湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题

岳阳市2024年高二教学质量监测数学本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】先求解出集合，然后求解出的子集个数.【详解】因为，所以，即，所以，所以的子集个数为8.故选：C.2.设数列为等比数列，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件得到，再利用等比数列的通项公式，即可求出结果.【详解】因为数列为等比数列，设公比为，因为，，所以，得到，又，当时，，当时，，故选：D.3.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的定义求解即可.【详解】向量，则向量在向量上的投影向量是.故选：A.4.已知，均为锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用平方关系得到，，构角，利用余弦的和角公式，即可求出结果.【详解】因为，均为锐角，即，所以，，又，，所以，，所以，故选：B.5.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得是直角三角形，进而可得，再根据椭圆定义建立等式计算即可.【详解】因为，所以，即直角三角形，因为直线的一个方向向量为，所以，即，因为，所以，因为，所以.故选：A6.将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（）A.84 B.90 C.72 D.78【答案】C【解析】【分析】先选出两人分别与甲，乙组队，再进行全排列，得到答案.【详解】除甲和乙外，从剩余的4人中选两人，分别与甲和乙组队，有种情况，再将分好的3组和3个景点进行全排列，共有种情况，故不同的安排方法数有.故选：C7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判断与，与的大小，然后构造函数，通过研究得出与的大小，选出答案.【详解】设，则，当时，，即在上单调递减，故，故，所以，所以，即；因为，所以，即；构造函数，，当时，，单调递增，所以，即.故选：B.8.已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，得到或，当，，利用导数与函数单调性间的关系，得到的单调区间，数形结合，得到当时，有四个根，从而有当，有四个零点，由和，直接求出零点，即可求出结果.【详解】令，得到，解得或，又时，，，由得到，由，得到，即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，时，，其图象如图，所以，当时，或均有2个根，有四个根，即时，有四个零点，又函数有8个零点，所以，当，有四个零点，由，得到或，即或，由，得到或，即或，又，，所以从右向左的个零点为，，，，所以，得到，故选：D.【点睛】关键点睛：本题是考查函数的零点个数问题，解答的关键是明确分段函数的性质特点，结合分类讨论、数形结合以及三角函数性质求解参数范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.根据国家统计局统计，我国20182023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据：x123456y（单位：万人）1523146512021062956902已知，由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则（）A.B.这6年出生人口数下四分位数为1465C.样本相关系数D.样本点的残差为55【答案】AC【解析】【分析】对A，回归直线过样本中心点；对B，注意百分位数的计算方法；对C，相关系数与回归直线的斜率正负相同；对D，残差为观测值减去预测值.详解】对A，，所以，A正确；对B，，所以下四分位数是把数据从小到大排列的第二个数956，B错误；对C，相关系数和的正负相同，C正确；对D，时，，对应残差为，D错误.故选：AC.10.已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（）A.B.当平面截三棱锥的截面为正方形时，C.三棱锥的体积最大值为1D.当时，三棱锥的外接球的半径为【答案】ACD【解析】【分析】对A，利用线面垂直证线线垂直；对B，计算出的长度即可；对C，当为直角时体积最大；对D，先找到球心的位置，再进行计算.【详解】对A，取AC中点H，则由，，所以AC⊥，，平面，，所以AC⊥面，又平面，所以AC⊥，A正确；对B，取的中点I，易知EFGI为平行四边形(如下图)，则截面为正方形时，EF=FG=1，由中位线，=2，又BH==，所以∠不可能为，B错误；对C，当面ABC时体积最大，最大为，C正确；对D，过和的外心作所在面的垂线，则交点O即为外心，又，所以，所以，D正确.故选：ACD.11.已知函数，对任意的实数x，y都有成立，，，则（）A.为偶函数 B.C. D.4为的一个周期【答案】BCD【解析】【分析】对于前三个选项可以运用赋值法可解，对于D，先考虑周期性，再赋值即可解决.【详解】对于A，令，代入计算得，，即2．则.令，代入计算得，，则，故为奇函数，故A错误；对于B，令，代入计算得，，即，则，故B正确；对于C，令为，令，则，变形即，故C正确；对于D，令为，，代入计算得，即，则.令为代入得到，则周期为4.由C得，，且，运用周期为4，则，则，故4为的一个周期，故D正确．综上所得，正确答案为：BCD.故选：BCD.【点睛】关键点点睛；本题D选项的关键是首先计算得到周期为4，再转化得.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为虚数单位，则的共轭复数为__________.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义，即可求出结果.【详解】因为，所以的共轭复数为，故答案为：.13.在中，内角的对边分别为，若且，则面积的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据正弦定理、内角和定理、两角和正弦公式、特殊角的三角函数化简等式解出角，利用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式解出最大值；【详解】，所以，余弦定理可知，当时，等号成立即，则面积为则面积的最大值为.故答案为：.14.抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，再结合导数的几何意义得到在A、B处的切线方程，联立后求出的坐标，从而得到，从而表达出，结合对勾函数单调性得到最值.【详解】由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点，设直线方程为，联立得，，设，，则，故，，故，，，故过的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，联立与得，故，故，，则，故，其中，由在上单调递增，故当，即时，取得最小值，最小值为.故答案为：9【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，；（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再根据条件得到，利用线面垂直的判定定理得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，再利用线面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】因为面圆，又面圆，所以，又为圆弧的两个三等分点，所以，得到，又，所以,又，面，所以面，又面，所以平面平面.【小问2详解】取的中点，连接，如图，以所以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为为的中点，，所以，又因为，，所以，则，，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，，所以，设直线与平面所成的角为，所以.16.某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.（1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望；（2）若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据条件知，利用二项分布列及期望公式，即可求出结果；（2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品，则，，，，再利用全概率公式，即可求出结果.【小问1详解】由题知，，所以的分布列为，.【小问2详解】记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品，则，，，，所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为.17.已知函数，其中.（1）若，求在处的切线方程；（2）当时，设.求证：存在极小值点.【答案】（1）（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）当时，，由此利用导数的几何意义即可求出函数在处的切线方程.（2）求得导数，得到，再求函数的导数，因为，所以与同号，构造函数，求得，利用零点存在定理证明函数存在，使得，进而得到在上的单调性，即可作出证明.【小问1详解】依题意得，函数的定义域为，因为，所以，所以，所以，又因为，所以在处的切线方程为，即.小问2详解】因为，所以，即，所以，令，则，所以对任意，有，故在单调递增.因为，所以，，所以存在，使得.因为恒成立，所以和在区间上的情况如下表：单调递减极小值单调递增所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以存极小值点.18.定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题：（1）若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）；（2）已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列；①求数列的通项公式；②若.证明：【答案】（1）数列存在极限，极限为；数列不存在极限（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设定义，即可判断出结果；（2）①根据条件得到，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果；②利用①中结果，得到，再根据题设定义，即可求出结果.【小问1详解】数列存在极限，因为当时，，所以，数列不存在极限，因为当时，，，所以数列不存在极限，【小问2详解】①因为，所以，得到①，当时，②，由①②，得到，整理得到，所以，得到，又，所以当时，，又，满足，所以数列的通项公式为.②由（1）知，所以，当时，，所以.19.已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点；（1）求曲线的轨迹方程；（2）若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点；（3）若直线与直线分别交于，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设，根据条件建立等式，化简即