高考总复习文数（人教版）课时作业提升25解三角形应用举例

课时作业提升(二十五)解三角形应用举例A组夯实基础1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则AA．10km B．10eq\r(3)C．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：选D如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．2．(2018·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝()A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile解析：选D由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，所以BC＝5eq\r(6).3．(2018·广州模拟)某工程中要将一坡长为100m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高度不变，A．100eq\r(2)m B．100eq\r(3)mC．50(eq\r(2)＋eq\r(6))m D．200m解析：选A设坡底需加长xm，由正弦定理得eq\f(100,sin30°)＝eq\f(x,sin45°)，解得x＝100eq\r(2).4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BCA．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：选C∵tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq\r(3)，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq\r(3)－1)(m)，故选C．5．(2018·宜昌模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：选A如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A．eq\f(17\r(2),2)海里/小时 B．34eq\r(6)海里/小时C．eq\f(17\r(6),2)海里/小时 D．34eq\r(2)海里/小时解析：选C如图所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，∠MPN＝120°，由正弦定理，得eq\f(68,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，所以MN＝34eq\r(6)，所以该船的航行速度为eq\f(17\r(6),2)海里/小时．7．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.解析：∵82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，∴cosD＝－eq\f(1,2).∴AC＝eq\r(49)＝7(km)．答案：78．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20m，则折断点与树干底部的距离是________解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，解得AO＝eq\f(20\r(6),3)m.答案：eq\f(20\r(6),3)9．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为解析：如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又AB＝200，∴AC＝eq\f(400,3)eq\r(3).在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(DC,sin30°)，即DC＝eq\f(AC·sin30°,sin120°)＝eq\f(400,3)(m)．答案：eq\f(400,3)10．(2018·莆田模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(AC,BC)＝eq\f(sin120°,sin∠BAC)＝eq\r(3)⇒sin∠BAC＝eq\f(1,2).又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.60°－30°＝30°，即应取北偏东30°的方向前进．答案：30°11．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝100eq\在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米，在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝eq\r(BD2＋BC2)＝200米，所以客车的速度v＝eq\f(CD,\f(10,60))＝1200米/分＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知eq\f(EB,sin30°)＝eq\f(BC,sin45°)，所以EB＝eq\f(BCsin30°,sin45°)＝50eq\r(6)即此时客车距楼房50eq\B组能力提升1．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100eq\r(3)米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100eq\r(3).连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，∴BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝50000，∴BA＝100eq\r(5).即两发射塔顶A，B之间的距离是100eq\2．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq\f(2,17)秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC．解：(1)设BC＝x，由条件可知AC＝x＋eq\f(2,17)×340＝x＋40，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×eq\f(1,2)，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420米，故A，C两地的距离为420米．(2)在△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°，由正弦定理，可得eq\f(AC,sin∠AHC)＝eq\f(HC,sin∠HAC)，即eq\f(420,sin60°)＝eq\f(HC,sin30°)，所以HC＝eq\f(420×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝140eq\r(3)，故这种仪器的垂直弹射高度为140eq\3．某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，根据余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°＝62＋102－2×6×10×(－eq\f(1,2))＝196，所以AB＝14.故集镇A，B间的距离为14(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.设OM＝x，ON＝y，MN＝c，