计算专训：有理数、代数式中的新定义运算

有理数、代数式中的新定义运算1．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．(1)求的值；(2)求的值．2．已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：．(1)________，________；(2)求的值；(3)求的值．3．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：．(1)求的值；(2)若的值与b互为相反数，求b的值．4．定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．计算：(1)；(2)65．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，.(1)计算：______，______；(2)设，试比较的大小，并说明理由；(3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值.6．【问题背景】定义一种新运算“*”：其运算结果的符号同号取正，异号取负，数值为其绝对值相加的和，0与图任何数进行“*”的运算都得这个数的绝对值．例如：，；，；，；…【问题再现】（1）计算：；【拓展提升】（2）计算：．7．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式．(1)和______是关于0的组合式；(2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由；(3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数．8．定义一种新运算：观察下列式：；；．(1)请你想一想：用代数式表示；(2)若，那么（用“>”、“<”或“=连接”）；(3)若，请计算：的值．9．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数．(1)5与是关于1的平衡数；与是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）(2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．10．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数．(1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）；(2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由；(3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值．

参考答案1．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】（1）解：；（2）解：∵，∴．2．已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：．(1)________，________；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)，0.8；(2)1.1；(3)．【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题关键是正确得出最大整数：（1）根据取整定义直接求值即可；（2）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可；（3）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可．【详解】（1）解：；，故答案为：；0.8；（2）解：；（3）解：3．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：．(1)求的值；(2)若的值与b互为相反数，求b的值．【答案】(1)(2)．【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则．（1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解；（2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：；（2）解：．∵的值与b互为相反数，∴．4．定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，（1）原式利用新定义运算进行计算即可得到结果；（2）先根据新定义运算计算小括号里面的式子，再把所得的结果与小括号外面的数根据新定义运算进行计算即可；熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）∵，∴．5．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，.(1)计算：______，______；(2)设，试比较的大小，并说明理由；(3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值.【答案】(1)2，2(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据新运算“”规则直接计算即可；（2）根据新运算“”规则表示出，即可比较大小；（3）根据新运算“”规则可得，令，分和两种情况，利用绝对值的几何意义求出t的取值范围，进而求出x的取值范围，即可求解【详解】（1）解：，，故答案为：2，2；（2）解：，理由如下：，，；（3）解：，且，，，令，当时，，，，即，解得，当时，，，，即，解得，综上可知，x的取值范围为：，满足条件的x的最小值为．【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键．6．【问题背景】定义一种新运算“*”：其运算结果的符号同号取正，异号取负，数值为其绝对值相加的和，0与图任何数进行“*”的运算都得这个数的绝对值．例如：，；，；，；…【问题再现】（1）计算：；【拓展提升】（2）计算：．【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，．【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的乘除混合运算，根据新定义运算法则计算即可．（1）按新定义下的运算法则先计算括号里面的，再算外面的即可．（2）根据题意分类讨论a的情况，然后根据分类按照新定义下的运算法则计算即可．【详解】解：，则；（2）当时，原式；当时，原式；当时，原式；综上，当时，原式；当时，原式；当时，原式．7．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式．(1)和______是关于0的组合式；(2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由；(3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数．【答案】(1)(2)是，理由见解析(3)，或或【分析】本题考查整式加减运算的实际应用．（1）根据新定义，用0减去，即可；（2）求出的和，进行判断即可；（3）根据题意，得到为常数，利用绝对值的意义，分类讨论求解即可．掌握新定义，以及整式加减的运算法则，是解题的关键．【详解】（1）解：，故答案为：（2）是，理由如下：，∴a与b是关于3的组合式．（3）∵，∴，当时，；此时当时，；当时：；此时∵c与d是关于常数m的组合式，∴当时，，，当时，；当时，，综上：，或或．8．定义一种新运算：观察下列式：；；．(1)请你想一想：用代数式表示；(2)若，那么（用“>”、“<”或“=连接”）；(3)若，请计算：的值．【答案】(1)(2)<(3)6【分析】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算，（1）根据题意可得新运算法则为，进一步即可求出答案；（2）根据新运算法则和整式的加减运算法则并结合解答即可；（3）根据新运算法则可得，然后再根据新运算法则和整式的加减运算法则整体代入计算即可．【详解】（1）解：，，故答案为：；（2）∵，∴，故答案为：＜；（3）由，得，∴．9．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数．(1)5与是关于1的平衡数；与是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）(2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．【答案】(1)，．(2)不是，理由见解析【分析】（1）根据平衡数的定义即列出算式求出答案．（2）根据定义判断与2是否相等．【详解】（1），与是关于1的平衡数，，与是关于1的平衡数．故答案为：，．（2）和不是关于1的平衡数因为所以和不是关于1的平衡数．【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．10．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数．(1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）；(2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由；(3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值．【答案】(1)(2)是，理由见解析(3)【分析】本题考查有理数运算，代数式