举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题4.12数学归纳法（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+1A．1项 B．k项 C．2k−1项 D．22．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：12+22+⋅⋅⋅+n2A．k2+12 B．k2+1 3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n+1)与f(n)之间的关系为（

）A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2nC．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n−14．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“5n−2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将A．55k−C．5−25k−5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n>1324A．增加了一项1B．增加了两项12k+1，C．增加了两项12k+1，12(k+1)D．增加了一项12(k+1)，又减少了一项6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋n(n−1)2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（

A．a1＋(k－1)d B．k(C．ka1＋k(k−1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式n2+n＜n＋1(n∈N（1）当n＝1时，12（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2+k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“(3n+1)⋅7n−1(n∈N∗)能被9整除”，在假设A．3×7k+6 B．3×7k+1+6二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式n2+n≤n+1n∈N∗，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当n=1时，12+1≤1+1，不等式成立.②假设当n=kk≥1,k∈NA．过程全部正确 B．n=1时证明正确C．过程全部不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当n=kk∈N∗时命题成立，则可得当n=k+1时命题也成立，若已知当n=5A．当n=4时，命题不成立B．当n=1时，命题可能成立C．当n=6时，命题不成立D．当n=6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n=6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明2n−12n+1>nA．1 B．2 C．3 D．412．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列an满足an+1=−anA．0<B．aC．对任意正数b，都存在正整数m使得11−D．a三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为.14．（4分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋n(n+1)2.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋15．（4分）（2022·辽宁·高二期中）证明不等式1+12+13+14+⋯+1216．（4分）（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明1+2+22+⋯+2n−1=（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋⋯＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋⋯＋2k－1＋2k＝1−2k+11−2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1218．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数n,419．（8分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．20．（8分）（2022·河南南阳·高二期末（理））设正项数列an的首项为4，满足a(1)求a2，a(2)用数学归纳法证明你的猜想．21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当n∈N∗时，n=n+1．证明：假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即k=k+1．则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边．所以当n=k+1时，等式也成立．由此得出，对任何n∈N∗，等式n=n+1都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是Sn证明，①当n=1时，左边=S1=a②假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面两式相加并除以2，可得Sk+1即当n=k+1时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是S22．（8分）（2021·全国·高二专题练习）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.专题4.12数学归纳法（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+1A．1项 B．k项 C．2k−1项 D．2【解题思路】分别分析当n=k与n=k+1时等号左边的项，再分析增加项即可【解答过程】由题意知当n=k时，左边为1+12+13+⋯+12k故选：D.2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：12+22+⋅⋅⋅+n2A．k2+12 B．k2+1 【解题思路】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．【解答过程】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=1n=k+1时，左边=1比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2故选：C．3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n+1)与f(n)之间的关系为（

）A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2nC．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n−1【解题思路】第n+1个圆与前n个圆相交有2n个交点，这些交点把第n+1个圆分成2n段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论．【解答过程】依题意得，由n个圆增加到n+1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n+1)=f(n)+2n．故选：B．4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“5n−2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将A．55k−C．5−25k−【解题思路】假设n=k时命题成立，分解5k+1−2k+1的过程中要【解答过程】解：假设n=k时命题成立，即：5k当n=k+1时，5=5=55故选：A．5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n>1324A．增加了一项1B．增加了两项12k+1，C．增加了两项12k+1，12(k+1)D．增加了一项12(k+1)，又减少了一项【解题思路】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.【解答过程】n＝k时，左边为1k+1＋1k+2＋…＋1n＝k＋1时，左边为1k+2＋1k+3＋…＋12k＋12k+1比较①②可知C正确.故选：C.6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋n(n−1)2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（

A．a1＋(k－1)d B．k(C．ka1＋k(k−1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)【解题思路】只需把公式中的n换成k即可．【解答过程】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋k(k−1)2d故选:C.7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式n2+n＜n＋1(n∈N（1）当n＝1时，12（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2+k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解题思路】根据数学归纳法的定义即可判断答案.【解答过程】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.故选:D.8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“(3n+1)⋅7n−1(n∈N∗)能被9整除”，在假设A．3×7k+6 B．3×7k+1+6【解题思路】假设n=k时命题成立，即(3k+1)⋅7k−1能被9整除，计算当n=k+1时，3【解答过程】解：假设n=k时命题成立，即(3k+1)⋅7当n=k+1时，3====6⋅=6⋅3k+1∵(3k+1)⋅7k要证上式能被9整除，还需证明3⋅7k+1故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式n2+n≤n+1n∈N∗，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当n=1时，12+1≤1+1，不等式成立.②假设当n=kk≥1,k∈NA．过程全部正确 B．n=1时证明正确C．过程全部不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确【解题思路】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.【解答过程】易知当n=1时，该同学的证法正确.从n=k到n=k+1的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当n=kk∈N∗时命题成立，则可得当n=k+1时命题也成立，若已知当n=5A．当n=4时，命题不成立B．当n=1时，命题可能成立C．当n=6时，命题不成立D．当n=6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n=6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立【解题思路】利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.【解答过程】如果当n=4时命题成立，则当n=5时命题也成立，与题设矛盾，即当n=4时，命题不成立，A正确；如果当n=1时命题成立，则当n=2时命题成立，继续推导可得当n=5时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当n=6时，该命题可能成立也可能不成立，如果当n=6时命题成立，则当n=7时命题也成立，继续推导可得对任意n≥6，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD.11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明2n−12n+1>nA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】先验证四个选项中符合要求的k的值，再用数学归纳法进行充分性证明.【解答过程】当k=1时，2−12+1当k=2时，22当k=3时，23当k=4时，24下证：当n≥3时，2n当n=3时，23假设当n=kk≥3时，均有2k当n=k+1时，有2k+1因为4k+14k+3所以2k+1由数学归纳法可知：2n−12故选：CD.12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列an满足an+1=−anA．0<B．aC．对任意正数b，都存在正整数m使得11−D．a【解题思路】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；对于B，将原式化简为a1−a对于C，结合a1范围和A中结论可确定1对于D，利用数学归纳法可证得结论.【解答过程】对于A，an+1=−an2又a1∈0,12又an+1−a对于B，由已知得：an∴a对于C，由a1∈0,12∴11−a1+11−a2对于D，（i）当n=1时，由已知知：a1（ii）假设当n=kk∈N∗则an+1又−1n+12∴a综上所述：当n∈N∗时，故选：ABCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【解题思路】将n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.【解答过程】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.故答案为：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.14．（4分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋n(n+1)2.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋k＋1【解题思路】从目标f(n)＝1＋n(n+1)2分析，f(k+1)−f(k)【解答过程】f(k)＝1＋k(k+1)2f(k＋1)＝1＋(k+1)(k+2)2∴f(k＋1)－f(k)＝1+(k+1)(k+2)＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．故答案为：k＋1.15．（4分）（2022·辽宁·高二期中）证明不等式1+12+13+14+⋯+12【解题思路】根据数学归纳法，结合不等式左边的特征判断增加的项数即可.【解答过程】当n=k时，左边1+1当n=k+1时，左边1+1而(2所以n=k+1时不等式左边增加了2k故答案为：2k16．（4分）（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明1+2+22+⋯+2n−1=（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋⋯＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋⋯＋2k－1＋2k＝1−2k+11−2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*【解题思路】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案.【解答过程】本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.故答案为：未用归纳假设.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：12【解题思路】利用数学归纳法，先证明当n=1时，等式成立，假设当n=k时成立，证明当n=k+1时等式成立即可.【解答过程】解：（1）当n=1时，左边=121×3=（2）假设当n=k时，等式成立，即121×3+22当n=k+1时，121×3+2====k+1即当n=k+1时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何n∈N故1218．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数n,4【解题思路】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.【解答过程】证明：（1）当n=1时，4n+15n−1故当n=1时，4n（2）假设当n=k时，命题成立，即4k则当n=k+1时，4k+1综合(1)(2)可得,对任意正整数n,419．（8分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．【解题思路】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可【解答过程】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用数学归纳法给出证明：①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1时猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．20．（8分）（2022·河南南阳·高二期末（理））设正项数列an的首项为4，满足a(1)求a2，a(2)用数学归纳法证明你的猜想．【解题思路】（1）由首项及递推关系式逐次求得a2（2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可.【解答过程】(1)由an2=an+1+3nan−3则a2=7,a(2)由（1）得an+1=an2①当n=1时，猜想显然成立；②假设当n=kk≥2,k∈N∗当n=k+1时，ak+1由①②知猜想恒成立，即an21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当n∈N∗时，n=n+1．证明：假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即k=k+1．则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边．所以当n=k+1时，等式也成立．由此得出，对任何n∈N∗，等式n=n+1都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n