2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.5.1平行关系的判定学案含解析北师大版必修2

PAGE5平行关系5．1平行关系的判定考纲定位重难突破1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义．2.会用图形语言、文字语言、符号语言精确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简洁问题.重点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的理解、应用．难点：线线平行、线面平行、面面平行的转化．方法：平行关系中的分类探讨思想.授课提示：对应学生用书第14页[自主梳理]一、直线与平面的位置关系一条直线与一个平面有三种位置关系(1)直线a在平面α内，记作aα；(2)直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；(3)直线a与平面α平行，记作a∥α.二、直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理定理表示线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字语言若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,a∥b))⇒a∥αeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,a∩b＝A,a∥β,b∥β))⇒α∥β图形表示[双基自测]1．下列选项中，肯定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面α内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选项A不符合题意，是因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，是因为缺少条件mα；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．答案：C2．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系()A．平行 B．相交C．异面 D．不能确定解析：直线a与直线b可能平行、相交或异面．答案：D3．如图是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中，下列推断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：作出此正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，可得平面ACN∥平面BEM.答案：A4．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各面中与EF平行的有________个．解析：与EF平行的面有面AC，面BC1，面AD1.答案：35．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，则平面MNP与平面A1解析：∵NP∥B1D1，且BD∥B1D1，∴NP∥BD.NP⊄面A1BD，∴NP∥面A1BD，同理MN∥面A1BD.又∵PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1DB.答案：平行授课提示：对应学生用书第14页探究一直线与平面平行的判定[典例1]如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，SC的中点．求证：EF∥平面SAD.[证明]取SD的中点G，连接GF，AG.又∵F为SC的中点．∴GF为△SDC的中位线．∴GF綊eq\f(1,2)DC.又E为AB的中点且底面ABCD为正方形．∴AE綊eq\f(1,2)CD.∴GF綊AE.∴四边形AEFG为平行四边形．∴EF∥AG.又AG平面SAD，EF平面SAD，∴EF∥平面SAD.]线面平行的判定方法(1)利用定义，证线面无公共点．(2)利用线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，奇妙地作出协助线，构造线线平行是解决问题的关键．1．已知A1B1C1­ABC是正三棱柱，D是AC求证：AB1∥平面DBC1.证明：∵A1B1C1­ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连接B1C交BC1于点E，则B1E＝EC，连接DE.如图所示，在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1.又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.探究二面面平行的判定[典例2]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB[证明]连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF綊A1D1又A1D1綊AD，∴MF綊AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又∵AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB.∴AM∥平面EFDB.同理可得AN∥平面EFDB.∵AM，AN⊂平面AMN，且AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面．2．如图(甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图(乙)．求证：平面FHG∥平面ABE.证明：∵F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，∴FH∥CD，HG∥AE.又AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥BE，∴FH∥BE.∵BE平面ABE，FH平面ABE，∴FH∥平面ABE.∵AE平面ABE，HG平面ABE，∴HG∥平面ABE.又FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABE.探究三平行关系的综合应用[典例3]如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.[解析](1)证明：如图，连接BM，BN，BG并延长，分别交AC，AD，CD于P，F，H.∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.连接PF，FH，PH，有MN∥PF，又PF平面ACD，MN平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M.∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD.∴△MNG∽△ACD，其相像比为1∶3.∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.证明面面平行可转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．线线、线面、面面间的这种相互转化，可以帮助我们找到解题的突破口，同时也是证明平行问题的常用方法．3.如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥AB，在侧面PBC内，有PB⊥BC，BE⊥PC于点E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a.在线段AB上是否存在一点F，使EF∥平面PAD？若存在，求出eq\f(AF,AB)的值；若不存在，请说明理由．解析：存在满意条件的点F.在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG(图略)．∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.又AG平面PAD，PE平面PAD，∴EF∥平面PAD，∴F即为所求的点．∵PB⊥BC，PA⊥AB，∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2，设PA＝x，则PC＝eq\r(2a2＋x2)，由PB·BC＝BE·PC，得eq\r(a2＋x2)·a＝eq\r(2a2＋x2)·eq\f(\r(6),3)a，∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝eq\r(3)a.又CE＝eq\r(a2－\f(\r(6),3)a2)＝eq\f(\r(3),3)a，∴eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(GE,CD)＝eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，即GE＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(2,3)a，∴AF＝eq\f(2,3)a，即eq\f(AF,AB)＝eq\f(2,3).线面平行、面面平行判定中的探究问题[典例](本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面[规范解答]当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.……1分因为Q为CC1的中点，P为D1D的中点，所以PQ∥DC，①…2分又DC∥AB，所以PQ∥AB，且PQ＝AB.所以四边形ABQP为平行四边形，…4分所以QB∥PA.又PA平面PAO，QB平面PAO，所以BQ∥平面PAO.②…7分连接BD(图略)，则O∈BD，又O为DB的中点，P为D1D的中点，所以PO∥D1B.…9分又PO平面PAO，D1B平面PAO，所以D1B∥平面PAO.③…11分又D1B∩BQ＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.…12分[规范与警示]①由P是DD1的中点，探究知Q是CC1中点，此为解题关键点．②利用平行四边形找出两平面中一组直线平行，留意证明过程要严谨．③由三角形中位线证明两平面中另一组直线平行，切记面面平行的两线肯定是相交直线．探究型问题是具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，须要自己去探究，结合已有条件，进行视察、分析、比较和概括得出结论．常见的有以下两类：a．条件探究型：条件探究型问题是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需推断．b．结论探究型：结论探究型是先探究结论然后再去证明，在探究过程中常先从特别状况入手，通过视察、分析、归纳，进行揣测，得出结论，再就一般状况去验证结论．[随堂训练]对应学生用书第16页1．下列命题中正确的是()①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有多数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③ B．②C．②③ D．③解析：①②中两个平面还可以相交，故①②错误；由两个平面平行的定义，知③正确．故选D.答案：D2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．肯定平行 B．肯定相交C．平行或相交 D．以上都不对解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面肯定平行，否则，两个平面有可能相交．答案：C3.如图，在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，E，F分别为棱PB，PC的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________．解析：由于E，F分别是PB，PC的中点，所以EF∥BC.又因为AD∥BC，所以EF∥AD.而EF⃘平面PAD，AD平面PAD，故EF∥平面PAD.答案：EF∥平面PAD4．在六棱柱的表面中，相互平行的面最多有________对．解析：画出图形(图略)视察可得．答案：45.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中