举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题2.3 基本不等式-重难点题型精讲（含答案及解析）

专题2.3基本不等式-重难点题型精讲1.两个不等式eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1对基本不等式的理解】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+2【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2 【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（）A．0＜b＜12C．ab的最大值是18 D．a2+b2的最小值是【题型2利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求证：a（2）求证：a+b+1≥ab【变式2-3】（2022•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【题型3利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则a+4A．5 B．6 C．32 D．【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【变式3-3】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【题型4利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则baA．32 B．2+1 C．52 【变式4-1】（2022秋•广东月考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1A．6+429 B．−6+429 C．【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA．13−2 B．2 C．2+13 D【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1A．22+2 B．4 C．254 【题型5利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【变式5-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【题型6利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【变式6-3】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．专题2.3基本不等式-重难点题型精讲1.两个不等式eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1对基本不等式的理解】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可．【解答过程】解：因为(4所以4+6＜当取x＝﹣1时，显然x+1x=−2≥2因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2，所以a2+b故选：C．【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+2【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．【解答过程】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，又a＞b＞0，所以a+b＞2ab，故A正确，a2+2b≥2a2×2b=2ab，当且仅当a故选：A．【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2 【解题思路】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，所以ab≤（a+b2）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A因为（a+b）2＝a+b+2ab=2+2ab≤2+a+b＝4，当且仅当a＝所以a+b≤2因为a2+b22≥(a+b所以a2+b2≥2，C正确；1a+1b=12（a+ba+a+bb）=12（2故选：C．【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（）A．0＜b＜12C．ab的最大值是18 D．a2+b2的最小值是【解题思路】结合基本不等式，对选项逐一判断即可．【解答过程】解：根据题意，a＝1﹣2b＞0，b＞0，则0＜b＜12，所以选项2a+4b≥22a⋅4b=22a+2b=22，当且仅当a＝2b所以2a+4b≥22，选项B正确；由a＞0，b＞0，1＝a+2b≥22ab，即ab≤18，当且仅当a＝2b，即a=12所以ab的最大值是18，选项C由a+2b＝1，得a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，所以当b=25时，a2+b2有最小值5×（25）2﹣4×25故选：D．【题型2利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1【解题思路】本题的关键是把分子的“1”换成a+b，由基本不等式即可证明．【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1∴(1+=(2+b＝5+当且仅当2ba=2ab，即a故原题得证．【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【解题思路】（1）利用基本不等式的性质即可得出．（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出．【解答过程】证明：（1）∵a，b∈R+，x=ab，y=∴xy=ab⋅a2+b（2）∵a，b∈R+，x+y=ab则（a+b）2﹣（x+y）2＝（a+b）2−(ab+而（a+b）4﹣（a﹣b）4＝8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）＝（a﹣b）4，∴（a+b）2≥2∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0，∴a+b≥x+y．【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求证：a（2）求证：a+b+1≥ab【解题思路】（1）由基本不等式及乘“1”法即可得证；（2）由基本不等式可得a+1≥2a，b+1≥2b，a+b≥2ab，当且仅当a＝b＝1时等号成立，三个式子相加即可得证．【解答过程】证明：（1）因为1a+9b=1，a＞0所以a+b＝（a+b）（1a+9b）＝10+9ab+ba≥10+29ab⋅所以a+b≥16．（2）因为a＞0，b＞0，则a+1≥2a，b+1≥2b，a+b≥2ab，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以a+1+b+1+a+b≥2a+2b+2所以a+b+1≥a+【变式2-3】（2022•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【解题思路】（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥3，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1（2）问题转化为证明abc+bac+cab【解答过程】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥3即证（a+b+c）2≥3，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca＝1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即为a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1，则①成立．综上可得，原不等式成立．（2）∵abc而由（1）a+b+c≥3∴a+b+cabc≥3故只需1abc即abc+bac+cab即：abc+bac+cab≤ab+bc而abc=ab•ac≤ab+ac2，b∴abc+bac+cab≤ab+bc+ac（当且仅当a＝b＝c=3【题型3利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则a+4A．5 B．6 C．32 D．【解题思路】由已知结合基本不等式即可直接求解．【解答过程】解：因为a＞1，则a+4a−1=a﹣1+4a−1+当且仅当a﹣1=4a−1，即a＝故选：A．【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用基本不等式的性质可求得答案．【解答过程】解：由已知函数y=x+4∵x≥1，∴4x＞∴x+4x当且仅当x=4x​，即x＝2∴​当x＝2​时，函数y=x+4x​有最小值是故选：C．【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【解题思路】由x＞13可得3x﹣1＞0，所以y＝3x+43x−1=3x【解答过程】解：由x＞13，得3x﹣1＞所以y＝3x+43x−1=3x﹣1+43x−1+1≥当且仅当3x﹣1=43x−1，即x＝所以y＝3x+43x−1的最小值为故选：D．【变式3-3】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【解题思路】把ba【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，∴b≥4当且仅当ba∴ba2+1故选：C．【题型4利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则baA．32 B．2+1 C．52 【解题思路】由已知可知ba+【解答过程】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，所以ba+2b=ba+a+bb=ba+ab所以ba+2故选：D．【变式4-1】（2022秋•广东月考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1A．6+429 B．−6+429 C．【解题思路】推导出−1x−4y=−19（1x+4y）（【解答过程】解：正实数y满足2x+y＝9，∴−1x−4y=−19=−19（6+8xy+yx当且仅当8xy则−1x−故选：B．【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA．13−2 B．2 C．2+13 D【解题思路】由题意可得1x+4y=x+y−4，再将两边同时乘以x+y【解答过程】解：∵正实数x，y满足1x∴1x∴(1∴(x+y)2当且仅当yx=4xy，即y＝2∴当且仅当y＝2x=4+2∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，解得x+y≥2+13∴x+y的最小值为2+13故选：C．【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1A．22+2 B．4 C．254 【解题思路】由题可知(a+1b)(b+1【解答过程】解：∵正实数a、b满足a+b＝4，∴(a+1b)(b+1a)=ab+1ab当且仅当ab=1ab，即ab＝1，a+b＝∴(a+1b)(b+故选：B．【题型5利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【解题思路】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答过程】解：∵x＞0，y＞0，且且1x+∴x+y＝（x+y）（1x+4y）＝5+yx当且仅当yx=4xy，即x＝3，∴（x+y）min＝9，由x+y＞m2+8m恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9，解得：﹣9＜m＜1，即m∈（﹣9，1）．故选：D．【变式5-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【解题思路】由已知先利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．【解答过程】解：因为x＞0、y＞0，且2x+2x+y＝（2x+y）（2x+1y）＝当且仅当2xy=2yx且2x+1y=1，即x＝y＝若2x+y＜m2﹣8m有解，则9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．故选：A．【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【解题思路】由题意可得(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+2≥＝4【解答过程】解：因为a，b为正实数，所以(a+1b)(b+1a)=ab+当ab=1ab，即ab＝1时等号成立，此时b又因为1a+1b=m所以由基本不等式可知a+1a≥2（a所以m≥2．故选：B．【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【解题思路】由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x【解答过程】解：由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x+3y）（3x+2y）当且仅当4yx=9xy且2x+3y=1又因为3x+2y＞m2+2m恒成立，m2+2m＜24，解得m∈（﹣6，4）．故选：C．【题型6利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【解题思路】根据已知条件，求出x+y＝16，再结合基本不等式的公式，即可求解．【解答过程】解：设矩形菜园的长为x（m），宽为y（m），则2（x+y）＝32，x+y＝16，矩形菜园的面积为xy（m2），由xy≤x+y2=162=8，xy≤64，当且仅当x＝y故这个矩形的长、宽都为8（m）时，菜园的面积最大，最大面积为64（m2）．【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x【解题思路】（1）根据积定，应用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件；（2）应用基本不等式“1”的代换求1x【解答过程】解：（1）由题意知：xy＝72，篱笆总长为x+2y．又x+2y≥22xy=24，当且仅当x＝2y，即x＝12，∴当x＝12，y＝6时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：x+2y＝30，又(1∴1x+2y≥310，当且仅当x＝y，即x∴1x+2【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中