模型训练：全等三角形基本模型（解析版）

全等三角形基本模型训练全等模型一一线三等角模型例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．【详解】探究证明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和△CAF中，∴；应用解：∵△ABE≌△CAF，∴，∴，∵，的面积为9，∴，∴与的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．巩固训练1．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故．②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证．（2）题干已知条件可证，故，，从而可证明．【详解】（1）解：①证明：∵，∴．又∵，∴．在和中，，∴．∴．②解：，理由如下：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．（2）解：，理由如下：∵，∴，又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴，．∴，即．2．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证明，则，，；（2）同理（1）证明即可；（3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可．【详解】（1）证明：直线，直线，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（2）解：结论成立；理由如下：∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（3）解：同理（2）可得，，∴，设的底边上的高为，则的底边上的高为，∴，，，∴，∴，∴与的面积之和为8．全等模型二三垂直模型例题：通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．【答案】(1)，(2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题，（1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案；（2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则．【详解】（1））解：于点，于点，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案为：，．（2）证明：如图2，作于点，∵于点，于点E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．巩固训练1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)(或，)．【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；②由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；（2）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等，再由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．【详解】（1）①证明：∵，，∴，，∴，在与中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）证明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在与中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可证．∴，，∵∴，即；当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是(或，)．2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D初步探究：(1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)(2)【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键．（1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解；（2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解．【详解】（1）解：，理由如下：过点B作于点F，即，，，，.，..在和中，，..，，..（2）解：.理由如下：过点B作于点F，∴，由（1）可得：，.，，.，..在和中，，..3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)9【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）利用证得，即可求证结论；（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，，；（2）证明：过作于，如图：由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，，，，是的中点；（3）解：，理由如下：过点作于，如图：由（2）得：，，，，，，，，，．即．全等模型三旋转型模型例题：如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若，，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【答案】（1）45；（2）8；（3）MN＝BN−AM，理由见详解【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可；（2）根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等，先证明△AMC≌△CNB，进而可得结论；（3）证明△AMC≌△CNB，可得结论．【详解】（1）解：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AB∥MN，∴∠2＝∠ABC＝45°，故答案为：45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．在△AMC中，∠1＋∠CAM＋∠AMC＝180°∴∠1＋∠CAM＝90°，同理：∠2＋∠CBN＝90°．又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠CBN，∠2＝∠CAM，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC＋CN＝AM＋BN=2+6=8；（3）解：结论：MN＝BN−AM．理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠NCB＝90°，又∵∠NCB＋∠CBN＝90°，∴∠ACM＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴CM＝BN，CN＝AM，∴MN＝CM−CN＝BN−AM，∴MN＝BN−AM．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．巩固训练1．如图，和都是等腰直角三角形，．（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）34或14【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，在作差，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得出结论；（2）先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD（SAS），得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，进而得出∠CAD+∠BHC=90°，即可得出结论；（3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出EM=CM=DE=10，再用勾股定理求出AM=24，即可得出结论；②当点D在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出EN=CN=DE=10，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN=24，即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为BE=AD，BE⊥AD；（2）（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，EC=DC，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，如图2，BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；（3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，∴EM=CM=DE=10，在Rt△AMC中，AC=26，根据勾股定理得，，∴AE=AM-EM=24-10=14；②当点D在线段AD的延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N，∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，∴EN=CN=DE=10，在Rt△ANC中，AC=26，根据勾股定理得，∴AE=AN+EN=24+10=34；综上，AE的长为14或34，故答案为14或34．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解．【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．全等模型四倍长中线模型例题：（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．①请在图中通过作辅助线构造，并证明．②求证：．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．（1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．【详解】（1）证明：，，又，，和是兄弟三角形；（2）证明：①延长至，使，为的中点，，在和中，，，；②，，∴，，又，，，，，在和中，，，，又，．巩固训练1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为．【答案】12【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题．【详解】解：如图，延长到使，连接，在与中，，，，，，，，，．，，即，，故答案为：．2．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△

CDA（依据1），∴，在中，（依据2），∴．(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是；A．； B．； C．(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，中，，D为中点，求证：．【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边(2)C(3)见解释【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．（3）判断，即可．【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．（2）解：如图，延长至点，使,连接．是的中线，,在与中，,，,在中，，即，．故选：C．（3）证明：如图4，延长至F，使连接，是的中点，∴,又∴，，，∵，∴,,即，又∵，∴，∴，∴．3．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)见解析【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系．（1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解；（2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故；（3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到．延长交于F，由三角形的三边关系得到，即．【详解】（1）∵，∴∵是边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案为：（2），理由：如图，延长到M，使得，连接，∴，∵是的中线，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，∵点M是的中点，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延长交于F，则，且，∴，∴，即．4．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．①；②；③；④【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）．【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使．在和中，，，，，，，，故答案为：；（2）解：如图2，延长至，使，连接，是中线，，又，，，，，，，，为中线，，，，又，，，，，故答案为：②③；（3）证明：如图3，延长至，使，连接，是的中点，，又，，，，，，，与互补，，，又，，，，；（4）如图3，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：8．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．全等模型五截长补短模型例题：在四边形中，点C是边的中点．(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．【答案】(1)，见解析(2)，理由见解析【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；【详解】（1），理由如下：在上取一点F，使，连接．∵平分，∴，在和中∴．∴，，∵C是边的中点．∴，∴．∵，∴，∴．在和中∴．∴．∵，∴．（2），理由如下：在上取，，连接，．与（1）同理，可得，．∴，，，．∵，∴．∵，∴．∴为等边三角形．∴．∵，∴．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．巩固训练1．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，．(1)如图1，求证：；(2)如图1，求的度数；(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时