大，在处理某些问题时，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。因此理想气体是指分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体。这一微观模型与气体愈稀薄愈接近于理想气体的宏观概念是一致的。1．4．3、理想气体的压强宏观上测量的气体施给容器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。在通常情况下，气体每秒碰撞的器壁的分子数可达。在数值上，气体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量。其表达式为式中n是分子数密度，是分子的平均平动动能，n和增大，意味着单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多，分子碰撞器壁一次给予器壁的平均冲量增大，因而气体的压强增加。1．4．4、温度的微观意义将式代入式后，可以得到气体分子的平均平动动能为这被称为气体温度公式，温度升高，分子热运动的平均平动动能增大，分子热运动加剧。因此，气体的温度是气体分子平均平动能的标志，是分子热运动剧烈程度的量度。图1-4-1例1、质量为的圆筒水平地放置在真空中。质量、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分(图1-4-1)，圆筒的封闭部分充有n摩尔的单原子理想气体，气体的摩尔质量为M，温度为，突然放开活塞，气体逸出。试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。(，，，氦的摩尔质量为，，)图1-4-1解：过程的第一阶段是绝热膨胀，膨胀到两倍体积后(图1-4-2)温度将是T。根据绝热方程，有因此：圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失，即根据动量守恒定律，解上述方程，得过程第一阶段结束时的圆筒速度：。m1m2m1m2图1-4-2我们把坐标系设置在圆筒上。所给的是一个在真空中开口的圆筒，筒内贮有质量为、温度为T的气体。显然，气体将向左上方流动，并推动圆筒向右以速度运动。气体分子的动能由下式给出：