举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题6.8 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题6.8平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·北京·高一期末）已知向量a=1,x，b=x,4，则“x=2”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设点A(2,0),B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|=2|AP|，则点PA．(3,1) B．(1,−1) C．(3,1)或(1,−1) D．(3,1)或(1,1)3．（3分）设向量a=(1,−3),b=(−2,4),c=(−1,−2)，若表示向量4A．(2,6) B．(−2,6) C．(2,−6) D．(−2,−6)4．（3分）（2022秋·广东·高三阶段练习）在平行四边形ABCD中，设AC=a，BD=b，AP=12A．712a−112b B．15．（3分）（2022春·河南焦作·高一期中）在平行四边形ABCD中，点E满足DE=2EC，点O是边AB的中点，AE与DO交于点M．设DM=λAB+μA．−25 B．25 C．−6．（3分）（2022秋·江苏南京·高二阶段练习）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，动点P在矩形ABCD所在平面内，且满足AP⋅DP=3.若AP=mABA．−1 B．1 C．2 D．37．（3分）（2022秋·山东潍坊·高三阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足AO=3OD，且满足AO=λAB+μA．43 B．34 C．3 8．（3分）（2022秋·山东·高三阶段练习）若点G是△ABC所在平面上一点，且AG+BG+CG=0→,H是直线BG上一点，A．2 B．1C．12 D．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·福建福州·高三期中）已知向量a=2,−1,A．若a∥b，则m=−4 B．若aC．若|2a−b|=|a+b10．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H设AB=a，AC=A．AG=12a+13b 11．（4分）（2022·浙江·模拟预测）已知向量a=sin2ωx,1，b=1,cos2ωx，ω>0A．ω=2B．fx在3C．fx的图象向左移π4个单位，图像关于D．fx取最大值时，x的取值集合为12．（4分）（2022秋·福建三明·高三期中）如下图所示，B是AC的中点，BE=2OB，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且OP=xA．当P是线段CE的中点时，x=−12B．当x=−12C．若x+y为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D．x−y的最大值为−1三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·高一课时练习）设a=4,−3，b=x,5，c=−1,y，若a14．（4分）（2023·高一课时练习）已知OA=3,1，OB=−1,2，OC⊥OB，BC∥OA，又15．（4分）（2022春·广东广州·高一阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μAD16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，O为线段BC上一点，且BO=2OC，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，AB=mADm>0，AC=nAE四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·广东韶关·高一阶段练习）已知向量a=2,1，b=(1)求2a(2)求满足c=ma+nb的实数18．（6分）（2022春·重庆铜梁·高一阶段练习）已知向量a=3,2，b=(－1,3)（1）求满足a⃑＝mb⃑+n（2）若(a⃑+k19．（8分）（2022秋·山东济宁·高三阶段练习）如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA=a，(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE=λOA，求实数20．（8分）（2022·高二课时练习）已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60o，点E是线段(1)求AB⋅(2)若AF=AE+λAD，且21．（8分）（2022春·湖北襄阳·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，设向量a= cosα (1)若a+b=(2)设α=5π6，0<β<π，且22．（8分）（2022春·全国·高一期末）如图，已知四边形ABDE为平形四边形，AB=12BC，AM=13(1)用向量a，b表示ED；(2)若点P是线段CM上的一动点，AP=xa+yb（其中专题6.8平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·北京·高一期末）已知向量a=1,x，b=x,4，则“x=2”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用向量平行的坐标表示判断即可.【解答过程】若x=2，则a=1,2，b=2,4，若a∥b，则x2∴“x=2”是“a∥故选：A.2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设点A(2,0),B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|=2|AP|，则点PA．(3,1) B．(1,−1) C．(3,1)或(1,−1) D．(3,1)或(1,1)【解题思路】将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标.【解答过程】∵A(2,0),B(4,2),∴AB=(2,2)，∵点P在直线AB上，且|AB|=2|AP|，∴AB=2AP或AB=−2AP故选：C.3．（3分）设向量a=(1,−3),b=(−2,4),c=(−1,−2)，若表示向量4A．(2,6) B．(−2,6) C．(2,−6) D．(−2,−6)【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.【解答过程】由题可知：4a即d=−6故选：D.4．（3分）（2022秋·广东·高三阶段练习）在平行四边形ABCD中，设AC=a，BD=b，AP=12A．712a−112b B．1【解题思路】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【解答过程】因为AC=a，BD=b，所以所以PQ=故选：B.5．（3分）（2022春·河南焦作·高一期中）在平行四边形ABCD中，点E满足DE=2EC，点O是边AB的中点，AE与DO交于点M．设DM=λAB+μA．−25 B．25 C．−【解题思路】利用平面向量基本定理即可求解.【解答过程】如图，在平行四边形ABCD中，DE=2EC，△AOM∽△EDM，OMDM因为DM=λAB+μ故选：C.6．（3分）（2022秋·江苏南京·高二阶段练习）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，动点P在矩形ABCD所在平面内，且满足AP⋅DP=3.若AP=mABA．−1 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据已知条件建系计算,结合向量运算和辅助角公式,计算范围即可【解答过程】根据矩形ABCD,AB=1,AD=2,以A为坐标原点,以AD,AB分别为x,y轴,则A0,0,D又因DP=则AP⋅DP即m2+m+n=2cosα+sin所以m+n可取-1,1,2；又5+12故选:D.7．（3分）（2022秋·山东潍坊·高三阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足AO=3OD，且满足AO=λAB+μA．43 B．34 C．3 【解题思路】根据向量线性运算表示出AO，由此求得λ,μ，再根据基本不等式求得1λ【解答过程】依题意AO=3设BD=xBCAO=所以λ=3−3x所以1=4当且仅当x1−x故选：D.8．（3分）（2022秋·山东·高三阶段练习）若点G是△ABC所在平面上一点，且AG+BG+CG=0→,H是直线BG上一点，A．2 B．1C．12 D．【解题思路】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得x+2y=1，再由不等式求最值即可.【解答过程】设G(x,y)，A(x因为AG+BG+CG=所以点G是△ABC的重心，设点D是AC的中点，则AC=2AD，B、G、又AH=x因为B、H、D三点共线，所以x+2y=1，所以x2+4y2=x2+2y2≥故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·福建福州·高三期中）已知向量a=2,−1,A．若a∥b，则m=−4 B．若aC．若|2a−b|=|a+b【解题思路】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量的模的坐标表示判断C，D.【解答过程】对于A，因为a∥b，所以2×2=−1对于B，因为a⊥b，所以2×m+−1对于C，因为|2a−b|=|a对于D，因为a+b=a，所以b2故选：AB.10．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H设AB=a，AC=A．AG=12a+13b 【解题思路】以A为坐标原点，分别以AC，AB的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，特别联立方程组解得H，再根据选项一一判断即可．【解答过程】以A为坐标原点，分别以AC，AB的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，设AB=a，AC=b，则A0,0，Db3,0，E2b3,0又F为△ABE的重心，则F2b9,a3，直线AG的方程为y=联立解得H25b,35a，则AH=因为a=AB=所以AG=12a+13故选：ACD．11．（4分）（2022·浙江·模拟预测）已知向量a=sin2ωx,1，b=1,cos2ωx，ω>0A．ω=2B．fx在3C．fx的图象向左移π4个单位，图像关于D．fx取最大值时，x的取值集合为【解题思路】化简fx，根据最小正周期是π可得ω=1，从而得到f【解答过程】因为a=sin2ωx,1，=sin由2π2ω=π，可得选项A：ω=1.判断错误；选项B：由x∈3π8由π,3π2⊆2选项C：fx的图象向左移π4个单位，可得y=3+2选项D：由2x+π4则fx取最大值时，x的取值集合为x故选：BD.12．（4分）（2022秋·福建三明·高三期中）如下图所示，B是AC的中点，BE=2OB，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且OP=xA．当P是线段CE的中点时，x=−12B．当x=−12C．若x+y为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D．x−y的最大值为−1【解题思路】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【解答过程】依题意，BC=A选项，当P是线段CE的中点时，OP=OB+B选项，若OP设F,G分别是BC,DE的中点，连接GF并延长，交AO的延长线于A'则OE//A'G，且则P点的轨迹是FG，A'所以y∈3C选项，OP=xOA+y令x2=m,y2=n、由于x+y=2,x2+所以Q,A,B三点共线.设H,I分别是BE,CD的中点，连接HI，交BC于J，则HI//B是OH的中点，J是BC的中点，则Q点的轨迹是BJ，P点的轨迹是HI，所以C选项正确.D选项，OP=x由于平行四边形BCDE在OE的左上方，O,B,E三点共线，所以x≤0，y≥1，故当x取得最大值0，y取得最小值1时，x−y取得最大值−1，D选项正确.故选：CD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·高一课时练习）设a=4,−3，b=x,5，c=−1,y，若a【解题思路】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果.【解答过程】由题设(4,−3)+(x,5)=(x+4,2)=(−1,y)，所以x+4=−1y=2，即x=−5y=2，故故答案为：−5,214．（4分）（2023·高一课时练习）已知OA=3,1，OB=−1,2，OC⊥OB，BC∥OA，又【解题思路】设OC=x,y，根据已知条件可求出OC=14,7，进而得到【解答过程】设OC=x,y，则则由OC⊥OB可得OC⋅OB=0又BC∥OA，所以有3y−2所以有2y=3y−7，解得y=7，所以x=14，所以OC=由OD+OA=所以，AD=故答案为：8,5.15．（4分）（2022春·广东广州·高一阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μAD【解题思路】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得AF的坐标，由AF=6λ,4μ，列方程组，解方程组可得λ和【解答过程】建立如下图的平面直角坐标系，由已知得B6,0，D0,4，E3,4由EF=2FB得设Fx,y，则x−3,y−4可得x−3=2y−4=−83，解得x=5y=4又因为AF=λ所以4μ=436λ=5，解得λ=56故答案为：7616．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，O为线段BC上一点，且BO=2OC，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，AB=mADm>0，AC=nAE【解题思路】利用共线定理求出m、n的关系式，再用基本不等式即可求解.【解答过程】因为BO=2OC，所以即AO=又因为G为线段AO的中点，所以AG=因为AB=mAD，所以AG=因为D、G、E三点共线，所以m6+n所以1≥1当且仅当m+4nm即m=2n=3时取等号．故答案为：43四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·广东韶关·高一阶段练习）已知向量a=2,1，b=(1)求2a(2)求满足c=ma+nb的实数【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算法则求解即可．（2）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解．【解答过程】(1)解：∵a=(2,1)，b=(−3,4)，∴2a(2)解：因为c=m所以4,7=m所以2m−3n=4m+4n=7，解得m=即m=3711、18．（6分）（2022春·重庆铜梁·高一阶段练习）已知向量a=3,2，b=(－1,3)（1）求满足a⃑＝mb⃑+n（2）若(a⃑+k【解题思路】（1）利用向量加法的坐标运算即可求解；（2）利用向量共线的坐标表示即可求解.【解答过程】（1）∵a＝mb+nc∴−m+5n=3,3m+2n=2,解得（2∵(a∴4×(3+5k)−(−5)×(2+2k)＝0，∴k=−1119．（8分）（2022秋·山东济宁·高三阶段练习）如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA=a，(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE=λOA，求实数【解题思路】（1）根据向量的加减运算，即可求得答案；（2）用a和b表示出CE，结合CE与DC共线，即可求得答案.【解答过程】（1）依题意，A是BC的中点，∴2OA=OBDC=（2）设OE=λOA(则CE∵CE与DC共线，∴存在实数k，使CE=kDC，即则λ−2=2k1=−5320．（8分）（2022·高二课时练习）已知平行四边形ABCD中，A