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文档简介
全等三角形基本模型训练全等模型一一线三等角模型例题:【探究】如图①,点B、C在的边上,点E、F在内部的射线上,分别是、△CAF的外角.若,,求证:△ABE≌△CAF.【应用】如图②,在等腰三角形ABC中,,,点D在边上,,点E、F在线段上,,若的面积为9,则与的面积之和为.【答案】探究:见解析;应用:6【分析】探究:根据,,得出,根据,得出,再根据证明即可;应用:根据全等三角形的性质得出:,进而得出,根据,的面积为9,得出,即可得出答案.【详解】探究证明:∵,,又∵,∴,∵,∴,在和△CAF中,∴;应用解:∵△ABE≌△CAF,∴,∴,∵,的面积为9,∴,∴与的面积之和为6,故答案为:6.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定是解题的关键.巩固训练1.(23-24八年级上·广西南宁·开学考试)如图,是经过顶点C的一条直线,,E、F分别是直线上两点,且.(1)若直线经过的内部,且E、F在射线上.①如图1,若,,试判断和的数量关系,并说明理由;②如图2,若,请添加一个关于α与关系的条件,使①中的条件仍然成立,并说明理由.(2)如图3.若直线经过的外部,,请提出关于,,三条线段数量关系的合理猜想,并说明理由.【答案】(1)①证明见解析;②,理由见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理,(1)①由,,可得,从而可证,故.②若,则可使得.根据题目已知条件添加条件,再使得一对角相等,便可得证.(2)题干已知条件可证,故,,从而可证明.【详解】(1)解:①证明:∵,∴.又∵,∴.在和中,,∴.∴.②解:,理由如下:∵,∴.又∵,∴.又∵,∴.∴.∴.在和中,,∴.∴.(2)解:,理由如下:∵,∴,又∵,∴.∴.在和中,,∴.∴,.∴,即.2.(24-25八年级上·全国·假期作业)(1)如图①,已知:中,,,直线经过点,于,于,求证:;(2)拓展:如图②,将(1)中的条件改为:中,,、、三点都在直线上,并且,为任意锐角或钝角,请问结论是否成立?如成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)应用:如图③,在中,是钝角,,,,直线与的延长线交于点,若,的面积是,求与的面积之和.【答案】(1)见解析;(2)成立,见解析;(3)8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理,不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.(1)证明,则,,;(2)同理(1)证明即可;(3)同理(2)可得,,则,设的底边上的高为,则的底边上的高为,,,由,可得,根据,求解作答即可.【详解】(1)证明:直线,直线,∴,∵,∴,即,∵,∴,∴,,∴,∴;(2)解:结论成立;理由如下:∵,∴,即,∵,∴,∴,,∴,∴;(3)解:同理(2)可得,,∴,设的底边上的高为,则的底边上的高为,∴,,,∴,∴,∴与的面积之和为8.全等模型二三垂直模型例题:通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:(1)如图1,点A在直线l上,,过点B作于点C,过点D作交于点E.得.又,可以推理得到.进而得到结论:_____,_____.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型;(2)如图2,∠于点C,于点E,与直线交于点,求证:.【答案】(1),(2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题,(1)由,得,则,而,即可证明,得,,于是得到问题的答案;(2)作于点,因为于点,于点,所以,由(1)得,因为,所以,则,而,即可证明,得,所以,再证明,则.【详解】(1))解:于点,于点,∴,∵,∴,∴,在和中,,∴,∴,,故答案为:,.(2)证明:如图2,作于点,∵于点,于点E,∴,由,同理(1)得,∴,在和中,∴,∴.巩固训练1.(2024上·吉林辽源·九年级统考期末)如图,在中,,,直线经过点C,且于D,于E.(1)当直线绕点C旋转到①的位置时,求证:①;②;(2)当直线绕点C旋转到②的位置时,求证:;(3)当直线绕点C旋转到③的位置时,试问、、具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系,不需要证明.【答案】(1)①见解析;②见解析(2)见解析(3)(或,).【分析】本题考查了几何变换综合题,需要掌握全等三角形的性质和判定,垂线的定义等知识点的应用,解此题的关键是推出证明和全等的三个条件.题型较好.(1)①已知已有两直角相等和,再由同角的余角相等证明即可证明;②由全等三角形的对应边相等得到,,从而得证;(2)根据垂直定义求出,根据等式性质求出,根据证出和全等,再由全等三角形的对应边相等得到,,从而得证;(3)同样由三角形全等寻找边的关系,根据位置寻找和差的关系.【详解】(1)①证明:∵,,∴,,∴,在与中,,∴;②由①知,,∴,,∵,∴;(2)证明:∵于D,于E,∴,∴,,∴,在与中,,∴.∴,,∴.(3)解:同(2)理可证.∴,,∵∴,即;当旋转到图3的位置时,、、所满足的等量关系是(或,).2.(23-24八年级上·山西吕梁·期末)数学课上,老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动,探究有关线段之间的关系问题情境:如图1,三角形纸片中,,.将点C放在直线上,点A,B位于直线的同侧,过点A作于点D初步探究:(1)在图1的直线上取点E,使,得到图2,猜想线段与的数量关系,并说明理由;(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作,其中,.小颖在图1的基础上,将三角形纸片的顶点P放在直线上,点M与点B重合,过点N作于点H.如图3,探究线段,,之间的数量关系,并说明理由【答案】(1)(2)【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-垂直模型,熟记模型的构成以及结论是解题关键.(1)过点B作于点F,证得,根据“三线合一”可得,即可求解;(2)结合(1)的推理过程可得得,再证得即可求解.【详解】(1)解:,理由如下:过点B作于点F,即,,,,.,..在和中,,..,,..(2)解:.理由如下:过点B作于点F,∴,由(1)可得:,.,,.,..在和中,,..3.(23-24七年级下·云南昆明·期末)综合与实践:(1)【问题情境】在综合与实践课上,何老师对各学习小组出示了一个问题:如图1,,,,,垂足分别为点,.请证明:.(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发,将题目改编如下:如图2,,,点是上一动点,连接,作且,连接交于点.若,,请证明:点为的中点.(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题:如图3,,,点是射线上一动点,连接,作且,连接交射线于点.若,请直接写出的值.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)9【分析】本题考查了全等三角形的综合问题,有关中点的相关计算,熟练掌握全等三角形的判定及性质,添加适当的辅助线是解题的关键.(1)利用证得,即可求证结论;(2)过作于,由(1)得,进而可得,再利用可证,则可证,根据数量关系可得,,进而可求证结论;(3)过点作于,由(2)得,,,再根据数量关系即可求解;【详解】(1)证明:,,,,,在和中,,,;(2)证明:过作于,如图:由(1)得:,,,,在和中,,,,,,,,,,是的中点;(3)解:,理由如下:过点作于,如图:由(2)得:,,,,,,,,,.即.全等模型三旋转型模型例题:如图1,把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上,在中,,,试回答下列问题:(1)若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转,当AB∥MN时,度;(2)在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中,分别作AM⊥MN于M,BN⊥MN与N,若,,求MN.(3)三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置,其他条件不变,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由.【答案】(1)45;(2)8;(3)MN=BN−AM,理由见详解【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可;(2)根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等,先证明△AMC≌△CNB,进而可得结论;(3)证明△AMC≌△CNB,可得结论.【详解】(1)解:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°,∵AB∥MN,∴∠2=∠ABC=45°,故答案为:45;(2)∵AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,∴∠AMC=90°,∠BNC=90°.在△AMC中,∠1+∠CAM+∠AMC=180°∴∠1+∠CAM=90°,同理:∠2+∠CBN=90°.又∵∠1+∠2=90°,∴∠1=∠CBN,∠2=∠CAM,在△AMC和△CNB中,,∴△AMC≌△CNB(ASA),∴AM=CN,MC=BN,∴MN=MC+CN=AM+BN=2+6=8;(3)解:结论:MN=BN−AM.理由如下:∵∠ACB=90°,∴∠ACM+∠NCB=90°,又∵∠NCB+∠CBN=90°,∴∠ACM=∠CBN,在△AMC和△CNB中,,∴△AMC≌△CNB(AAS),∴CM=BN,CN=AM,∴MN=CM−CN=BN−AM,∴MN=BN−AM.【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.巩固训练1.如图,和都是等腰直角三角形,.(1)猜想:如图1,点在上,点在上,线段与的数量关系是______,位置关系是______;(2)探究:把绕点旋转到如图2的位置,连接,,(1)中的结论还成立吗?说明理由;(3)拓展:把绕点在平面内自由旋转,若,,当,,三点在同一直线上时,则的长是______.【答案】(1),;(2)成立,理由见解析;(3)34或14【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC,EC=DC,在作差,得出BE=AD,再用∠ACB=90°,即可得出结论;(2)先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD,进而判断出△BCE≌△ACD(SAS),得出BE=AD,∠CBE=∠CAD,BE与AC的交点记作点H,BE与AD的交点记作点G,进而得出∠CAD+∠BHC=90°,即可得出结论;(3)分两种情况,①当点E在线段AD上时,过点C作CM⊥AD于M,求出EM=CM=DE=10,再用勾股定理求出AM=24,即可得出结论;②当点D在线段AD的延长线上时,过点C作CN⊥AD于N,求出EN=CN=DE=10,再由勾股定理求出根据勾股定理得,AN=24,即可得出结论.【详解】解:(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴BC=AC,EC=DC,∴BC-EC=AC-DC,∴BE=AD,∵点E在BC上,点D在AC上,且∠ACB=90°,∴BE⊥AD,故答案为BE=AD,BE⊥AD;(2)(1)中结论仍然成立,理由:由旋转知,∠BCE=∠ACD,∵BC=AC,EC=DC,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,∠CBE=∠CAD,如图2,BE与AC的交点记作点H,BE与AD的交点记作点G,∵∠ACB=90°,∴∠CBE+∠BHC=90°,∴∠CAD+∠BHC=90°,∵∠BHC=∠AHG,∴∠CAD+∠AHG=90°,∴∠AGH=90°,∴BE⊥AD;(3)①当点E在线段AD上时,如图3,过点C作CM⊥AD于M,∵△CDE时等腰直角三角形,且DE=20,∴EM=CM=DE=10,在Rt△AMC中,AC=26,根据勾股定理得,,∴AE=AM-EM=24-10=14;②当点D在线段AD的延长线上时,如图4,过点C作CN⊥AD于N,∵△CDE时等腰直角三角形,且DE=20,∴EN=CN=DE=10,在Rt△ANC中,AC=26,根据勾股定理得,∴AE=AN+EN=24+10=34;综上,AE的长为14或34,故答案为14或34.【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了等腰直角三角形的性质,旋转的旋转,全等三角形的判定和性质,勾股定理,作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键.2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点D是直线AB上的一点,连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,连接EB.(1)操作发现如图1,当点D在线段AB上时,请你直接写出AB与BE的位置关系为;线段BD、AB、EB的数量关系为;(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时,如图2,是点D在射线AB上,如图3,是点D在射线BA上,请你写出这两种情况下,线段BD、AB、EB的数量关系,并对图2的结论进行证明;(3)拓展延伸若AB=5,BD=7,请你直接写出△ADE的面积.【答案】(1)AB⊥BE,AB=BD+BE;(2)图2中BE=AB+BD,图3中,BD=AB+BE,证明见解析;(3)72或2【分析】(1)首先通过SAS证明△ACD≌△BCE,然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案;(2)仿照(1)中证明△ACD≌△BCE,然后利用全等三角形的性质即可得出结论;(3)首先求出BE的长度,然后利用S△AED•AD•EB即可求解.【详解】解:(1)如图1中,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∠CBE=∠A,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠CBA=45°,∴∠CBE=∠A=45°,∴ABE=90°,∴AB⊥BE,∵AB=AD+BD,AD=BE,∴AB=BD+BE,故答案为AB⊥BE,AB=BD+BE.(2)①如图2中,结论:BE=AB+BD.理由:∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∵AD=AB+BD,AD=BE,∴BE=AB+BD.②如图3中,结论:BD=AB+BE.理由:∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE,∵BD=AB+AD,AD=BE,∴BD=AB+BE.(3)如图2中,∵AB=5,BD=7,∴BE=AD=5+7=12,∵BE⊥AD,∴S△AED•AD•EB12×12=72.如图3中,∵AB=5,BD=7,∴BE=AD=BD﹣AB=7﹣5=2,∵BE⊥AD,∴S△AED•AD•EB2×2=2.【点睛】本题主要考查全等三角形,掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键.全等模型四倍长中线模型例题:(23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中)我们规定:有两组边相等,且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图,,,.回答下列问题:(1)求证:和是兄弟三角形.(2)取的中点,连接,试说明.小王同学根据要求的结论,想起了老师上课讲的“中线(点)倍延”的辅助线构造方法,解决了这个问题.①请在图中通过作辅助线构造,并证明.②求证:.【答案】(1)见解析(2)①见解析;②见解析【分析】本题是三角形综合题,考查了新定义兄弟三角形,全等三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.(1)证出,由兄弟三角形的定义可得出结论;(2)①延长至,使,证明,由全等三角形的性质得出;②证明,由全等三角形的性质得出,则可得出结论.【详解】(1)证明:,,又,,和是兄弟三角形;(2)证明:①延长至,使,为的中点,,在和中,,,;②,,∴,,又,,,,,在和中,,,,又,.巩固训练1.(23-24七年级下·山东济南·期末)如图,中,为的中点,是上一点,连接并延长交于.若,,,那么的长度为.【答案】12【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定与性质,延长到使,连接,通过,根据全等三角形的性质得到,,等量代换得到,由等腰三角形的性质得到,推出即可得解决问题.【详解】解:如图,延长到使,连接,在与中,,,,,,,,,.,,即,,故答案为:.2.(23-24七年级下·山东济南·期中)阅读下列材料,完成相应任务.数学活动课上,老师提出了如下问题:如图1,已知中,是边上的中线.求证:智慧小组的证法如下:证明:如图2,延长至E,使,∵是边上的中线,∴,在△BDE和△CDA中,,∴△BDE≌△
CDA(依据1),∴,在中,(依据2),∴.(1)任务一:上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:依据1:;依据2:.【归纳总结】上述方法是通过延长中线,使,构造了一对全等三角形,将,,转化到一个三角形中,进而解决问题,这种方法叫做“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.(2)任务二:如图3,,,则的取值范围是;A.; B.; C.(3)任务三:利用“倍长中线法”,解决下列问题.如图4,中,,D为中点,求证:.【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等;三角形任意两边的和大于第三边(2)C(3)见解释【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的性质.掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键.(1)掌握全等三角形的判定与性质,三角形的性质即可.(2)利用“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”求解即可.(3)判断,即可.【详解】(1)解:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“”);依据2:三角形两边的和大于第三边;故答案为:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等;三角形任意两边的和大于第三边.(2)解:如图,延长至点,使,连接.是的中线,,在与中,,,,在中,,即,.故选:C.(3)证明:如图4,延长至F,使连接,是的中点,∴,又∴,,,∵,∴,,即,又∵,∴,∴,∴.3.(2023上·江苏南通·八年级统考期中)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,中,若,,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到E,使,连接.请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到,得到,在中求得的取值范围,从而求得的取值范围是.方法总结:上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.(2)如图2,是的中线,,,,试判断线段与的数量关系,并加以证明;(3)如图3,在中,D,E在边上,且.求证:.【答案】(1)(2),证明见解析(3)见解析【分析】本题考查三角形全等的判定及性质,三角形的三边关系.(1)由作图可得,根据“”证得,得到,在中,根据三角形的三边关系有,代入即可求解;(2)延长到M,使得,连接,则,由(1)同理可证,得到,,从而,又,因此,进而得证,故;(3)取的中点为M,连接并延长至N,使,连接、,证得得到,证得得到.延长交于F,由三角形的三边关系得到,即.【详解】(1)∵,∴∵是边上的中线,∴,在和中,,∴,∴,∵在中,,即,∴.故答案为:(2),理由:如图,延长到M,使得,连接,∴,∵是的中线,∴,在和中∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,在和中,∴,∴,∵,∴;(3)取的中点为M,连接并延长至N,使,连接、,∵点M是的中点,∴,在和中,∴,∴∵,∴,即,在和中,∴,∴,延长交于F,则,且,∴,∴,即.4.(22-23七年级下·江苏泰州·期末)【发现问题】(1)数学活动课上,王老师提出了如下问题:如图1,,【探究方法】第一小组经过合作交流,得到了如下的解决方法:①延长到E,使得;②连接,通过三角形全等把转化在中;③利用三角形的三边关系可得的取值范围为,从而得到的取值范围是______;方法总结:解题时,条件中若出现“中点”、“中线”字样,可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题解决】(2)如图2,是的中线,是的中线,,下列四个选项中:直接写出所有正确选项的序号是______.①;②;③;④【问题拓展】(3)如图3,,,与互补,连接E是的中点,求证:;(4)如图4,在(3)的条件下,若,延长交于点,,,则的面积是______.【答案】(1);(2)②③;(3)证明见解析;(4).【分析】(1)由“”可证,可得,由三角形的三边关系可求解;(2)由“”可证,可得,,由“”可证,可得,,即可求解;(3)由“”可证,可得,,由“”可证,可得,可得结论;(4)由全等三角形的性质可得,,,由三角形的面积公式可求解.【详解】(1)解:如图1中,延长至点,使.在和中,,,,,,,,故答案为:;(2)解:如图2,延长至,使,连接,是中线,,又,,,,,,,,为中线,,,,又,,,,,故答案为:②③;(3)证明:如图3,延长至,使,连接,是的中点,,又,,,,,,,与互补,,,又,,,,;(4)如图3,,,,,,,,,,,,,,,故答案为:8.【点评】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,中点的性质,平行线的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.全等模型五截长补短模型例题:在四边形中,点C是边的中点.(1)如图①,平分,,写出线段,,间的数量关系及理由;(2)如图②,平分,平分,,写出线段,,,间的数量关系及理由.【答案】(1),见解析(2),理由见解析【分析】(1)在上取一点F,使,可以得出,就可以得出,,就可以得出.就可以得出结论;(2)在上取点F,使,连接,在上取点G,使,连接.可以求得,是等边三角形,就有,进而得出结论;【详解】(1),理由如下:在上取一点F,使,连接.∵平分,∴,在和中∴.∴,,∵C是边的中点.∴,∴.∵,∴,∴.在和中∴.∴.∵,∴.(2),理由如下:在上取,,连接,.与(1)同理,可得,.∴,,,.∵,∴.∵,∴.∴为等边三角形.∴.∵,∴.
【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定及性质的运用,等边三角形的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.巩固训练1.(23-24七年级下·四川成都·期中)在的高、交于点,.(1)如图1,求证:;(2)如图1,求的度数;(3)如图2,延长到点,过点作的垂线交的延长线于点,当时
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