专题：代数式规律探究（解析版）

代数式规律探究题型01数、式的规律探究【典例分析】【例1-1】（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）三个连续偶数中最小的一个为，则这三个偶数中最大的可表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三个连续偶数，根据偶数的表示形式，即可求解．【详解】解：三个连续偶数中最小的一个为，∴第二个偶数位，第三个偶数位，故答案为：．【点睛】本题主要考查字母表示数或数量关系，掌握字母表示数或数量关系的规则是解题的关键．【例1-2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）有一组数：，1，2，，5，8，，21，34请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第前个数的和首次超过100．【答案】12【分析】找到这组数据的规律，故可求解；此题主要考查规律的查找，解题的关键是根据已知的数据发现符号的规律，从而求解．【详解】规律是：从第三个数开始往后，每一个数的绝对值是前两个数绝对值的和，数所站位置数字被3除，余数为1的时候，此位置的数的符号为负，其余的数的符号为正，故第10个数为，第11个数为，第12个数为，∵第1个到第11个的和为，第1个到第12个的和为，故第前12个数的和首次超过100，故答案为：12．【例1-3】（23-24七年级上·湖南常德·期中）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；探索以上等式的规律，解决下列问题：(1)；(2)完成第n个等式的填空：；(3)利用上述结论，计算．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了规律探究，有理数的混合运算；（1）根据题目中的规律,写出答案即可；（2）根据题目中的规律，推论答案即可（3）利用规律通式，代入计算即可．【详解】（1）解：，故答案为：3；（2）由题意可得，，故答案为：；（3）．【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·四川乐山·阶段练习）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有（

）个交点．A．24 B．26 C．28 D．30【答案】C【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可．【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有个交点，4条直线两两相交，最多有个交点，5条直线两两相交，最多有个交点，∴n条直线两两相交，最多有个交点，∴8条直线两两相交，最多有个交点，故选：C．【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第个等式；（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）．【答案】【分析】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式；（2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．【详解】解：（1）∵第个等式：，第个等式，第个等式，第个等式，∴第个等式为：．故答案为：．（2）由（1）得，第个等式：，故答案为：．【变式1-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）(1)第5个式子是_______；第个式子是_______．(2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______；(3)计算：（由此拓展写出具体过程）：①；②．【答案】(1)；(2)(3)①；②【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可；（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；（3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果；②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果．【详解】（1）解：∵，，，，∴第5个式子是：；第个式子是；故答案为：；；（2）解：；（3）解：①．②．

题型02图形的规律探究【典例分析】【例2-1】（23-24七年级上·山东德州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2020个图中共有正方形的个数为（

）

A．2021 B．2020 C．6051 D．6058【答案】D【分析】本题主要考查图形规律，根据图示找出每个图示中正方形的个数，得出规律为：正方形的个数是，由此即可求解，理解图示，掌握有理数的混合运算，整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：第一个图示中，正方形的个数为；第二个图示中，正方形的个数为；第三个图示中，正方形的个数为；第四个图示中，正方形的个数为；第个图示中，正方形的个数为，∴第个图示中，正方形的个数为：，故选：．【例2-2】（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）如图是一个由黑点、白点交替铺成的（其中n为正整数）的正方形点阵，根据该点阵中的规律，可知其中白点的总数为个（请用含n的代数式表示）．【答案】【分析】此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，根据题意得列共有，则这个点阵中前行的白点和等于，再将第二列与第列相加，以此类推计算即可．【详解】解：根据题意知，．故答案为【例2-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去：(1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形；(2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）；(3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？【答案】(1)16(2)(3)【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键．（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值；（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出；（3）代入即可求出结论．【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要个三角形．∵，∴，∴．故答案为：16；（2）解：由（1）可知：．故答案为：；（3）解：当时，，∴摆成第2021个图案需要个三角形．【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2024个这样的小正方形需要小棒（

）根．A．6072 B．6073 C．6074 D．6075【答案】B【分析】本题考查图形中的数字规律．解题的关键是正确的抽象概括出数字规律．根据给出的图形，抽象概括出数字规律，利用规律进行计算即可．【详解】解：搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要根小棒，搭3个小正方形需要根小棒，搭个小正方形需要根小棒，∴搭2024个这样的小正方形需要小棒根；故选B【变式2-2】（24-25七年级上·四川成都）根据下面四幅图的规律，第7幅图中有个●，个△．【答案】3613【分析】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中●的个数，得到变化规律：第n幅图中有个●；同理，根据前几个图形中△的个数，得到变化规律：第n幅图中有个△；进而可求解．【详解】解：根据题意得：第1幅图中有0个●，第2幅图中有1个●，第3幅图中有4个●，第4幅图中有9个●，第n幅图中有个●；第1幅图中有1个△，第2幅图中有3个△，第3幅图中有5个△，第4幅图中有7个△，第n幅图中有个△；第7幅图中有个●，个△．故答案为：36，13．【变式2-3】（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）观察如图所示的图形，回答下列问题：(1)按甲方式将桌子拼在一起，6张桌子拼在一起共有______个座位，n张桌子拼在一起共有______个座位；(2)按乙方式将桌子拼在一起，4张桌子拼在一起共有______个座位，m张桌子拼在一起共有______个座位；(3)某食堂有A，B两个餐厅，现有102张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两个餐厅，每个餐厅都要放有桌子．将a张桌子放在A餐厅，按甲方式每6张拼成1张大桌子且无剩余；将其余桌子都放在B餐厅，按乙方式每4张桌子拼成1张大桌子，两个餐厅一共可以提供多少个座位？（用含a的代数式表示）．(4)在（3）的条件下，将102张桌子中的30张放在A餐厅，其余放B餐厅，A、B两个餐厅能否一共提供400个座位？请说明理由．【答案】(1)16；(2)18；(3)两个餐厅一共提供(4)两个餐厅能一共提供400个座位，理由见解析【分析】（1）观察图形发现，在一桌坐6个人基础上，每增加一张桌子多两个人，据此寻找规律求解即可；（2）观察图形发现，在一桌坐6个人基础上，每增加一张桌子多四个人，据此寻找规律求解即可；（3）根据（1）（2）中列出的关系式，分别求出每6张以及每4张时甲乙方式的座位数，进而即可求出两个餐厅个提供的座位数；（4）根据（3）中的代数式，结合题意可令时进行判断即可．【详解】（1）观察可得，按该方式将6张桌子拼在一起共有16个座位，n张桌子拼在一起有个座位；故答案为：16；；（2）观察可得，按该方式将4