2024高考数学二轮专题复习备考训练2平面向量与复数含解析

PAGE备考训练2平面对量与复数一、单项选择题1．[2024·山东枣庄质量检测]已知i是虚数单位，1＋(a－1)i>0(a∈R)，复数z＝a－2i，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\x\to(z))))＝()A.eq\f(1,5)B．5C.eq\f(\r(5),5)D.eq\r(5)2．[2024·山东青岛质量检测]已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则eq\f(z1,z2)＝()A．1＋iB．－1＋iC．－1－iD．1－i3．已知i是虚数单位，若2＋i＝z(1－i)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))对应的点在复平面的()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共线，则λA．2B.eq\f(1,2)C．－1D．－25．[2024·山东青岛质量检测]向量a，b满意|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为()A．45°B．60°C．90°D．120°6．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，BN与CM交于点P，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)bC.eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)bD.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b7．[2024·山东师大附中月考]若两个非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与b－a的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,6)8．设P是△ABC所在平面上的一点，若|2eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))|＝2，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为()A.eq\f(1,2)B．1C．－eq\f(1,2)D．－1二、多项选择题9．下面是关于复数z＝eq\f(4,1－i)的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝8i，p3：z的虚部为2；p4：z的共轭复数为－2－2i.其中真命题为()A．p1B．p2C．p3D．p410．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A．－2B.eq\f(1,2)C．1D．－111．[2024·山东莱州一中质量检测]在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A．|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B．|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D．|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))×\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|2)12．[2024·山东济南质量评估]给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：a×b.规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉．如图2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1A.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AB,\s\up6(→))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))D．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝(eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(CC1,\s\up6(→))三、填空题13．已知复数z＝x＋4i(x∈R)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在其次象限，且|z|＝5，则eq\f(z,1＋i)的共轭复数为________．14．[2024·山东省试验中学其次次诊断]已知向量a，b满意|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________.15．[2024·山东淄博试验中学模块考试]若非零向量a、b，满意|a|＝|b|，(2a＋b)⊥b，则a与b16．[2024·山东潍坊学情考试]已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，则(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋4)·(eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→)))的最小值为________．备考训练2平面对量与复数1．解析：因为1＋(a－1)i>0(a∈R)，所以a－1＝0，即a＝1，|z|＝|1－2i|＝eq\r(5)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\x\to(z))))＝eq\f(1,|\x\to(z)|)＝eq\f(1,|z|)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故选C.答案：C2．解析：∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，∴z1＝1＋i，z2＝i.∴eq\f(z1,z2)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i1＋i,－i2)＝1－i.故选D.答案：D3．解析：z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2＋i,1＋i1－i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，∴eq\o(z,\s\up12(－))＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up12(－))对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)))，在复平面的第四象限，故选D.答案：D4．解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又λa－b和2a＋b共线，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴答案：D5．解析：设向量a与b的夹角为θ.∵(a＋b)⊥(2a－b∴(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝2×12－(eq\r(2))2＋1×eq\r(2)×cosθ＝0，化为cosθ＝0，∵θ∈[0，π]，∴θ＝90°.故选C.答案：C6．解析：如图，M，P，C三点共线，则eq\o(AP,\s\up12(→))＝meq\o(AC,\s\up12(→))＋(1－m)eq\o(AM,\s\up12(→))＝mb＋eq\f(1,2)(1－m)a(m∈R)，又N，P，B三点共线，所以eq\o(AP,\s\up12(→))＝neq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－n)eq\o(AN,\s\up12(→))＝na＋eq\f(1,3)(1－n)b(n∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,2)1－m，,m＝\f(1,3)1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,5)，,n＝\f(2,5)，))所以eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.故选B.答案：B7．解析：由已知得：(a＋b)2＝(a－b)2，绽开化简后得：a·b＝0，①由已知得：(a＋b)2＝4a2，绽开化简后得：a2＋2a·b＋b2＝4a将①代入②化简整理得：b2＝3a2，即|b|2＝3|a|2∴(a＋b)(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝2|a|2，设向量a＋b与b－a的夹角为θ，cosθ＝eq\f(a＋b·b－a,|a＋b||b－a|)＝eq\f(2|a|2,2|a|×2|a|)＝eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(π,3).故选C.答案：C8．解析：由|2eq\o(AP,\s\up12(→))－eq\o(BP,\s\up12(→))－eq\o(CP,\s\up12(→))|＝2，可得|eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))|＝2.设BC的中点为D，即|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝1.点P是△ABC所在平面上的随意一点，O为AD中点．所以eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(PA,\s\up12(→))·(eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))＝2eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PD,\s\up12(→))＝2(eq\o(PO,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→)))·(eq\o(PO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→)))＝2(eq\o(PO,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→)))·(eq\o(PO,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＝2(eq\o(PO,\s\up12(→))2－eq\o(OA,\s\up12(→))2)＝2eq\o(PO,\s\up12(→))2－eq\f(1,2)≥－eq\f(1,2).当且仅当|eq\o(PO,\s\up12(→))|＝0，即点P与点O重合时，eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PC,\s\up12(→))有最小值－eq\f(1,2).故选C.答案：C9．解析：复数z＝eq\f(4,1－i)＝eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝2＋2i.可得|z|＝2eq\r(2)，所以p1：|z|＝2不正确；z2＝(2＋2i)2＝8i，所以p2：z2＝8i正确；z＝2＋2i，z的虚部为2，可得p3：z的虚部为2正确；z＝2＋2i的共轭复数为2－2i，所以p4：z的共轭复数为－2－2i不正确．故选BC.答案：BC10．解析：各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD.答案：ABD11．解析：由eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝|eq\o(AC,\s\up12(→))||eq\o(AB,\s\up12(→))|cosA＝|AD||AB|，由射影定理可得|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＝eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))，即选项A正确；由eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝|eq\o(BA,\s\up12(→))||eq\o(BC,\s\up12(→))|cosB＝|BA||BD|，由射影定理可得|eq\o(BC,\s\up12(→))|2＝eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))，即选项B正确；由eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(CD,\s\up12(→))＝|eq\o(AC,\s\up12(→))||eq\o(CD,\s\up12(→))|cos(π－∠ACD)<0，又|eq\o(AB,\s\up12(→))|2>0，即选项C错误；由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以|AC||BC|＝|AB||CD|，由选项A，B可得|eq\o(CD,\s\up12(→))|2＝eq\f(\o(AC,\s\up12(→))·\o(AB,\s\up12(→))×\o(BA,\s\up12(→))·\o(BC,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|2)，即选项D正确，故选ABD.答案：ABD12．解析：依据题意在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1对于选项A：eq\o(AA1,\s\up12(→))同时与eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(AD,\s\up12(→))垂直，|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|×|eq\o(AD,\s\up12(→))|sin〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))〉＝2×2×sin90°＝4，又因为|eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝4，所以|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up12(→))|，故eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))成立，故A正确．对于选项B：依据a，b，a×b三个向量构成右手系，所以eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AB,\s\up12(→))＝－eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))≠eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AB,\s\up12(→))，故B错误．对于选项C：对于(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))，同时满意垂直于eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(AA1,\s\up12(→))且满意右手系的，eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝λ1eq\o(DB,\s\up12(→))，|eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝|λ1eq\o(DB,\s\up12(→))|eq\r(22＋22)×4sin90°＝λ1eq\r(22＋22)λ1＝4，所以(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(DB,\s\up12(→))①；对于eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝λ2eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝λ3eq\o(AB,\s\up12(→))|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝|λ2eq\o(DA,\s\up12(→))|，|eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝|λ3eq\o(AB,\s\up12(→))|2×4sin90°＝λ2×2,2×4sin90°＝λ3×2λ2＝4，λ3＝4eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(AB,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(DA,\s\up12(→))＋4eq\o(AB,\s\up12(→))＝4eq\o(DB,\s\up12(→))②；所以综合①②可得(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))，故C正确；对于选项D：长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝(eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→)))·eq\o(CC1,\s\up12(→))，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝2×2×(eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→)))·eq\o(CC1,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))·eq\o(CC1,\s\up12(→))＝e