举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题7.3 复数的四则运算（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题7.3复数的四则运算（重难点题型精讲）1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对任意,,∈C，有

①交换律：+=+；

②结合律：(+)+=+(+).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差-对应的向量是-，即向量.如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).

这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有

①交换律：=；

②结合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，=，=.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义

设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则|​​​​​​​|=，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.

故|​​​​​​​|=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.6．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根，=；

当=0时，方程有两个相等的实根==-；

当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复数.7．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【题型1复数的加、减运算】【方法点拨】两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知z1=1+i，z2=2−2A．4 B．5+3i C．4−3i 【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若z−3+5i=8−2i，则zA．5−3i B．11−7i C．8+7i【变式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）1+i+−2+2A．−1+3i B．1+i C．−1+i【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2z+z+3z−A．12+1C．2+2i D．【题型2复数加、减法的几何意义的应用】【方法点拨】(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.【例2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【变式2-1】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（

）A．5 B．5 C．25 D．10【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（

）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【题型3复数的乘除运算】【方法点拨】(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知z1+i=7+5i，则A．6−i B．6+i C．3−2i【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数z对应的点为(−1,1)，则z1+i=A．−1+i B．−1−i C．i 【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数z=−1+2i（i为虚数单位）的共轭复数为z，则z⋅iA．-2-i B．-2+i C．2−i D．【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数z满足z−i=4+3iA．3+3i B．3−3i C．−3+3i【题型4虚数单位i的幂运算的周期性】【方法点拨】根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则i20231−iA．−12+12i B．1【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）i2022=（A．−1 B．1 C．−i D．【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设i是虚数单位，则i+i2A．i+1 B．i−1 C．i【变式4-3】1+i1−iA．i B．−i C．22005 【题型5解复数方程】【方法点拨】实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.【例5】（2022·重庆江北·校考一模）已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0的一个根，则实数mA．−2 B．2 C．−4 D．4【变式5-1】（2022秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数1+i（i为虚数单位）为实系数方程x2+px+q=0的一根，则p+q=（A．4 B．2 C．0 D．−2【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知ω是方程x2+x+1=0的虚数根，则1+ω+ωA．0 B．±1 C．12±3【变式5-3】（2022秋·上海宝山·高二阶段练习）若1+2i是关于x的实系数方程x2A．b=2，c=3 B．b=2，c=−C．b=−2，c=−3 D．b=−2，【题型6四则运算下的复数概念】【方法点拨】先根据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.【例6】（2022·江苏常州·校考模拟预测）已知复数z是纯虚数，1+z1+i是实数，则z=A．－i B．i C．－2i D．2i【变式6-1】（2023秋·江西抚州·高三期末）已知复数z满足3+iz=4−2i，则复数zA．1−i B．1+i C．2+i【变式6-2】（2023秋·江苏扬州·高三期末）若i为虚数单位，复数z满足z1+i=3+4iA．−3 B．3 C．−2 D．2【变式6-3】在复平面内，复数z=2i−2A．位于第一象限B．对应的点为(2,−2)C．zD．是纯虚数专题7.3复数的四则运算（重难点题型精讲）1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对任意,,∈C，有

①交换律：+=+；

②结合律：(+)+=+(+).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差-对应的向量是-，即向量.如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).

这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有

①交换律：=；

②结合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，=，=.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义

设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则|​​​​​​​|=，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.

故|​​​​​​​|=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.6．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根，=；

当=0时，方程有两个相等的实根==-；

当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复数.7．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【题型1复数的加、减运算】【方法点拨】两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知z1=1+i，z2=2−2A．4 B．5+3i C．4−3i 【解题思路】根据复数加法法则，实部和虚部分别相加即可得出结果.【解答过程】由z1=1+iz1故选：D.【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若z−3+5i=8−2i，则zA．5−3i B．11−7i C．8+7i【解题思路】设复数z=a+bia,b∈R，利用复数的加减运算法则，解出a，b，即可得【解答过程】设z=a+bia,b∈则z−3+5i所以a−3=8b+5=−2得a=11b=−7所以z=11−7i故选：B.【变式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）1+i+−2+2A．−1+3i B．1+i C．−1+i【解题思路】利用复数的加法运算直接计算作答.【解答过程】1+i故选：A.【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2z+z+3z−A．12+1C．2+2i D．【解题思路】由复数的运算法则与复数相等的概念求解即可【解答过程】设z=a+bia,b∈R所以z+zz−z所以2z+所以a=1故选：A.【题型2复数加、减法的几何意义的应用】【方法点拨】(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.【例2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1所以由复数加法的几何意义可得，z2故选：C.【变式2-1】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（

）A．5 B．5 C．25 D．10【解题思路】根据复数减法的几何意义求出向量AC对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．【解答过程】依题意，AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.故选：B．【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（

）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i【解题思路】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．【解答过程】∵OC＝∴OC对应的复数为：1+2i−2+i=−1+3i，∴点C对应的复数为−1+3i．故选D．【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【解题思路】由向量PQ+QP=【解答过程】由题图可知，PQ+QP=∴z1＋z2－z3＝0.故选：D.【题型3复数的乘除运算】【方法点拨】(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知z1+i=7+5i，则A．6−i B．6+i C．3−2i【解题思路】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.【解答过程】因为z=7+5所以z=6+故选：B.【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数z对应的点为(−1,1)，则z1+i=A．−1+i B．−1−i C．i 【解题思路】由复数z对应的点的坐标得到z=−1+i【解答过程】由题意可知z=−1+i，所以z故选：C.【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数z=−1+2i（i为虚数单位）的共轭复数为z，则z⋅iA．-2-i B．-2+i C．2−i D．【解题思路】先得到z=−1−2【解答过程】由题意得：z=−1−2i，故故选：C.【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数z满足z−i=4+3iA．3+3i B．3−3i C．−3+3i【解题思路】根据复数的运算法则，以及共轭复数的定义进行求解即可.【解答过程】因为z−所以z=则z=3+3i故选：A.【题型4虚数单位i的幂运算的周期性】【方法点拨】根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则i20231−iA．−12+12i B．1【解题思路】利用复数的除法运算和乘方运算，进行化简、整理，即可得答案．【解答过程】i2023故选：B．【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）i2022=（A．−1 B．1 C．−i D．【解题思路】根据i的周期性，计算即可得到结果.【解答过程】因为i则i故选:A.【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设i是虚数单位，则i+i2A．i+1 B．i−1 C．i【解题思路】利用in【解答过程】i+i2+i故选:B.【变式4-3】1+i1−iA．i B．−i C．22005 【解题思路】先利用复数除法化简1+i1−i【解答过程】1+i故选：A.【题型5解复数方程】【方法点拨】实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.【例5】（2022·重庆江北·校考一模）已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0的一个根，则实数mA．−2 B．2 C．−4 D．4【解题思路】根据1+i是关于x的方程x【解答过程】因为1+i是关于x的方程x所以(1+i)2+m(1+i解得：m=−2，故选：A.【变式5-1】（2022秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数1+i（i为虚数单位）为实系数方程x2+px+q=0的一根，则p+q=（A．4 B．2 C．0 D．−2【解题思路】将1+i代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解.【解答过程】因为1+i