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PAGE备考训练2平面对量与复数一、单项选择题1.[2024·山东枣庄质量检测]已知i是虚数单位,1+(a-1)i>0(a∈R),复数z=a-2i,则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\x\to(z))))=()A.eq\f(1,5)B.5C.eq\f(\r(5),5)D.eq\r(5)2.[2024·山东青岛质量检测]已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1),则eq\f(z1,z2)=()A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i3.已知i是虚数单位,若2+i=z(1-i),则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(-))对应的点在复平面的()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限4.已知向量a=(1,-1),b=(-1,0),若λa-b和2a+b共线,则λA.2B.eq\f(1,2)C.-1D.-25.[2024·山东青岛质量检测]向量a,b满意|a|=1,|b|=eq\r(2),(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为()A.45°B.60°C.90°D.120°6.在△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)),BN与CM交于点P,则eq\o(AP,\s\up6(→))=()A.eq\f(1,3)a+eq\f(2,3)bB.eq\f(2,5)a+eq\f(1,5)bC.eq\f(1,6)a+eq\f(1,3)bD.eq\f(1,4)a+eq\f(1,2)b7.[2024·山东师大附中月考]若两个非零向量a,b满意|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与b-a的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,6)8.设P是△ABC所在平面上的一点,若|2eq\o(AP,\s\up6(→))-eq\o(BP,\s\up6(→))-eq\o(CP,\s\up6(→))|=2,则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为()A.eq\f(1,2)B.1C.-eq\f(1,2)D.-1二、多项选择题9.下面是关于复数z=eq\f(4,1-i)的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=8i,p3:z的虚部为2;p4:z的共轭复数为-2-2i.其中真命题为()A.p1B.p2C.p3D.p410.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))=(1,-3),eq\o(OB,\s\up6(→))=(2,-1),eq\o(OC,\s\up6(→))=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是()A.-2B.eq\f(1,2)C.1D.-111.[2024·山东莱州一中质量检测]在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,如图,则下列等式成立的是()A.|eq\o(AC,\s\up6(→))|2=eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B.|eq\o(BC,\s\up6(→))|2=eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C.|eq\o(AB,\s\up6(→))|2=eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.|eq\o(CD,\s\up6(→))|2=eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))×\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|2)12.[2024·山东济南质量评估]给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算:a×b.规定:①a×b为同时与a,b垂直的向量;②a,b,a×b三个向量构成右手系(如图1);③|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉.如图2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1A.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AA1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AB,\s\up6(→))C.(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))D.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(CC1,\s\up6(→))三、填空题13.已知复数z=x+4i(x∈R)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在其次象限,且|z|=5,则eq\f(z,1+i)的共轭复数为________.14.[2024·山东省试验中学其次次诊断]已知向量a,b满意|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=________.15.[2024·山东淄博试验中学模块考试]若非零向量a、b,满意|a|=|b|,(2a+b)⊥b,则a与b16.[2024·山东潍坊学情考试]已知腰长为2的等腰直角△ABC中,M为斜边AB的中点,点P为该平面内一动点,若|eq\o(PC,\s\up6(→))|=2,则(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))+4)·(eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→)))的最小值为________.备考训练2平面对量与复数1.解析:因为1+(a-1)i>0(a∈R),所以a-1=0,即a=1,|z|=|1-2i|=eq\r(5),eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\x\to(z))))=eq\f(1,|\x\to(z)|)=eq\f(1,|z|)=eq\f(1,\r(5))=eq\f(\r(5),5).故选C.答案:C2.解析:∵复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1),∴z1=1+i,z2=i.∴eq\f(z1,z2)=eq\f(1+i,i)=eq\f(-i1+i,-i2)=1-i.故选D.答案:D3.解析:z=eq\f(2+i,1-i)=eq\f(1+i2+i,1+i1-i)=eq\f(1,2)+eq\f(3,2)i,∴eq\o(z,\s\up12(-))=eq\f(1,2)-eq\f(3,2)i,则z的共轭复数eq\o(z,\s\up12(-))对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-\f(3,2))),在复平面的第四象限,故选D.答案:D4.解析:∵a=(1,-1),b=(-1,0),∴λa-b=(λ+1,-λ),2a+b=(1,-2),又λa-b和2a+b共线,∴-λ=-2(λ+1),∴答案:D5.解析:设向量a与b的夹角为θ.∵(a+b)⊥(2a-b∴(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2×12-(eq\r(2))2+1×eq\r(2)×cosθ=0,化为cosθ=0,∵θ∈[0,π],∴θ=90°.故选C.答案:C6.解析:如图,M,P,C三点共线,则eq\o(AP,\s\up12(→))=meq\o(AC,\s\up12(→))+(1-m)eq\o(AM,\s\up12(→))=mb+eq\f(1,2)(1-m)a(m∈R),又N,P,B三点共线,所以eq\o(AP,\s\up12(→))=neq\o(AB,\s\up12(→))+(1-n)eq\o(AN,\s\up12(→))=na+eq\f(1,3)(1-n)b(n∈R),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n=\f(1,2)1-m,,m=\f(1,3)1-n,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=\f(1,5),,n=\f(2,5),))所以eq\o(AP,\s\up12(→))=eq\f(2,5)a+eq\f(1,5)b.故选B.答案:B7.解析:由已知得:(a+b)2=(a-b)2,绽开化简后得:a·b=0,①由已知得:(a+b)2=4a2,绽开化简后得:a2+2a·b+b2=4a将①代入②化简整理得:b2=3a2,即|b|2=3|a|2∴(a+b)(b-a)=b2-a2=|b|2-|a|2=2|a|2,设向量a+b与b-a的夹角为θ,cosθ=eq\f(a+b·b-a,|a+b||b-a|)=eq\f(2|a|2,2|a|×2|a|)=eq\f(1,2),所以θ=eq\f(π,3).故选C.答案:C8.解析:由|2eq\o(AP,\s\up12(→))-eq\o(BP,\s\up12(→))-eq\o(CP,\s\up12(→))|=2,可得|eq\o(AP,\s\up12(→))+eq\o(PB,\s\up12(→))+eq\o(AP,\s\up12(→))+eq\o(PC,\s\up12(→))|=|eq\o(AB,\s\up12(→))+eq\o(AC,\s\up12(→))|=2.设BC的中点为D,即|eq\o(AD,\s\up12(→))|=1.点P是△ABC所在平面上的随意一点,O为AD中点.所以eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))+eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PC,\s\up12(→))=eq\o(PA,\s\up12(→))·(eq\o(PB,\s\up12(→))+eq\o(PC,\s\up12(→)))=2eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PD,\s\up12(→))=2(eq\o(PO,\s\up12(→))+eq\o(OA,\s\up12(→)))·(eq\o(PO,\s\up12(→))+eq\o(OD,\s\up12(→)))=2(eq\o(PO,\s\up12(→))+eq\o(OA,\s\up12(→)))·(eq\o(PO,\s\up12(→))-eq\o(OA,\s\up12(→)))=2(eq\o(PO,\s\up12(→))2-eq\o(OA,\s\up12(→))2)=2eq\o(PO,\s\up12(→))2-eq\f(1,2)≥-eq\f(1,2).当且仅当|eq\o(PO,\s\up12(→))|=0,即点P与点O重合时,eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))+eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PC,\s\up12(→))有最小值-eq\f(1,2).故选C.答案:C9.解析:复数z=eq\f(4,1-i)=eq\f(41+i,1-i1+i)=2+2i.可得|z|=2eq\r(2),所以p1:|z|=2不正确;z2=(2+2i)2=8i,所以p2:z2=8i正确;z=2+2i,z的虚部为2,可得p3:z的虚部为2正确;z=2+2i的共轭复数为2-2i,所以p4:z的共轭复数为-2-2i不正确.故选BC.答案:BC10.解析:各选项代入验证,若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为eq\o(AB,\s\up12(→))=eq\o(OB,\s\up12(→))-eq\o(OA,\s\up12(→))=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),eq\o(AC,\s\up12(→))=eq\o(OC,\s\up12(→))-eq\o(OA,\s\up12(→))=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,则A,B,C三点即可构成三角形,故选ABD.答案:ABD11.解析:由eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))=|eq\o(AC,\s\up12(→))||eq\o(AB,\s\up12(→))|cosA=|AD||AB|,由射影定理可得|eq\o(AC,\s\up12(→))|2=eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→)),即选项A正确;由eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))=|eq\o(BA,\s\up12(→))||eq\o(BC,\s\up12(→))|cosB=|BA||BD|,由射影定理可得|eq\o(BC,\s\up12(→))|2=eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→)),即选项B正确;由eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(CD,\s\up12(→))=|eq\o(AC,\s\up12(→))||eq\o(CD,\s\up12(→))|cos(π-∠ACD)<0,又|eq\o(AB,\s\up12(→))|2>0,即选项C错误;由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC,所以|AC||BC|=|AB||CD|,由选项A,B可得|eq\o(CD,\s\up12(→))|2=eq\f(\o(AC,\s\up12(→))·\o(AB,\s\up12(→))×\o(BA,\s\up12(→))·\o(BC,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|2),即选项D正确,故选ABD.答案:ABD12.解析:依据题意在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1对于选项A:eq\o(AA1,\s\up12(→))同时与eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(AD,\s\up12(→))垂直,|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))|=|eq\o(AB,\s\up12(→))|×|eq\o(AD,\s\up12(→))|sin〈eq\o(AB,\s\up12(→)),eq\o(AD,\s\up12(→))〉=2×2×sin90°=4,又因为|eq\o(AA1,\s\up12(→))|=4,所以|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))|=|eq\o(AA1,\s\up12(→))|,故eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))=eq\o(AA1,\s\up12(→))成立,故A正确.对于选项B:依据a,b,a×b三个向量构成右手系,所以eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))=eq\o(AA1,\s\up12(→)),eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AB,\s\up12(→))=-eq\o(AA1,\s\up12(→)),eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))≠eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AB,\s\up12(→)),故B错误.对于选项C:对于(eq\o(AB,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→)),同时满意垂直于eq\o(AC,\s\up12(→)),eq\o(AA1,\s\up12(→))且满意右手系的,eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=λ1eq\o(DB,\s\up12(→)),|eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|=|λ1eq\o(DB,\s\up12(→))|eq\r(22+22)×4sin90°=λ1eq\r(22+22)λ1=4,所以(eq\o(AB,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=4eq\o(DB,\s\up12(→))①;对于eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→)),eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=λ2eq\o(DA,\s\up12(→)),eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=λ3eq\o(AB,\s\up12(→))|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|=|λ2eq\o(DA,\s\up12(→))|,|eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|=|λ3eq\o(AB,\s\up12(→))|2×4sin90°=λ2×2,2×4sin90°=λ3×2λ2=4,λ3=4eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=4eq\o(DA,\s\up12(→)),eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=4eq\o(AB,\s\up12(→)),所以eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=4eq\o(DA,\s\up12(→))+4eq\o(AB,\s\up12(→))=4eq\o(DB,\s\up12(→))②;所以综合①②可得(eq\o(AB,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))=eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→)),故C正确;对于选项D:长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→)))·eq\o(CC1,\s\up12(→)),长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=2×2×(eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→)))·eq\o(CC1,\s\up12(→))=eq\o(AA1,\s\up12(→))·eq\o(CC1,\s\up12(→))=e

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