题型突破：实数（原卷版）

第十四章实数知识归纳与题型突破（题型清单）0101思维导图0202知识速记一、算术平方根的概念及性质1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.二、平方根的概念与性质1.平方根的定义：如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.2.平方根和算术平方根的区别与联系区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．3.平方根的性质三、立方根的概念1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.3.立方根的性质：4.立方根的应用：利用立方根的定义解方程和求解实际问题.四、认识无理数无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数.无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.五、实数概念及分类无理数：无限不循环小数统称为无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数.六、实数与数轴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应．0303题型归纳题型一算术平方根、平方根与立方根概念理解例题：（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（）A．64的平方根是8B．的立方根是C．的立方根是D．只有非负数才有立方根巩固训练1.（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法错误的是（）A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是02.（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．的立方根是 B．的立方根是C．的立方根是 D．的立方根是3.（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）下列说法中正确的个数是（

）①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.（23-24八年级上·安徽宿州·期中）下列语句：①任意一个数都有两个平方根；②是1的平方根；③带根号的数都是无理数；④的平方根是；⑤的算术平方根2．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型二求一个数的算术平方根、平方根、立方根例题：（2024七年级下·云南·专题练习）．巩固训练1.（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简；；；；2.（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是；的平方根是．3.（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）的算术平方根是7；的立方根是；的平方根是．题型三已知一个数的平方根或立方根，求这个数例题1：（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值是．例题2：（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为．巩固训练1.（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果一个正数的平方根是和，则这个正数是．2.（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是．3.（23-24七年级下·山东德州·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，则的值为．4.（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知的立方根是，是的算术平方根，则．5.（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为．6.（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是．题型四利用算术平方根的非负性解题例题：（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若，则．巩固训练1.（23-24七年级下·北京·期中）已知，则的算术平方根为．2.（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是．3.（23-24七年级下·四川广安·期中）已知，m、n是有理数，且，则的算术平方根是．题型五利用平方根、立方根的定义解方程例题：（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值：(1)；(2)．巩固训练1.（23-24七年级下·河北保定·期中）求下列各式中x的值：(1)；(2)．2.（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的的值．(1)(2)题型六求代数式的平方根例题：（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与互为相反数，求的平方根．巩固训练1.（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与，(1)求a和b的值．(2)求平方根．2.（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．3.（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．题型七立方根的性质例题：（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．巩固训练1.（22-23七年级下·河南商丘·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（）.A． B． C． D．2.（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．4.（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简：．题型八无理数的识别例题：（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在，，，，，这六个数中，无理数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个巩固训练1.（23-24七年级下·四川南充·期中）在，，，，，，，，（每两个之间依次增加一个）中，无理数的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个2.（2024·陕西西安·模拟预测）已知实数，0.16，3，，，，其中为无理数的有个．3.（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有个．题型九实数概念理解例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（

）A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数巩固训练1.（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（

）A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数2.（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（

）①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．A．①② B．②③ C．③④ D．②③④3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（

）①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型十实数的分类例题：（24-25八年级上·江苏·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内：有理数集合：；无理数集合：；正实数集合：；负实数集合：．巩固训练1.（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内：，0，，，，，整数集合{

}；无理数集合{

}；负实数集合{

}．2.（23-24八年级上·全国·单元测试），3，，，0.1010010001…，，0，，，(1)正数集合：{

…}(2)无理数集合：{

…}；(3)分数集合：{

…}；(4)非正整数集合：{

…}；3.（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内．，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），．有理数：；无理数：；正数：整数：；非负数：；分数：．题型十一实数的性质例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）的绝对值为；的相反数为；（2）的绝对值为；的相反数为．巩固训练1.（23-24八年级上·全国·单元测试）的相反数是；的绝对值是；的相反数是．2.（23-24七年级下·天津宁河·期中）的平方根是，的相反数为，的绝对值为．3.（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是，的相反数是．题型十二实数与数轴例题：（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为；若点A对应的数是，则点B对应的数是．巩固训练1.（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式．2.（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是．

3.（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为．题型十三实数的大小比较例题：（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“，，”表示）：．巩固训练1.（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数：，其中小于的数是