5.1.1 任意角 高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）

5.1.1任意角1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解象限角的概念.（重点）3.理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合.（重点、难点）学习目标1自主学习一.

任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条

绕着它的端点

所成的

.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：

，终边：

，顶点

.射线旋转图形OAOBO名称定义图示正角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

负角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

零角一条射线

做任何旋转形成的角

3.角的分类：逆时针顺时针没有二.角的加法与减法设α，β是任意两个角，

为角α的相反角.(1)α＋β：把角α的

旋转角β.(2)α－β：α－β＝

.－α终边α＋(－β)三.象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与

重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的

在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在

，就认为这个角不属于任何一个象限.原点终边象限角坐标轴上思考

“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.四.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋思考

终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案

终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同.1.第二象限角是钝角.(

)2.终边与始边重合的角为零角.(

)3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(

)×√×小试牛刀2经典例题例1

(多选)下列说法，不正确的是A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角题型一任意角的概念√解析A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.√√总结：理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.跟踪训练

经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°√解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.例2在0°~360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。题型二终边相同角的表示解总结：终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.例3写出终边在y轴上的角的集合。例4写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？解析答案见课本P171页例3跟踪训练

(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于A.120°＋k·360°，k∈Z

B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z

D.240°＋k·180°，k∈Z√解析角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是A.－37°B.143°C.379°

D.－143°√解析与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.题型三象限角及区域角的表示例5

(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是A.－200°

B.100°

C.220°D.420°解析－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角.√√(2)如图所示.解终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.(1)象限角的判定方法①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.跟踪训练

已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.解终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.探究：确定nα及

所在的象限已知α是第二象限角：(1)求角

所在的象限；解方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，(2)求角2α所在的象限.解∵k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z).∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.3当堂达标1.与－30°终边相同的角是A.－330°B.150°C.30°D.330°√解析因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.2.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是A.160°

B.480°

C.－960°D.1530°√解析160°是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.√√3.与－460°角终边相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z

B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z

D.－260°＋k·360°，k∈Z√解析因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.4.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为____________.解析与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，120°，300°∴k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°.5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________.