1314特殊角的三角函数及其运算（B卷能力拓展）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

1.3—1.4特殊角的三角函数及其运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、填空题1．（2021·湖北安陆市九年级二模）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则______．【答案】【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，设BE为x，DE为y，根据，可得为等腰直角三角形，以及可证，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程求出x、y的值，即可求得BD的值．【详解】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，在中，，，设BE为x，DE为y，则根据勾股定理可得：，即：，，，，，，，即；根据，解得：，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形，勾股定理等知识点，根据相似三角形性质以及勾股定理列出方程是解题的关键．2．（2021·山东淄川九年级一模）如图，在锐角中，，，平分交于点，于点，，交于点，连接．则__________．【答案】【分析】先证明是等腰直角三角形，设AD=CD=x，则=，BD=x，再结合锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】解：∵在锐角中，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴设AD=CD=x，则=，BD=ABAD=x，∵平分交于点，∴BE=CE=DE，∴，故答案是：．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角的正切三角函数的定义，是解题的关键．3．（2021·云南昭通九年级期中）如图，在中，点从点出发沿边运动到点点从点出发沿边向点运动，点运动速度为点运动速度为它们同时出发，同时停止运动，经过______________________时，．【答案】或【分析】依题意，，，分两种情形讨论，①当点在点的左侧时，；进而根据，列方程即可解决；②当点在点的右侧时，如图，作于,于,证明，进而可得,根据，列方程即可解决．【详解】依题意，，①当点在点的左侧时，当，四边形是平行四边形，，，则，即，则解得，②当点在点的右侧时，如图，作于于，则四边形是矩形，在和中由则解得．故答案为：或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，特殊角的三角函数值，动点问题，分类讨论是解题的关键．4．（2021·广东深圳市九年级二模）如图，在和中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，，则__________．【答案】【分析】根据直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形相似的性质计算【详解】如图，连接EC，∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=∠AED=60°，∴△BAC∽△DAE，∴AC：AE=AB：AD，∵∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠EAC=∠BAD，∴△EAC∽△DAB，∴AD：AE=BD：EC=AB：AC，∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，∴AB：AC=tan60°=，∴AD=AE，BD=EC，∵∠EFA=∠CFD，∠ACB=∠AED=60°，∴△EFA∽△CFD，∴EF：CF=FA：FD，∵∠EFC=∠AFD，∴△EFC∽△AFD，∴DF：CF=AD：EC，∵DF=3FC，∴AD=3EC，∴AD：BD=3EC：EC=，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，灵活运用三角形相似的判定，特殊角的三角函数值是解题的关键．5．（2021·重庆市九年级月考）如图，已知菱形ABCD的对角线经过原点O，且∠B＝60°，A、C分别在双曲线y＝的图象上，若B在双曲线y＝的图象上，则k的值为_____．【答案】9【分析】如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．连接OB．首先证明，然后通过证得，根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．连接OB．∵A、C关于原点对称，∴OA＝OC，∵BC＝AB，OA＝OC，∠ABC＝60°，∴OB⊥AC，，∴∵∠BFO＝∠BOA＝∠AEO＝90°，∵∠BOF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠OAE，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为﹣9．【点睛】此题主要考查了反比例函数与几何的综合应用，涉及了反比例函数的性质、相似三角形、三角函数等有关知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．6．（2021·山东东营中考真题）如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段________．【答案】【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB与直线l所夹锐角为，正方形中，，∴∠=30°，∴=tan30°==1，∴；∵=1，∠=30°，∴=tan30°=，∴；∴线段,故答案为：.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.7．（2021·河南九年级二模）如图，在平行四边形中，，，点为直线上的一个动点，四边形为平行四边形，为的中点，则的最小值为______．【答案】【分析】利用平行线分线段成比例定理得到PG=GE，PE=PG，得到当PG⊥CD时，PG最小，即PE取得最小值，最小值为PG，过点C作CH⊥AB于点H，在Rt△BCH中，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：设PE交CD于点G，∵四边形PCEF为平行四边形，D为PF的中点，∴PF∥CE，即PD∥CE，∴，即PG=GE，∴PE=PG，当PG⊥CD时，PG最小，即PE取得最小值，最小值为PG，过点C作CH⊥AB于点H，∵四边形ABCD为平行四边形，∴PH∥CG，则四边形PHCG为矩形，∴PG=CH，在Rt△BCH中，BC=5，∠ABC=60°，∴CH=BC，∴PE的最小值为PG=3CH=，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、解答题8．（2021·广东龙岗九年级期末）如图1，分别以的、为斜边间外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，点是的中点，连接、．

（1）求证：；（2）如图2，若，，，求的正切值；（3）如图3，以的边为斜边问外作等腰直角三角形，连接，试探究线段、的关系，并加以证明．【答案】(1)证明见详解；(2)tan；(3)结论是：DG=EG，且DG⊥EG，证明见详解．【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可证∠DAG=∠BAF，可求，可证△ADG∽△ABF；（2）由∠BAC=90°，和都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可证点D，A，F三点共线，证△ADG∽△ABF；可得∠AGD=∠AFB，可求BD=AD=2，AF=3，DF==5，利用三角函数求tan=tan∠AFB=；（3）结论是：DG=EG，且DG⊥EG，证△ECG∽△BCF，可得BF=EG，∠EGC=∠BFC，由△ADG∽△ABF得BF=EG，∠AGD=∠AFB，可得DG=EG，∠DGE=90°即可．【详解】（1）∵和都是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠CAF=45°，∴∠DAG=∠DAB+∠BAC=∠CAF+∠DAB=∠BAF，∴AD=ABcos45°=，∴，∵点是的中点，∴AG=，∵AF=ACcos45°=，∴，∴，∴，又∠DAG=∠BAF，∴△ADG∽△ABF；（2）∵∠BAC=90°，和都是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠CAF=45°，∴∠DAF=∠DAB+∠BAC+∠CAF=45°+90°+45°=180°，∴点D，A，F三点共线，∵∠DAB=90°即∠FDB=90°，∴△DBF为直角三角形，∵△ADG∽△ABF；∴∠AGD=∠AFB，∵，，∴BD=AD=ABcos45°=，AF=ACcos45°=，∴DF=AF+AD=3+2=5，∴tan=tan∠AFB=；（3）结论是：DG=EG，且DG⊥EG，理由如下：∵△BCE和△ACF是等腰直角三角形，∴∠BCE=∠ACB=45°，∴EC=BCcos45°=，∴，∵点是的中点，∴CG=，

∴CF=AF=ACcos45°=，∴，∴，∴，∴∠BCE+∠ACB=∠ACF+∠ACB，即∠ECG=∠BCF，∴△ECG∽△BCF，∴