举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题6.12 解三角形（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题6.12解三角形（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知a=2,b=3,B=30°，则此三角形（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解2．（3分）（2022秋·吉林四平·高三阶段练习）△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知a=3,b=2,cosC=13，则A．2 B．3 C．4 D．53．（3分）（2022·陕西安康·统考三模）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinC=45,c=4,B=πA．1 B．2 C．1或7 D．2或144．（3分）（2022·云南·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，△ABC的面积为12b(bsinB−asinA．π6 B．5π6 C．π5．（3分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在△ABC中，若a+b+cb+c−a=3bc，且sinA=2sinBA．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．（3分）（2023·全国·高三对口高考）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A−sinBsinA．−12,12 B．0,17．（3分）（2022春·福建莆田·高一期中）为了测量铁塔OT的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走140米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB=60°，则铁塔OT的高度为(

)A．2021米 B．25C．207米 D．258．（3分）（2022秋·江西上饶·高三阶段练习）三角形ABC的三边a,b,c所对的角为A,B,C，1−(sinA−A．C=π3 B．若△ABC面积为43C．当b=5，c=7时，a=9 D．若b=4，B=π4，则△ABC二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·河北张家口·高三期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．b=10,A=45°,C=60° B．b=C．a=3,b=2,A=45° 10．（4分）（2022秋·广东广州·高二阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下面四个结论正确的是（

）A．a=2，A=30°，则△ABC的外接圆半径是2 B．若acosAC．若a2+b2>c2，则11．（4分）（2022秋·福建福州·高二期中）三角形ABC的三边a,b,c所对的角为A,B,C，1−(sinA−A．C=π3 B．若△ABC面积为43C．当b=5，c=7时，a=9 D．若b=4，B=π4，则△ABC12．（4分）（2022·全国·高一专题练习）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（）A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCDC．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·高一课时练习）在△ABC中，a=x,b=3,B=30°，若该三角形有两解，则x的取值范围是．14．（4分）（2021秋·陕西咸阳·高二期中）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75∘距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为nmile/h.（结果精确到整数，参考数据：615．（4分）（2022秋·甘肃兰州·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，3bcosA−acosC=ccosA，点D在线段BC上，2BD=DC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则16．（4分）（2022秋·山东青岛·高三阶段练习）已知在锐角△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若b2=a(a+c)，则asinAb四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·高一课时练习）在△ABC中，A=α0<α<π2，b=m．分别根据下列条件，求边长(1)△ABC有一解；(2)△ABC有两解；(3)△ABC无解．18．（6分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点D在边BC上，且AD=3，BD=2,CD=1.(1)若B=2π3(2)若c=4，求b.19．（8分）（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin(1)求C；(2)若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求a+b的取值范围．20．（8分）（2022春·河北唐山·高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足A=45∘，(1)求cosC的值；(2)若BC=10，D是AB的中点，求CD的长．21．（8分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a(sin(1)求角B的大小；(2)若b(sinA+sinC)sin22．（8分）（2022春·福建三明·高一阶段练习）三明如意湖湿地公园是以水为主题的公园，分生态净化区、生态保育区、生态科普区三个区域，具有生态观光、休闲娱乐多种功能．欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中DC=8百米，DA=4百米，△ABC为正三角形，建成后△BCD将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域．(1)当∠ADC=π3时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△(2)求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积的最大值．专题6.12解三角形（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知a=2,b=3,B=30°，则此三角形（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解【解题思路】根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答.【解答过程】在△ABC中，a=2,b=3,B=30°，由正弦定理得sinA=而a<b，有A<B=30∘，即故选：A.2．（3分）（2022秋·吉林四平·高三阶段练习）△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知a=3,b=2,cosC=13，则A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】直接由余弦定理求边长c即可.【解答过程】解：因为a=3,b=2,又余弦定理得：c2=a故选：B.3．（3分）（2022·陕西安康·统考三模）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinC=45,c=4,B=πA．1 B．2 C．1或7 D．2或14【解题思路】利用正弦定理求出b，两角和的正弦展开式求出sinA【解答过程】由csinC=因为sinC=45，所以cos∴sinA=sin(B+C)=∴S△ABC或S△ABC故选：C.4．（3分）（2022·云南·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，△ABC的面积为12b(bsinB−asinA．π6 B．5π6 C．π【解题思路】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.【解答过程】由题知，△ABC的面积为12所以12ab所以由正弦定理得ac=b2−所以cosB=因为B∈0,所以B =故选：D.5．（3分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在△ABC中，若a+b+cb+c−a=3bc，且sinA=2sinBA．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【解题思路】将a+b+cb+c−a=3bc化简并结合余弦定理可得sinA=2【解答过程】由a+b+cb+c−a=3bc，得整理得b2+c因为A∈(0,π)，所以又由sinA=2sin化简得b=c，所以△ABC为等边三角形，故选：B.6．（3分）（2023·全国·高三对口高考）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A−sinBsinA．−12,12 B．0,1【解题思路】利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解答过程】由正弦定理及sin2A−sin根据余弦定理a2得a2令p=sinB−sin因此a2=4p由题意可知A是锐角，所以0<cos因此0≤p2<故选:A.7．（3分）（2022春·福建莆田·高一期中）为了测量铁塔OT的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走140米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB=60°，则铁塔OT的高度为(

)A．2021米 B．25C．207米 D．25【解题思路】设TO=h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．【解答过程】设铁塔OT的高度为ℎ，在Rt△AOT中，∠TAO=30°，AO=在Rt△BOT中，∠TBO=60°，BO=在△AOB中，∠AOB=60°，由余弦定理得，AB即1402化简得ℎ2=3故选：A．8．（3分）（2022秋·江西上饶·高三阶段练习）三角形ABC的三边a,b,c所对的角为A,B,C，1−(sinA−A．C=π3 B．若△ABC面积为43C．当b=5，c=7时，a=9 D．若b=4，B=π4，则△ABC【解题思路】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出C=π3；对于B，由△ABC面积为43，求出ab=16，由余弦定理得到c=【解答过程】对于A，由1−(sinA−得sin2由正弦定理得a2所以cosC=因为0<C<π，所以C=对于B，因为△ABC面积为43，所以12ab所以ab=16，由余弦定理得c2=a所以c=(a+b)2−2ab−16所以a+b+c=a+b+(a+b)2−48≥2ab当且仅当a=b=4时，等号成立，故△ABC的周长的最小值为12.故B说法正确；对于C，当b=5，c=7时，由余弦定理得c2所以49=a2+25−10a⋅解得a=8或a=−3（舍），故C说法不正确；对于D，若b=4，B=π4，由正弦定理得得c=bsinC所以△ABC面积为12bcsin因为sin5π12=sin所以△ABC面积为46×2故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·河北张家口·高三期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．b=10,A=45°,C=60° B．b=C．a=3,b=2,A=45° 【解题思路】对于A，直接判断即可；对于B，sinC=csinBb=4⋅3215=【解答过程】对于A，因为b=10,A=45°,C=60°，所以B=75°，所以△ABC只有一解；故A错误；对于B，因为b=15所以由正弦定理得sinC=因为b<c，即B<C，所以C>60°，所以△ABC有两解（60°<B<90°，或90°<B<120°），故B正确；对于C，因为a=3所以由正弦定理得asinA=因为22<23<32对于D，因为a=8,b=4,A=80°，所以由正弦定理得sinB=由于b<a，故B<80°，所以△ABC只有一解，故D错误；故选：BC.10．（4分）（2022秋·广东广州·高二阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下面四个结论正确的是（

）A．a=2，A=30°，则△ABC的外接圆半径是2 B．若acosAC．若a2+b2>c2，则【解题思路】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解答过程】对A：由正弦定理知asinA=4=2R对B：由正弦定理及acosA=bsinB可得，sinA对C：因为cosC=a2+b对D：若A<B，a<b，所以由正弦定理得sinA<故选：ABD.11．（4分）（2022秋·福建福州·高二期中）三角形ABC的三边a,b,c所对的角为A,B,C，1−(sinA−A．C=π3 B．若△ABC面积为43C．当b=5，c=7时，a=9 D．若b=4，B=π4，则△ABC【解题思路】由题意可得sin2C=sin2A+sin2B−sinAsinB，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角【解答过程】因为△ABC，由题意可得1−sin整理得sin2由正弦定理边角互化得c2又由余弦定理c2=a2+当S△ABC=12absinC=4所以c2=a所以a+b+c≥12，B正确；由当b=5，c=7时，c2=a由C=π3，B=π4得A=5又因为sin5所以S△ABC故选：ABD.12．（4分）（2022·全国·高一专题练习）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（）A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCDC．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC【解题思路】根据正弦定理和余弦定理分析与AB相关的三角形是否可解，从而可得正确的选项．【解答过程】对于A，在△BCD，因为已知CD,∠BCD,∠BDC，故由正弦定理可解三角形△BCD，从而求出CB，而在Rt△ACB中，因为已知∠ACB，故可求AB的高度，故A正确．对于B，知道CD,∠ACB,∠ACD,∠BCD，则AB可沿CB变化，故不可求AB的高度，故B错误．对于C，在△ACD，因为已知CD,∠ACD,∠ADC，故由正弦定理可解三角形△ACD，从而求出CA，而在Rt△ACB中，因为已知∠ACB，故可求AB的高度，故C正确．对于D，如图所示，设∠ACB=α，∠BCD=β，∠ADC=γ，AB=ℎ，在Rt△ACB中，AC=ℎ在△BCD中，BD在Rt△ADB中，AD2在△ACD中，AC即ℎ2sin2α=AD故可求AB的高度，故D正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·高一课时练习）在△ABC中，a=x,b=3,B=30°，若该三角形有两解，则x的取值范围是3,6．【解题思路】利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinB的值代入表示出sinA，根据B的度数确定出【解答过程】解：由asinA因为B=30°，所以0°<A<150°要使三角形有两解，所以30°<A<150°且A≠90°,所以12<sinA<1，即故答案为：3,6.14．（4分）（2021秋·陕西咸阳·高二期中）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75∘距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为21nmile/h.（结果精确到整数，参考数据：6【解题思路】由图可知，利用正弦定理可求出MN的长，根据航行时长为4小时，即可求得这只船的航行速度.【解答过程】如下图所示：根据题意可知，MP=68，且∠MPN=75∘+则在△MPN中，有正弦定理可知MPsin所以MN=62MP=34所以，航行速度为MN4又结果精确到整数，即航行速度为21nmile/h故答案为：21.15．（4分）（2022秋·甘肃兰州·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，3bcosA−acosC=ccosA，点D在线段BC上，2BD=DC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则【解题思路】先由3bcosA−acosC=ccosA结合正弦定理求得cosA，sinA，再由余弦定理可得b2+c2−23bc=16，结合不等式【解答过程】因为3bcosA−acos则3sin因为0<B<π，所以sin所以cosA=13由余弦定理可得a2=b因为b2+c2≥2bc，所以2bc−连结AD，因为2BD=DC，所以S△ACD所以12b⋅DF=2×12c×DE=则S△DEF故答案为：642.16．（4分）（2022秋·山东青岛·高三阶段练习）已知在锐角△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若b2=a(a+c)，则asinAb【解题思路】根据余弦定理及正弦定理的边换角得到B=2A，再将问题的分式利用正弦定理进行边换角，转化求sinA的范围，再求出A【解答过程】因为b2则b2即a=则sinA即sin即sinA即sinA又△ABC则-π2<B-asin又0<A<π即sinA即asinAb故答案为：12四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·高一课时练习）在△ABC中，A=α0<α<π2，b=m．分别根据下列条件，求边长(1)△ABC有一解；(2)△ABC有两解；(3)△ABC无解．【解题思路】（1）根据正弦定理，得到sinB=msinαa.分a<b（2）由已知可得sinα<（3）由已知可得sinB>1【解答过程】（1）由正弦定理asinA=（ⅰ）当a<b，即a<m时，sinB=①若sinB>1，即msinαa>1，则B②若sinB=1，即msinαa=1，B=③若sinB<1，即msinαa<1，因为sinB>sinA，此时综上所述，当a=msinα时，（ⅱ）当a=b，即a=m时，sinB=msin（ⅲ）当a>b，即a>m时，sinB=msinαa综上所述，△ABC有一解时，边长a的取值范围是a=msinα或（2）由（1）知，△ABC有两解，应满足sinA<sinB<1，由sinB=m（3）由（1）知，△ABC无解，应满足sinB>1，即msinα18．（6分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点D在边BC上，且AD=3，BD=2,CD=1.(1)若B=2π3(2)若c=4，求b.【解题思路】（1）在△ABD中，由余弦定理可求出结果；（2）在△ABD中，由余弦定理求出cosB，在△ABC中，由余弦定理求出b【解答过程】（1）在△ABD中，由余弦定理得AD所以9=c2+4−2c⋅2⋅(−解得c=6−1或（2）在△ABD中，由余弦定理得AD所以9=16+4−2⋅4⋅2⋅cosB，所以在△ABC中，AC2=AB2所以b=3419．（8分）（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin(1)求C；(2)若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求a+b的取值范围．【解题思路】（1）由正弦定理得到cosC2=12（2）设∠CAD=α，则α∈0,π3，由正弦定理得到b=【解答过程】（1）csinB=bsin因为B∈0,π，所以故sinC=sinC因为C2∈0,故cosC因为C2∈0,π（2）在△ACD中，CD=2a，设∠CAD=α，则α∈0,由正弦定理得：ACsin即bsin解得：b=2故a+b=2因为α∈0,π3a+b的取值范围是1220．（8分）（2022春·河北唐山·高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足A=45∘，(1)求cosC的值；(2)若BC=10，D是AB的中点，求CD的长．【解题思路】(1)讨论B，结合同角三角函数基本关系求cosB，再由两角和差余弦公式求cos(2)讨论B，利用正弦定理解△ABC可求AB，再由余弦定理解△BCD即可求得CD的长.【解答过程】（1）在△ABC中，A=45°，sinB=当B∈0,π2时，cos当B∈π2,cosC=−（2）由(1)当B∈0,π2时，cos∠ACB=2在△ABC中，由正弦定理可得AB