2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练67　几何概型

课时分层训练(六十七)几何概型(对应学生用书第269页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的概率为()A．eq\f(1,π)B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)C[由0≤sinx≤eq\f(1,2)，且x∈[0，π]，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)).故所求事件的概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(5,6)π))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－0)),π－0)＝eq\f(1,3).]2．若将一个质点随机投入如图10­6­6所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图10­6­6A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)B[设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝eq\f(阴影面积,长方形面积)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).]3．(2018·深圳二调)设实数a∈(0,1)，则函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点的概率为()【导学号：97190368】A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)D[由函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥eq\f(3,4)，即有eq\f(3,4)≤a<1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故选D.]4．(2018·湖北调考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[如图所示，设与y＝x平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线y＝x的距离相等，过点A作AE垂直于直线y＝x，垂足为E，当点A到直线y＝x的距离为1时，AE＝1，又CA＝2，则∠ACE＝eq\f(π,6)，所以∠ACB＝∠FCD＝eq\f(π,3)，所以所求概率P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故选D.]5．已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[当点P到底面ABC的距离小于eq\f(3,2)时，VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC．由几何概型知，所求概率为P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).]6．(2018·西宁检测(一))已知平面区域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2<4}，在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,16) D．eq\f(π,32)C[平面区域D1是边长为4的正方形，面积是16，其中区域D1与D2的公共部分是半径为2的eq\f(1,4)圆，其面积为eq\f(1,4)×π×22＝π，则所求概率为eq\f(π,16)，故选C．]7．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A．eq\f(4n,m) B．eq\f(2n,m)C．eq\f(4m,n) D．eq\f(2m,n)C[因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).]二、填空题8.如图10­6­7所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．图10­6­7eq\f(1,6)[如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).]9．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．eq\f(1,27)[由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).]10．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图10­6­8所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.【导学号：97190369】图10­6­8eq\f(2,3)[由对称性，S阴影＝4eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x3,3)))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(1,0)＝eq\f(8,3).又S正方形ABCD＝2×2＝4，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P＝eq\f(S阴,S正方形ABCD)＝eq\f(2,3).]B组能力提升(建议用时：15分钟)11．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)π B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)D[|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分．∵S圆＝π×12＝π，S阴影＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)×12＝eq\f(π－2,4).故所求事件的概率P＝eq\f(S阴影,S圆)＝eq\f(\f(π－2,4),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).]12．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤eq\f(1,2)”的概率，p2为事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，则()A．p1<p2<eq\f(1,2) B．p2<eq\f(1,2)<p1C．eq\f(1,2)<p2<p1 D．p1<eq\f(1,2)<p2D[如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)”对应的图形为阴影△ODE(如图①)，其面积为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)<eq\f(1,2)，事件“xy≤eq\f(1,2)”对应的图形为斜线表示部分(如图②)，其面积显然大于eq\f(1,2)，故p2>eq\f(1,2)，则p1<eq\f(1,2)<p2，故选D.]13.(2018·太原模拟(二))如图10­6­9，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为eq\f(1,5)，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图10­6­9A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(1,5) D．eq\f(\r(3),3)B[设大正方形边长为a，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则小正方形的面积为a2－4×eq\f(1,2)×acosθ×asinθ＝a2－a2sin2θ，则由题意，得eq\f(a2－a2sin2θ,a2)＝eq\f(1,5)，解得sin2θ＝eq\f(4,5).因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＋cosθ＝eq\r(1＋sin2θ)＝eq\f(3,\r(5))①，sinθ－cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(1,\r(5))②.由①＋②解得sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，故选B．]14．(2018·贵州适应性考试)已知区域Ω＝{(x，y)||x|≤eq\r(2)，0≤y≤eq\r(2)}，由直线x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，曲线y＝cosx与x轴围成的封闭图形所表示的区域记为A．若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A内的概率为()A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(6),4)C[区域Ω＝{(x，y)||x|≤eq\r(2)，0≤y≤eq\r(2)}对应的区域是矩形，面积为2eq\r(2)×eq\r(2)＝4，区域A的面积为2∫eq\f(π,3)0cosxdx＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，由几何概型的概率计算公式得所求的概率为P＝eq\f(\r(3),4)，故选C．]15．在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝AC＝eq\r(3)，∠BAC＝120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________.【导学号：97190370】eq\f(2,3)[因为tanθ＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(1,AD)