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文档简介

专题6.8平面向量基本定理及坐标表示(重难点题型检测)【人教A版2019】考试时间:60分钟;满分:100分姓名:___________班级:___________考号:___________考卷信息:本卷试题共22题,单选8题,多选4题,填空4题,解答6题,满分100分,限时60分钟,本卷题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可衡量学生掌握本节内容的具体情况!一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2023·北京·高一期末)已知向量a=1,x,b=x,4,则“x=2”是“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.(3分)(2023·全国·高三专题练习)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且|AB|=2|AP|,则点PA.(3,1) B.(1,−1) C.(3,1)或(1,−1) D.(3,1)或(1,1)3.(3分)设向量a=(1,−3),b=(−2,4),c=(−1,−2),若表示向量4A.(2,6) B.(−2,6) C.(2,−6) D.(−2,−6)4.(3分)(2022秋·广东·高三阶段练习)在平行四边形ABCD中,设AC=a,BD=b,AP=12A.712a−112b B.15.(3分)(2022春·河南焦作·高一期中)在平行四边形ABCD中,点E满足DE=2EC,点O是边AB的中点,AE与DO交于点M.设DM=λAB+μA.−25 B.25 C.−6.(3分)(2022秋·江苏南京·高二阶段练习)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在矩形ABCD所在平面内,且满足AP⋅DP=3.若AP=mABA.−1 B.1 C.2 D.37.(3分)(2022秋·山东潍坊·高三阶段练习)锐角三角形ABC中,D为边BC上一动点(不含端点),点O满足AO=3OD,且满足AO=λAB+μA.43 B.34 C.3 8.(3分)(2022秋·山东·高三阶段练习)若点G是△ABC所在平面上一点,且AG+BG+CG=0→,H是直线BG上一点,A.2 B.1C.12 D.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022秋·福建福州·高三期中)已知向量a=2,−1,A.若a∥b,则m=−4 B.若aC.若|2a−b|=|a+b10.(4分)(2022·全国·高三专题练习)如图,直角三角形ABC中,D,E是边AC上的两个三等分点,G是BE的中点,直线AG分别与BD,BC交于点F,H设AB=a,AC=A.AG=12a+13b 11.(4分)(2022·浙江·模拟预测)已知向量a=sin2ωx,1,b=1,cos2ωx,ω>0A.ω=2B.fx在3C.fx的图象向左移π4个单位,图像关于D.fx取最大值时,x的取值集合为12.(4分)(2022秋·福建三明·高三期中)如下图所示,B是AC的中点,BE=2OB,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且OP=xA.当P是线段CE的中点时,x=−12B.当x=−12C.若x+y为定值2时,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段D.x−y的最大值为−1三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2023·高一课时练习)设a=4,−3,b=x,5,c=−1,y,若a14.(4分)(2023·高一课时练习)已知OA=3,1,OB=−1,2,OC⊥OB,BC∥OA,又15.(4分)(2022春·广东广州·高一阶段练习)在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,E为CD的中点,若EF=2FB,AF=λAB+μAD16.(4分)(2022·全国·高三专题练习)如图,在△ABC中,O为线段BC上一点,且BO=2OC,G为线段AO的中点,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,AB=mADm>0,AC=nAE四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022春·广东韶关·高一阶段练习)已知向量a=2,1,b=(1)求2a(2)求满足c=ma+nb的实数18.(6分)(2022春·重庆铜梁·高一阶段练习)已知向量a=3,2,b=(-1,3)(1)求满足a⃑=mb⃑+n(2)若(a⃑+k19.(8分)(2022秋·山东济宁·高三阶段练习)如图所示,已知在△OCB中,A是CB的中点,D是将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA=a,(1)用a和b表示向量OC,DC;(2)若OE=λOA,求实数20.(8分)(2022·高二课时练习)已知平行四边形ABCD中,AB=3,BC=6,∠DAB=60o,点E是线段(1)求AB⋅(2)若AF=AE+λAD,且21.(8分)(2022春·湖北襄阳·高一期中)在平面直角坐标系xOy中,设向量a= cosα (1)若a+b=(2)设α=5π6,0<β<π,且22.(8分)(2022春·全国·高一期末)如图,已知四边形ABDE为平形四边形,AB=12BC,AM=13(1)用向量a,b表示ED;(2)若点P是线段CM上的一动点,AP=xa+yb(其中专题6.8平面向量基本定理及坐标表示(重难点题型检测)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2023·北京·高一期末)已知向量a=1,x,b=x,4,则“x=2”是“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题思路】利用向量平行的坐标表示判断即可.【解答过程】若x=2,则a=1,2,b=2,4,若a∥b,则x2∴“x=2”是“a∥故选:A.2.(3分)(2023·全国·高三专题练习)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且|AB|=2|AP|,则点PA.(3,1) B.(1,−1) C.(3,1)或(1,−1) D.(3,1)或(1,1)【解题思路】将向量模长关系改写成向量共线的形式,注意分类计算坐标.【解答过程】∵A(2,0),B(4,2),∴AB=(2,2),∵点P在直线AB上,且|AB|=2|AP|,∴AB=2AP或AB=−2AP故选:C.3.(3分)设向量a=(1,−3),b=(−2,4),c=(−1,−2),若表示向量4A.(2,6) B.(−2,6) C.(2,−6) D.(−2,−6)【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示,结合题意求解即可.【解答过程】由题可知:4a即d=−6故选:D.4.(3分)(2022秋·广东·高三阶段练习)在平行四边形ABCD中,设AC=a,BD=b,AP=12A.712a−112b B.1【解题思路】根据平面向量基本定理,结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【解答过程】因为AC=a,BD=b,所以所以PQ=故选:B.5.(3分)(2022春·河南焦作·高一期中)在平行四边形ABCD中,点E满足DE=2EC,点O是边AB的中点,AE与DO交于点M.设DM=λAB+μA.−25 B.25 C.−【解题思路】利用平面向量基本定理即可求解.【解答过程】如图,在平行四边形ABCD中,DE=2EC,△AOM∽△EDM,OMDM因为DM=λAB+μ故选:C.6.(3分)(2022秋·江苏南京·高二阶段练习)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在矩形ABCD所在平面内,且满足AP⋅DP=3.若AP=mABA.−1 B.1 C.2 D.3【解题思路】根据已知条件建系计算,结合向量运算和辅助角公式,计算范围即可【解答过程】根据矩形ABCD,AB=1,AD=2,以A为坐标原点,以AD,AB分别为x,y轴,则A0,0,D又因DP=则AP⋅DP即m2+m+n=2cosα+sin所以m+n可取-1,1,2;又5+12故选:D.7.(3分)(2022秋·山东潍坊·高三阶段练习)锐角三角形ABC中,D为边BC上一动点(不含端点),点O满足AO=3OD,且满足AO=λAB+μA.43 B.34 C.3 【解题思路】根据向量线性运算表示出AO,由此求得λ,μ,再根据基本不等式求得1λ【解答过程】依题意AO=3设BD=xBCAO=所以λ=3−3x所以1=4当且仅当x1−x故选:D.8.(3分)(2022秋·山东·高三阶段练习)若点G是△ABC所在平面上一点,且AG+BG+CG=0→,H是直线BG上一点,A.2 B.1C.12 D.【解题思路】根据向量的运算确定G的位置,可得B、H、D三点共线,利用三点共线得x+2y=1,再由不等式求最值即可.【解答过程】设G(x,y),A(x因为AG+BG+CG=所以点G是△ABC的重心,设点D是AC的中点,则AC=2AD,B、G、又AH=x因为B、H、D三点共线,所以x+2y=1,所以x2+4y2=x2+2y2≥故选:C.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022秋·福建福州·高三期中)已知向量a=2,−1,A.若a∥b,则m=−4 B.若aC.若|2a−b|=|a+b【解题思路】根据向量平行的坐标表示判断A,根据向量垂直的坐标表示判断B,根据向量的模的坐标表示判断C,D.【解答过程】对于A,因为a∥b,所以2×2=−1对于B,因为a⊥b,所以2×m+−1对于C,因为|2a−b|=|a对于D,因为a+b=a,所以b2故选:AB.10.(4分)(2022·全国·高三专题练习)如图,直角三角形ABC中,D,E是边AC上的两个三等分点,G是BE的中点,直线AG分别与BD,BC交于点F,H设AB=a,AC=A.AG=12a+13b 【解题思路】以A为坐标原点,分别以AC,AB的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,分别写出各点坐标,特别联立方程组解得H,再根据选项一一判断即可.【解答过程】以A为坐标原点,分别以AC,AB的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,设AB=a,AC=b,则A0,0,Db3,0,E2b3,0又F为△ABE的重心,则F2b9,a3,直线AG的方程为y=联立解得H25b,35a,则AH=因为a=AB=所以AG=12a+13故选:ACD.11.(4分)(2022·浙江·模拟预测)已知向量a=sin2ωx,1,b=1,cos2ωx,ω>0A.ω=2B.fx在3C.fx的图象向左移π4个单位,图像关于D.fx取最大值时,x的取值集合为【解题思路】化简fx,根据最小正周期是π可得ω=1,从而得到f【解答过程】因为a=sin2ωx,1,=sin由2π2ω=π,可得选项A:ω=1.判断错误;选项B:由x∈3π8由π,3π2⊆2选项C:fx的图象向左移π4个单位,可得y=3+2选项D:由2x+π4则fx取最大值时,x的取值集合为x故选:BD.12.(4分)(2022秋·福建三明·高三期中)如下图所示,B是AC的中点,BE=2OB,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且OP=xA.当P是线段CE的中点时,x=−12B.当x=−12C.若x+y为定值2时,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段D.x−y的最大值为−1【解题思路】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析,从而确定正确选项.【解答过程】依题意,BC=A选项,当P是线段CE的中点时,OP=OB+B选项,若OP设F,G分别是BC,DE的中点,连接GF并延长,交AO的延长线于A'则OE//A'G,且则P点的轨迹是FG,A'所以y∈3C选项,OP=xOA+y令x2=m,y2=n、由于x+y=2,x2+所以Q,A,B三点共线.设H,I分别是BE,CD的中点,连接HI,交BC于J,则HI//B是OH的中点,J是BC的中点,则Q点的轨迹是BJ,P点的轨迹是HI,所以C选项正确.D选项,OP=x由于平行四边形BCDE在OE的左上方,O,B,E三点共线,所以x≤0,y≥1,故当x取得最大值0,y取得最小值1时,x−y取得最大值−1,D选项正确.故选:CD.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2023·高一课时练习)设a=4,−3,b=x,5,c=−1,y,若a【解题思路】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y,即可得结果.【解答过程】由题设(4,−3)+(x,5)=(x+4,2)=(−1,y),所以x+4=−1y=2,即x=−5y=2,故故答案为:−5,214.(4分)(2023·高一课时练习)已知OA=3,1,OB=−1,2,OC⊥OB,BC∥OA,又【解题思路】设OC=x,y,根据已知条件可求出OC=14,7,进而得到【解答过程】设OC=x,y,则则由OC⊥OB可得OC⋅OB=0又BC∥OA,所以有3y−2所以有2y=3y−7,解得y=7,所以x=14,所以OC=由OD+OA=所以,AD=故答案为:8,5.15.(4分)(2022春·广东广州·高一阶段练习)在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,E为CD的中点,若EF=2FB,AF=λAB+μAD【解题思路】建立如下图的平面直角坐标系,求出各点坐标,由平面向量线性运算的坐标表示可得AF的坐标,由AF=6λ,4μ,列方程组,解方程组可得λ和【解答过程】建立如下图的平面直角坐标系,由已知得B6,0,D0,4,E3,4由EF=2FB得设Fx,y,则x−3,y−4可得x−3=2y−4=−83,解得x=5y=4又因为AF=λ所以4μ=436λ=5,解得λ=56故答案为:7616.(4分)(2022·全国·高三专题练习)如图,在△ABC中,O为线段BC上一点,且BO=2OC,G为线段AO的中点,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,AB=mADm>0,AC=nAE【解题思路】利用共线定理求出m、n的关系式,再用基本不等式即可求解.【解答过程】因为BO=2OC,所以即AO=又因为G为线段AO的中点,所以AG=因为AB=mAD,所以AG=因为D、G、E三点共线,所以m6+n所以1≥1当且仅当m+4nm即m=2n=3时取等号.故答案为:43四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022春·广东韶关·高一阶段练习)已知向量a=2,1,b=(1)求2a(2)求满足c=ma+nb的实数【解题思路】(1)直接利用向量的坐标运算法则求解即可.(2)利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解.【解答过程】(1)解:∵a=(2,1),b=(−3,4),∴2a(2)解:因为c=m所以4,7=m所以2m−3n=4m+4n=7,解得m=即m=3711、18.(6分)(2022春·重庆铜梁·高一阶段练习)已知向量a=3,2,b=(-1,3)(1)求满足a⃑=mb⃑+n(2)若(a⃑+k【解题思路】(1)利用向量加法的坐标运算即可求解;(2)利用向量共线的坐标表示即可求解.【解答过程】(1)∵a=mb+nc∴−m+5n=3,3m+2n=2,解得(2∵(a∴4×(3+5k)−(−5)×(2+2k)=0,∴k=−1119.(8分)(2022秋·山东济宁·高三阶段练习)如图所示,已知在△OCB中,A是CB的中点,D是将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA=a,(1)用a和b表示向量OC,DC;(2)若OE=λOA,求实数【解题思路】(1)根据向量的加减运算,即可求得答案;(2)用a和b表示出CE,结合CE与DC共线,即可求得答案.【解答过程】(1)依题意,A是BC的中点,∴2OA=OBDC=(2)设OE=λOA(则CE∵CE与DC共线,∴存在实数k,使CE=kDC,即则λ−2=2k1=−5320.(8分)(2022·高二课时练习)已知平行四边形ABCD中,A

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