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文档简介
吉林省吉林市吉林地区普通高中友好学校联合体第三十一届2025届数学高二上期末达标检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知圆的圆心到直线的距离为,则圆与圆的位置关系是()A.相交 B.内切C.外切 D.外离2.已知双曲线方程为,过点的直线与双曲线只有一个公共点,则符合题意的直线的条数共有()A.4条 B.3条C.2条 D.1条3.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴广交会的四个不同地方服务,不同的分配方案有()种A.· B.·C. D.4.、是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,,过作的角平分线的垂线,垂足为,则的长为A.1 B.2C.3 D.45.在棱长为2的正方体中,为线段的中点,则点到直线的距离为()A. B.C. D.6.曲线:在点处的切线方程为A. B.C. D.7.设平面的法向量为,平面的法向量为,若,则的值为()A.-5 B.-3C.1 D.78.已知函数是定义在上奇函数,,当时,有成立,则不等式的解集是()A. B.C. D.9.如图,在三棱锥中,点E在上,满足,点F为的中点,记分别为,则()A. B.C. D.10.若两个不同平面,的法向量分别为,,则()A.,相交但不垂直 B.C. D.以上均不正确11.下列抛物线中,以点为焦点的是()A. B.C. D.12.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点是抛物线的准线与x轴的交点,F为抛物线的焦点,P是抛物线上的动点,则最小值为_____14.已知满足约束条件,则的最小值为___________15.下图是个几何体的展开图,图①是由个边长为的正三角形组成;图②是由四个边长为的正三角形和一个边长为的正方形组成;图③是由个边长为的正三角形组成;图④是由个边长为的正方形组成.若几何体能够穿过直径为的圆,则该几何体的展开图可以是______(填所有正确结论的序号).16.圆关于直线对称的圆的方程为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)公差不为零的等差数列中,已知其前n项和为,若,且成等比数列(1)求数列的通项;(2)当时,求数列的前n和18.(12分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,(1)设,,,用向量表示,并求出的长度;(2)求异面直线与所成角的余弦值19.(12分)已知椭圆的一个顶点为,离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于M、N两点,直线BM与直线BN的斜率之积为,证明直线l过定点并求出该定点坐标20.(12分)已知函数的图像在处的切线斜率为,且时,有极值.(1)求的解析式;(2)求在上的最大值和最小值.21.(12分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上,直线与交于,两点(1)求椭圆的方程及焦点坐标;(2)若线段的垂直平分线经过点,求的取值范围22.(10分)已知函数f(x)=x﹣lnx(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】求出两圆的圆心与半径,根据两圆的位置关系的判定即可求解.【详解】已知圆的圆心到直线的距离,即,解得或,因为,所以,圆的圆心的坐标为,半径,将圆化为标准方程为,其圆心的坐标为,半径,圆心距,两圆内切,故选:B2、A【解析】利用双曲线渐近线的性质,结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解:双曲线的渐近线方程为,右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点;②过点平行于渐近线时,直线与双曲线只有一个公共点;③设过的切线方程为与双曲线联立,可得,由,即,解得,直线的条数为1.综上可得,直线的条数为4.故选:A,.3、B【解析】先按要求分为四组,再四个不同地方,四个组进行全排列.【详解】两个组各2人,两个组各1人,属于部分平均分组,要除以平均分组的组数的全排列,故分组方案有种,再将分得的4组,分配到四个不同地方服务,则不同的分配方案有种.故选:B4、A【解析】延长交延长线于N,则选:A.【点睛】涉及两焦点问题,往往利用椭圆定义进行转化研究,而角平分线性质可转化到焦半径问题,两者切入点为椭圆定义.5、D【解析】根据正方体的性质,在直角△中应用等面积法求到直线的距离.【详解】由正方体的性质:面,又面,故,直角△中,若到上的高为,∴,而,,,∴.故选:D.6、A【解析】因为,所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率为,所以切线方程为,即,选A7、C【解析】根据,可知向量建立方程求解即可.【详解】由题意根据,可知向量,则有,解得.故选:C8、A【解析】构造函数,分析该函数的定义域与奇偶性,利用导数分析出函数在上为增函数,从而可知该函数在上为减函数,综合可得出原不等式的解集.【详解】令,则函数的定义域为,且,则函数为偶函数,所以,,当时,,所以,函数在上为增函数,故函数在上为减函数,由等价于或:当时,由可得;当时,由可得.综上所述,不等式的解集为.故选:A.9、B【解析】利用空间向量加减、数乘的几何意义,结合三棱锥用表示出即可.【详解】由题设,,,,.故选:B10、B【解析】由向量数量积为0可求.【详解】∵,,∴,∴,∴,故选:B.11、A【解析】由题意设出抛物线的方程,再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【详解】∵抛物线为,∴可设抛物线方程为,∴即,∴抛物线方程为,故选:A.12、B【解析】由已知可设,则,得,在中求得,再在中,由余弦定理得,从而可求解.【详解】法一:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有.在中,由余弦定理推论得.在中,由余弦定理得,解得所求椭圆方程为,故选B法二:由已知可设,则,由椭圆的定义有.在和中,由余弦定理得,又互补,,两式消去,得,解得.所求椭圆方程为,故选B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】利用已知条件求出p,设出P的坐标,然后求解的表达式,利用基本不等式即可得出结论【详解】解:由题意可知:,设点,P到直线的距离为d,则,所以,当且仅当x时,的最小值为,此时,故答案为:【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用,基本不等式的应用,属于中档题14、【解析】根据题意,作出可行域,进而根据几何意义求解即可.【详解】解:作出可行域如图,将变形为,所以根据几何意义,当直线过点时,有最小值,所以联立方程得,所以的最小值为故答案为:15、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体,进而求其外接球半径,并与比较大小,即可确定答案.【详解】①由题设,几何体为棱长为的正四面体,该正四面体可放入一个正方体中,且正方体的棱长为,该正四面体的外接球半径为,满足要求;②由题设,几何体为棱长为的正四棱锥,如下图所示:设,连接,则为、的中点,因为四边形是边长为的正方形,则,所以,,所以,,所以,,,所以点为正四棱锥的外接球球心,且该球的半径为,不满足要求;③由题设,几何体为棱长为的正八面体,该正八面体可由两个共底面,且棱长均为的正四棱锥拼接而成,由②可知,该正八面体的外接球半径为,不满足要求;④由题设,几何体为棱长为的正方体,其外接球半径为,不满足要求;故答案为:①.16、【解析】求出圆心关于直线对称点,从而求出对称圆的方程.【详解】圆心为,半径为1,设关于对称点为,则,解得:,故对称点为,故圆关于直线对称的圆的方程为.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)根据等差数列的性质,结合题意,可求得值,根据成等比数列,即可求得d值,代入等差数列通项公式,即可得答案;(2)由(1)可求得,即可得表达式,根据裂项相消求和法,即可得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为,由等差数列性质可得,解得,又成等比数列,所以,整理得,因为,所以,所以【小问2详解】由(1)可得,则,所以,所以18、(1);(2)【解析】(1)根据向量加减法运算法则可得,根据计算可得的长度;(2)根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】,因为,同理可得,所以【小问2详解】因为,所以,因为,所以所以异面直线与所成角的余弦值为19、(1);(2)答案见解析,直线过定点.【解析】(1)首先根据顶点为得到,再根据离心率为得到,从而得到椭圆C的方程.(2)设,,,与椭圆联立得到,利用直线BM与直线BN的斜率之积为和根系关系得到,从而得到直线恒过的定点.【详解】(1)一个顶点为,故,又,即,所以故椭圆的方程为(2)若直线l的斜率不存在,设,,此时,与题设矛盾,故直线l斜率必存在设,,,联立得,∴,∵,即∴,化为,解得或(舍去),即直线过定点【点睛】方法点睛:定点问题,一般从三个方法把握:(1)从特殊情况开始,求出定点,再证明定点、定值与变量无关;(2)直接推理,计算,在整个过程找到参数之间的关系,代入直线,得到定点.20、(1);(2)最大值为,最小值为.【解析】(1)由题得①,②,解方程组即得解;(2)令解得或,再列表得解.【小问1详解】解:求导得,因为在出的切线斜率为,则,即①因为时,有极值,则.即②由①②联立得,所以.【小问2详解】解:由(1),令解得或,列表如下:极大值极小值所以,在[-3,2]上的最大值为,最小值为.21、(1),(2)【解析】(1)由题意,列出关于a,b,c的方程组求解即可得答案;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点(x0,y0),则,作差可得①,又线段MN的垂直平分线过点A(0,1),则②,联立直线MN与椭圆的方程,可得﹣t2+1+4k2>0(*),③,由①②③及(*)式联立即可求解【小问1详解】解:由题意可得,解得,所以椭圆C的方程为,焦点坐标为【小问2详解】解:设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点(x0,y0),因为,所以,即,所以①,因为线段MN的垂直平分线过点A(0,1),所以,即②,联立,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,所以=(8kt)2﹣4(1+4k2)(4t2﹣4)=﹣16t2+16+64k2>0,即﹣t2+1+4k
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