专题训练：尺规作图三种常考题型（解析版）

尺规作图常考题型题型01作角的平分线【典例分析】【例1-1】求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）

【答案】见解析【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提．作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得，，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论．【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．

求证：证明：∵，∴，，，∵、分别是和的平分线．，∴，在和中，∴()，∴【例1-2】．已知：如图，是的角平分线．(1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析，证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图：（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；（2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明．【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；（2）解：如图所示，点F即为所求，∵，∴，∵是的角平分线，平分，∴，∴，∴．【例1-3】．如图，已知点、、在一条直线上，．(1)利用直尺和圆规作的平分线；(2)如果，求的大小．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键．（1）根据尺规作角平分线的作图方法即可；（2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可．【详解】（1）解：如图，射线即为所求作；（2）解：∵，∴设，则，∴，∵射线是的平分线，∴，∵，∴，解得，即【变式演练】【变式1-1】如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】根据，，得到是等腰直角三角形，作的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，解得即可．本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图，灵活应用等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．【详解】根据，，得到是等腰直角三角形，故的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，作图如下：则点D即为所求．【变式1-2】已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

【答案】见解析【分析】题目主要考查角平分线的作法及性质，根据题意点到的距离相等得出作角平分线，然后作图即可，熟练掌握作图方法是解题关键．【详解】解：如图所示：点P即为所求．

【变式1-3】．如图，中，，．(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，直接写出的面积为：．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据角平分线的作法即可完成作图；（2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作，；（2）解：如图，作于，，∵平分，，∴，∴题型02作线段的垂直平分线【典例分析】【例2-1】如图，已知点A、点B以及直线l．(1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，若，，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可；（2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：在和中，【例2-2】（2023秋•桂林期末）综合与实践（1）【实践操作】：已知：线段，如图1，作图：用尺规作图，作线段的垂直平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）发现：在直线上任取一点（点除外），连接、后发现是等腰三角形．（2）【类比探究】：已知：如图2，在中，，作图：在线段上求作点，连接，使得和都是等腰三角形．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）（3）【推理证明】：在（2）所作的图2中，求证：和都是等腰三角形．【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线得到直线，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定方法进行判断；（2）作的垂直平分线得到点；（3）先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据斜边上的中线性质得到，从而可判断和都是等腰三角形．【解答】（1）解：如图1，直线为所作，直线垂直平分，，为等腰三角形；故答案为：等腰；（2）解：如图，点为所作；（3）证明：点为的垂直平分线与的交点，，，为斜边边的中线，，和都是等腰三角形．【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定．【例2-3】（2023秋•镇平县期末）如图，已知点、以及直线，于点，于点．（1）在直线上求作一点，使（用无刻度的直尺和圆规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在所作的图中，连接、，若，求证：．【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，点即为所求作；（2）首先推导出，，结合证得．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：，，，，，，，，．在和，，．【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式演练】【变式2-1】（2024春•碑林区校级期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，进而可得的周长为，则点即为所求．【解答】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，的周长为，则点即为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．【变式2-2】（2022秋•遂平县期末）如图，已知点、以及直线，，垂足为点．（1）过点作，垂足为点；（2）在直线上求作一点，使；（要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．（3）在所作的图中，连接、，若，求证：．【分析】（1）利用过直线外一点作直线的垂线画；（2）作的垂直平分线交于；（3）先利用同角的余角相等得到，然后根据“”判断．【解答】（1）解：如图2，直线就是要求作的垂线；（2）解：如图2，点就是所要求作的点；（3）证明，，．，．，在和中．【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形全等的判定．【变式2-3】（2022秋•洛江区期末）在下面的中，请你按要求用尺规作出下列图形（保留作图痕迹）并填空．（1）作出的平分线交边于点；（2）作出边上的垂直平分线交于点；（3）连接，若，，则的度数为．【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；（2）根据线段垂直平分线的作法作图即可；（3）由三角形内角和定理可结合角平分线的定义可得，进而由线段垂直平分线的性质得出，最后再次由三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解：（1）的平分线如图所示；（2）线段的垂直平分线如图所示；（3），，．为的平分线，．直线为线段的垂直平分线，，，．故答案为：．【点评】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．题型03作一个角等于已知角【典例分析】【例3-1】（2023秋•西华县月考）已知：．（1）求作：，使；（2）说明作一个角等于已知角的方法依据．【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧交、于点、，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，与以点为圆心，长为半径画弧交于点，过点、作射线，则即为所求；（2）根据证明△，得出即可．【解答】解：（1）如图所示，即为所求；（2）由作图可知，，，，△，．【点评】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例3-2】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知与交于点，且点为的中点，连接，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作即可．【解答】解：如图，点即为所求．【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【例3-3】如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法）(1)请按题中要求先作图，并说出你的作图依据是：___________．(2)请直接写出与的数量关系：___________．【答案】(1)图见详解，(2)【分析】本题主要考查三角形外角的性质及角的尺规作图，熟练掌握画一个角与已知角相等的尺规作图是解题的关键；（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于M、N，然后以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，进而根据点E为圆心，长为半径画弧，最后问题可求解；（2）根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】（1）解：所作图形如图所示：作图依据为；故答案为；（2）解：由（1）可知：，∴；故答案为【变式演练】【变式3-1】（2022秋•房山区期末）下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：．求作：一个角，使它等于．作法：如图，①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，；所以就是所求作的角．根据贝贝设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明．证明：连接．在和中，，（填推理理由）．（填推理理由）．【分析】（1）根据作法完成作图；（2）利用证明三角形全等．【解答】（1）解：如图所示，（2）证明：连接．在和中，，．（全等三角形的对应角相等）．故答案为：，，，全等三角形的对应角相等．【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．【变式3-2】（2024春•南山区期中）（1）利用直尺和圆规作一个角等于已知角的作法如下：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、；②作射线，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点；④过点作射线，为所求．（2）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我国两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域，如图，在处测得在东北方向上，在处测得在北偏西的方向上．①从处看、两处的视角度；②从处看、两处的视角度．【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤解决问题即可；（2）根据方位角的定义以及三角形内角和定理求解．【解答】解：（1）①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、；②作射线，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点；④过点作射线，为所求．故答案为：，，，；（2）①；②．故答案为：60，75．【点评】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．【变式3-3】（2023秋•秦安县期末）如图是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：已知：．求作：一个角，使它等于．作法：如图：①在的两边上分别任取一点、；②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点；③连结、．所以即为所求作的角．请根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下列证明．证明：连结，，，，（填推理依据）．．【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．【解答】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形如图所示：；（2）证明：连结，，，，．．故答案为：，，．【点评】本题考查了作图复杂作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【变式3-4】（2022秋•丰台区期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．已知：如图1，．求作：，使，且点在射线上．作法：①如图2，在射线上任取一点；②作线段的垂直平分线，交于点；③连接．则即为所求作的角．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：是线段的垂直平分线，（填推理的依据）．（填推理的依据