八年级上学期期中考试模拟卷（解析版）

八年级上学期期中考试模拟卷满分：100分 考试范围：八上1—3章一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是（）A．两条中线的交点 B．两条高的交点 C．两条角平分线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点【分析】根据线段垂直分线的性质解答即可．【解答】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点．故选：D．【点评】本题考查了线段垂直分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．3．下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是（）A． B． C． D．【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断．【解答】解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的．故选：B．【点评】本题考查轴对称的性质；应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解答本题的关键．4．以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是（）A．3、4、5 B．5、12、13 C．6、10、14 D．9、40、41【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；B、52+122＝132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、62+102≠142，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、92+402＝412，故不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，如PH＝5，则PQ长的最小值为（）A．10 B．5 C．3 D．2.5【分析】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．【解答】解：如图：当PQ⊥OA时，PQ有最小值，∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，∴PH＝PQ＝5，∴PQ长的最小值为5，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（）A．55° B．70° C．110° D．130°【分析】只要证明70°＜∠BPC＜130°即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝55°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°，∵∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠BPC＞70°，∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°，∴∠BPC＜125°，∴70°＜∠BPC＜125°，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．10cm B．8cm C．7cm D．5cm【分析】根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝8cm，即x＝8cm；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝BC，点O为AC的中点，连接BO，在BO上取一点E，使得AE＝BE，若AB＝10，AC＝12，则BE的长为（）A．254 B．252 C．253 【分析】根据等腰三角形的性质求出AO＝6，BO⊥AC，再根据勾股定理求出BO的长度，设BE＝x，最后在Rt△AEO中，根据勾股定理建立有关x的方程即可得到答案．【解答】解：∵AB＝BC，点O为AC的中点，AC＝12，∴BO⊥AC，AO=12AC＝∵AB＝10，∴BO=8，设BE＝x，则EO＝BO﹣BE＝8﹣x，∵AE＝BE，∴AE＝x，在Rt△AEO中，∵AO2+OE2＝AE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得：x=25故选：A．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理建立方程式．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是DF＝DE．（不添加辅助线）【分析】由已知可证BD＝CD，又∠EDC＝∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素．故添加的条件是：DE＝DF（或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等）；【解答】解：添加的条件是：DF＝DE（或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等）．理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△BDF和△CDE中，∵BD=∴△BDF≌△CDE（SAS）．故答案可以是：DF＝DE．【点评】考查了三角形全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，如果BD＝CF，BE＝CD，那么∠EDF＝74°．【分析】根据题意证△BDE≌△CFD得∠BDE＝∠CFD，则可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠B在△BDE和△CFD中，BD=∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BDE＝∠CFD，∵∠CFD+∠CDF＝180°﹣∠C＝106°，∴∠BDE+∠CDF＝106°，∴∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝74°，故答案为：74°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，根据题意证△BDE≌△CFD得∠BDE＝∠CFD是解题关键．11．如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD与AC边的中垂线ED交于点D，过点D作BC边的垂线，垂足为F，已知BC＝2AB＝12，则线段CF的长度为3．【分析】连接AD，CD，过点D作DM⊥AB于点M，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得DF＝DM，CD＝AD，根据HL证明Rt△BDM≌Rt△BDF，可得BM＝BF，再根据HL证得Rt△ADM≌Rt△CDF，可得AM＝CF，继而可求得答案．【解答】解：如图，连接AD，CD，过点D作DM⊥AB于点M，∵BD是∠ABC的平分线，DF⊥BC，DM⊥AB，∴DF＝DM，∠M＝∠DFC＝∠DFB＝90°，在Rt△BDM和Rt△BDF中，BD=∴Rt△BDM≌Rt△BDF（HL），∴BM＝BF，∵DE是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，在Rt△ADM和Rt△CDF中，AD=∴Rt△ADM≌Rt△CDF（HL），∴AM＝CF，∴BC＝BF+CF＝BM+CF＝AB+AM+CF＝AB+2CF，∵BC＝2AB＝12，∴AB＝6，∴CF＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，且AE＝CF．若BC＝6，CF＝5，则AB＝16．【分析】过点A作AH∥BF交FE的延长线于点H，由“AAS”可证△ADH≌△CDF，可得AH＝CF＝AE，可得∠H＝∠AEH＝∠F＝∠FEB，可得BE＝BF＝11，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AH∥BF交FE的延长线于点H，∴∠H＝∠F，且AD＝DC，∠ADH＝∠CDF，∴△ADH≌△CDF（AAS）∴AH＝CF，∵AE＝CF＝5，∴AH＝AE＝5，∴∠H＝∠AEH，∴∠AEH＝∠F＝∠FEB，∴BE＝BF＝BC+CF＝11，∴AB＝AE+BE+5+11＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．13．如图，在等腰三角形△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，AD＝4，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是2．【分析】依据图中阴影部分的面积等于等腰三角形△ABC的面积的一半，即可得到结果．【解答】解：∵等腰三角形△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，AD＝4，∴S△ABC=12BC×AD=12×2×4＝4∵AD⊥BC且BD＝CD，∴△BEF与△CEF同底等高，∴△BEF与△CEF面积相等，∴图中阴影部分的面积是12S△ABC=12×故答案为：2．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，即等边三角形底边上的高、垂直平分线及顶角的角平分线三线合一．14．一个等腰三角形的周长是17，已知它的一边长是5，则另外两边的长分别是6，6或5，7．【分析】由于已知长度的边没有指明是等腰三角形的底边还是腰，因此要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．【解答】解：①当等腰三角形的底长为5时，腰长＝（17﹣5）÷2＝6；则等腰三角形的三边长为5、6、6，能构成三角形．②当等腰三角形的腰长为5时，底长＝17﹣2×5＝7；则等腰三角形的三边长为5、5、7，能构成三角形．故等腰三角形另外两边的长为6，6或5，7．故答案为：6，6或5，7．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．15．如图，在△ABC中CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝9cm，DE＝7.5cm，则CD的长是12cm．【分析】根据题意得AC的长度，利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：∵CD⊥AB于D，E是AC的中点，∴DE＝AE＝EC，∵AD＝9cm，DE＝7.5cm，∴AC＝15cm，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即DC2＝AC2﹣AD2＝225﹣81＝144，则DC＝12cm，故答案为：12cm．【点评】本题主要考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线，掌握勾股定理是解题的关键．16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，AB＝4cm，AC＝6cm．则△ABC的面积为15cm2．【分析】作DF⊥AC，根据角平分线性质可得ED＝FD＝3cm，利用S△ABC＝S△ABD+S△ADC代入数据计算即可．【解答】解：如图，作DF⊥AC，垂足为C，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝FD＝3cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC=12×4×3+12故答案为：15．【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到DF＝DE．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3．直线BE∥AC，D是BE上一动点．则AD+CD的最小值是5．【分析】延长CB到E，使CB＝BE，则E与B关于直线BE对称，连接AE，则当A、D、E共线时，AD+CD＝AE最小，根据勾股定理可得结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE∥AC，∴CB⊥BE，延长CB到E，使CB＝BE，则E与B关于直线BE对称，连接AE，交BE于E，此时CD＝DE，则AD+CD＝AD+DE＝AE，AD+CD的值最小Rt△ACE中，AC＝3，CE＝4，∴AE=5，∴AD+CD的最小值是5，故答案为：5．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，勾股定理，明确两点之间线段最短是解题的关键，并利用了数形结合的思想．18．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝3，AB＝4，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形，则四边形AFED的面积是6．【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，可以得到AD的长，然后再根据题目中的条件，可以得到四边形AFED是平行四边形，然后计算即可．【解答】解：由题意可得，BE＝BC，BD＝BA，∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，在△DBE和△ABC中，BD=∴△DBE≌△ABC（SAS），∴∠BDE＝∠BAC，DE＝AC，同理可证：△BAC≌△ECF，∴EF＝BA，AC＝FC，∴AD＝EF，DE＝AF，∴四边形AFED是平行四边形，∵BC＝5，AC＝3，AB＝4，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠BDE＝90°，∵∠BDA＝60°，∴∠ADE＝30°，作EG⊥DA于点G，∵DE＝AC＝3，∴EG=3∵AD＝AB＝4，∴平行四边形AFED的面积是：AD•EG＝4×32故答案为：6．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三．解答题（共8小题，满分64分）19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图．（1）图中的△ACD中，AD＝5．（2）在图中找一格点E，使CA平分∠BCE（保留作图痕迹）．【分析】（1）利用勾股定理计算即可．（2）以AD，CD为边作菱形ADCE，即可得格点E．【解答】解：（1）由勾股定理得，AD=32故答案为：5．（2）如图，以AD，CD为边作菱形ADCE，则CA平分∠BCE，则点E即为所求．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握勾股定理、角平分线的定义是解答本题的关键．20．（8分）如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．（1）求证：AE＝BF．（2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，结合对顶角相等即可利用AAS证明△AME≌△BMF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）结合（1）利用ASA证明△AEC≌△BFD，利用全等三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：∵BF∥AE，∴∠EAM＝∠FBM，在△AME和△BMF中，∠EAM∴△AME≌△BMF（AAS），∴AE＝BF；（2）解：∵△AME≌△BMF，∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BFD＝90°，在△AEC和△BFD中，∠AEC∴△AEC≌△BFD（ASA），∴EC＝FD，∴EC﹣CF＝FD﹣CF，即EF＝CD＝4，∴EM=12EF＝【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．21．（8分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C′的位置．（1）若∠1＝60°，求∠2，∠3的度数；（2）若AB＝4，AD＝8，求四边形ABFE的面积．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠2，根据折叠的性质得到∠BEF＝∠2＝60°，根据平角的概念计算；（2）由折叠的性质得出BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，由勾股定理得出x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，由梯形的面积公式可得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠1＝60°，由折叠的性质可知，∠BEF＝∠2＝60°，∴∠3＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）∵长方形纸片ABCD沿EF折叠，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，∵AE2+AB2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AE＝3，BE＝5，由（1）知∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，∴S四边形ABFE=12【点评】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．22．（8分）在数学探究活动课上，老师给出一道关于尺规作图的问题；如图1，AB∥CD，要求用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．小明的作法如图1所示：①以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线AC，AB于点E，F．②分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部交于点G③作射线AG，交CD于点P，则射线AP为∠BAC的平分线．小芳的作法如图2所示：以C为圆心，CA的长为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，则AP为∠BAC的平分线．（1）小明的作法中蕴含着几何的证明过程．由图1可知，AE＝AF，EG＝FG，AG＝AG，∴△AEG≌△AFG（依据：SSS），∴∠EAG＝∠FAG（全等三角形对应角相等），即AP就是所求作的∠CAB的平分线，（2）由图2小芳的作法可知，CA＝CP，则∠CAP＝∠CPA，又∵AB∥CD，∴∠CPA＝∠PAB，∴∠CAP＝∠PAB，即AP就是所求作的∠CAB的平分线．【分析】（1）利用作法得到AE＝AF，EG＝FG，AG＝AG，则可根据“SSS”判断△AEG≌△AFG，从而得到∠EAG＝∠FAG；（2）利用作法得到CA＝CP，则根据等腰三角形的性质得到∠CAP＝∠CPA，再根据平行线的性质得到∠CPA＝∠PAB，所以∠CAP＝∠PAB．【解答】解：（1）如图，连接EG，FG，小明的作法中蕴含着几何的证明过程．由图1可知，AE＝AF，EG＝FG，AG＝AG，∴△AEG≌△AFG（SSS），∴∠EAG＝∠FAG（全等三角形对应角相等），即AP就是所求作的∠CAB的平分线，故答案为：△AEG，△AFG，SSS；（2）由图2小芳的作法可知，CA＝CP，则∠CAP＝∠CPA，又∵AB∥CD，∴∠CPA＝∠PAB，∴∠CAP＝∠PAB，即AP就是所求作的∠CAB的平分线．故答案为：∠CAP＝∠CPA，∠CPA＝∠PAB．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．23．（8分）如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F．（1）求证：AD是线段CE的垂直平分线；（2）若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长．【分析】（1）根据垂直定义可得∠AED＝90°，从而可得∠AED＝∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得∠DAE＝∠DAC，然后利用AAS可证△AED≌△ACD，从而利用全等三角形的性质可得AE＝AC，DE＝DC，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；（2）利用角平分线的定义可得∠EAD＝30°，然后在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DE=12AD＝5，∠ADE＝60°，再利用（1）的结论可得∠DFE＝90°，从而可得∠DEF＝30°，最后在Rt△DEF中，利用含【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，在△AED和△ACD中，∠AED∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，DE＝DC，∴AD是线段CE的垂直平分线；（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠EAD=12∠BAC＝在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝16，∴DE=12AD＝8，∠ADE＝90°﹣∠EAD＝∵AD是线段CE的垂直平分线，∴∠DFE＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠ADE＝30°，∴DF=12DE＝∴DF的长为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．24．（8分）我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0，但是，在复数体系中，我们规定：i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．请阅读以下材料，解决问题．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如：i2＝i×i＝﹣1；i3＝i×i×i＝﹣1×i＝﹣i；又如：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣i；再如：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i．②若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：i4＝1，i2+i3+i4+i5＝0，3﹣2i的共轭复数为3+2i；（2）（a+bi）2的运算符合实数运算中的完全平方公式，求（2+3i）2的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣5i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…i2023）的值．【分析】（1）根据i2＝﹣1及运算法则计算；根据共轭复数的定义求解；（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得a，b的值，再代入计算即可求解．【解答】解：（1）填空：i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，3﹣2i的共轭复数为3+2i．故答案为：1，0，3+2i；（2）（2+3i）2＝22+12i+9i2＝4+12i﹣9＝﹣5+12i；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝2﹣5i，∴ab﹣1＝2，即ab＝3，a+b＝﹣5，（a2+b2）（i2+i3+i4+…i2023）＝[（a+b）2﹣2ab]（i2+i3+i4+…i2023）＝[（﹣5）2﹣2×3]（﹣1+i）＝﹣19+19i．【点评】本题考查了定义新运算，读懂定义及其运算法则是解题的关键，本题的计算较为复杂．25．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，AB＝20cm．动点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝4时，求△BPC的面积；（2）若AP平分∠CAB，求t的值；（3）若点P运动到边AB上，且使得CP＝AC，求t的值．【分析】（1）依题意得t＝4秒时，运动的路程AP＝8cm，此时点P在AC边上，则PC＝4cm，由勾股定理求出BC＝16cm，进而可得△BPC的面积；（2）当AP平分∠CAB时，点P在BC边上，过点P作PD⊥AD于D，设CP＝a，证△ACP和△ADP全等得AC＝AD＝12，CP＝DP＝a，则BD＝8cm，PB＝（16﹣a）cm，在Rt△BPD中由勾股定理求出a＝6，进而得AC+CP＝18cm，据此可得t的值；（3）过点C作CE⊥AB于E，先利用三角形的面积公式求出CE＝9.6cm，再利用勾股定理求出AE＝7.2cm，进而得AP＝14.4cm，则BP＝5.6cm，据此得AC+BC+BP＝33.6cm，由此可得t的值．【解答】解：（1）∵AC＝12cm，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，∴当运动的时间t＝4秒时，运动的路程AP＝4×2＝8（cm），此时点P在AC边上，如图1所示：∴PC＝AC﹣AP＝12﹣8＝4（cm），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，AB＝20cm，由勾股定理得：BC=AB2-∴S△BPC=12BC•PC=12×16×4＝（2）当AP平分∠CAB时，点P在BC边上，过点P作PD⊥AD于D，设CP＝a，如图2所示：∵∠C＝90°，PD⊥AD，∴∠C＝∠ADP＝90°，∵AP平分∠CAB，∠CAP＝∠DAP，在△ACP和△ADP中，∠CAP∴△ACP≌△ADP（AAS），∴AC＝AD＝12，CP＝DP＝a，∵AB＝20cm，BC＝16cm，∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（cm），PB＝BC﹣CP＝（16﹣a）cm，在Rt△BPD中，由勾股定理得：DP2+BD2＝PB2，即a2+82＝（16﹣a）2，解得：a＝6，∴CP＝a＝6cm，∴AC+CP＝12+6＝18（cm），∴t＝18÷2＝9（秒），即当AP平分∠CAB，t的值为9秒；（3）过点C作CE⊥AB于E，如图3所示：由三角形的面积公式得：S△ABC=12AB•CE=12∴CE=AC⋅BCAB在Rt△ACE中，AC＝12cm，CE＝9.6cm，由勾股定理得：AE=7.2（cm）∵CP＝AC＝12cm，CE⊥AB于E，∴AE＝PE＝7.2cm，∴AP＝AE+PE＝14.4（cm），∴BP＝AB﹣AP＝20﹣14.4＝5.6（cm），∴AC+BC+BP＝12+16+5.6＝33.6（cm），∴t＝33.6÷2＝16.8（秒）．∴点P运动到边AB上，且使得CP＝AC，t的值为16.8秒．【点评】此题主要考查了直角三角