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文档简介
山东省金乡县金育高级中学2025届高二数学第一学期期末联考模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆的上下顶点分别为,一束光线从椭圆左焦点射出,经过反射后与椭圆交于点,则直线的斜率为()A. B.C. D.2.已知,若是函数一个零点,则的值为()A.0 B.C.1 D.3.等比数列的各项均为正数,且,则()A.5 B.10C.4 D.4.△ABC两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0),它的周长是18,则顶点C的轨迹方程是()A. B.(y≠0)C. D.5.函数,则的值为()A B.C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球的表面积为A.B.C.D.7.已知抛物线过点,点为平面直角坐标系平面内一点,若线段的垂直平分线过抛物线的焦点,则点与原点间的距离的最小值为()A. B.C. D.8.等差数列中,,,则()A.6 B.7C.8 D.99.等差数列中,若,,则等于()A. B.C. D.10.若双曲线的离心率为3,则的最小值为()A. B.1C. D.211.已知点在抛物线的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A. B.C. D.12.已知数列满足,,在()A.25 B.30C.32 D.64二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆的圆心与点关于直线对称,直线与圆相交于、两点,且,则圆的方程为_________14.若一个球表面积为,则该球的半径为____________15.已知平面,过空间一定点P作一直线l,使得直线l与平面,所成的角都是30°,则这样的直线l有______条16.下列是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据,由其散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是,则_______.月份1234用水量4.5432.5三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)两个顶点、的坐标分别是、,边、所在直线的斜率之积等于,顶点的轨迹记为.(1)求顶点的轨迹的方程;(2)若过点作直线与轨迹相交于、两点,点恰为弦中点,求直线的方程;(3)已知点为轨迹的下顶点,若动点在轨迹上,求的最大值.18.(12分)在等差数列中,,.(1)求数列通项公式;(2)若,求数列的前项和.19.(12分)如图,是平行四边形,已知,,平面平面.(1)证明:;(2)若,求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值20.(12分)如图1是,,,,分别是边,上两点,且,将沿折起使得,如图2.(1)证明:图2中,平面;(2)图2中,求二面角的正切值.21.(12分)已知数列的前n项和(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)在和之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求数列的前n项和22.(10分)已知函数满足.(1)求的解析式,并判断其奇偶性;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD的方程,进而求出点D的坐标计算作答.【详解】依题意,椭圆的上顶点,下顶点,左焦点,右焦点,由椭圆的光学性质知,反射光线AD必过右焦点,于是得直线AD的方程为:,由得点,则有,所以直线的斜率为.故选:B2、A【解析】首先根据题意求出,然后设函数,利用以及的单调性,并结合对数运算即可求解.【详解】由题意可知,,所以,不妨设,(),故,从而,易知在上单调递增,故,即,从而.故选:A.3、A【解析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有,则=5.故选:A4、D【解析】根据三角形的周长得出,再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,去掉A,B,C共线的情况,可求得顶点C的轨迹方程.【详解】因为,所以,所以顶点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,去掉A,B,C共线的情况,即,所以顶点C的轨迹方程是,故选:D.【点睛】本题考查椭圆的定义,由定义求得动点的轨迹方程,求解时,注意去掉不满足的点,属于基础题.5、B【解析】求出函数的导数,代入求值即可.【详解】函数,故,所以,故选:B6、A【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,根据等积法求出几何体内切球的半径,再计算内切球的表面积【详解】解:由三视图知该几何体是一个三棱锥,放入棱长为2的正方体中,如图所示:设三棱锥内切球的半径为,则由等体积法得,解得,所以该三棱锥内切球的表面积为故选:A【点睛】本题考查了由三视图求三棱锥内切球表面积的应用问题,属于中档题7、B【解析】将点的坐标代入抛物线的方程,求出的值,可求得抛物线的方程,求出的坐标,分析可知点的轨迹是以点为圆心,半径为的圆,利用圆的几何性质可求得点与原点间的距离的最小值.【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得,可得,故抛物线的方程为,易知点,由中垂线的性质可得,则点的轨迹是以点为圆心,半径为的圆,故点的轨迹方程为,如下图所示:由图可知,当点、、三点共线且在线段上时,取最小值,且.故选:B.8、C【解析】由等差数列的基本量法先求得公差,然后可得【详解】设数列的公差为,则,,所以故选:C9、C【解析】由等差数列下标和性质可得.【详解】因为,,所以.故选:C10、D【解析】由双曲线的离心率为3和,求得,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,双曲线的离心率为3,即,即,又由,可得,所以,当且仅当,即时,“”成立.故选:D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略:1、利用基本不等式求最值时,要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件;2、若多次使用基本不等式时,容易忽视等号的条件的一致性,导致错解;3、巧用“拆”“拼”“凑”:在使用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.11、C【解析】首先表示出抛物线的准线,根据点在抛物线的准线上,即可求出参数,即可求出抛物线的焦点.【详解】解:抛物线的准线为因为在抛物线的准线上故其焦点为故选:【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质,属于基础题.12、A【解析】根据题中条件,得出数列公差,进而可求出结果.【详解】由得,所以数列是以为公差的等差数列,又,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算,属于基础题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】利用对称条件求出圆心C的坐标,借助直线被圆所截弦长求出圆半径即可写出圆的方程.【详解】设圆的圆心,依题意,,解得,即圆心,点C到直线的距离,因圆截直线所得弦AB长为6,于是得圆C的半径所以圆的方程为:.故答案为:14、【解析】设球的半径为,代入球的表面积公式得答案【详解】解:设球的半径为,则,得,即或(舍去)故答案为:15、4【解析】设平面,在平面内作于点O,在平面内过点O作,设OM是的角平分线,过棱m上一点P作,则过点O在平面OMQP上存在2条直线l,使得直线l与OB、OA成,直线l与平面且与平面,所成的角都是30°,在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l,由此可得答案.【详解】解:设平面,在平面内作于点O,在平面内过点O作,因为平面,所以,设OM是的角平分线,则,过棱m上一点P作,则过点O在平面OMQP上存在2条直线l,使得直线l与OB、OA成,此时直线l与平面且与平面,所成的角都是30°,同理,在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l,所以这样的直线l有4条,故答案为:4.16、25【解析】根据表格数据求出,代入,即可求出.【详解】解:由题意知:,,将代入线性回归方程,即,解得:.故答案为:5.25.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(3)【解析】(1)先表示出边、所在直线的斜率,然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可;(2)联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率;(3)先表示出,然后利用椭圆的性质,进而确定的最大值.【小问1详解】设点,则由可得:化简得:故顶点的轨迹的方程:【小问2详解】当直线的斜率不存在时,显然不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为联立方程组消去可得:设直线与轨迹的交点,的坐标分别为由韦达定理得:点为、两点的中点,可得:,即则有:解得:故求直线的方程为:【小问3详解】由(1)可知,设则有:又点满足,即由椭圆的性质得:所以当时,18、(1);(2).【解析】(1)利用等差数列的基本量,根据题意,列出方程,即可求得公差以及通项公式;(2)根据(1)中所求,结合等差数列的前项和的公式,求得,以及,再利用等比数列的前项和公式求得.【小问1详解】因为,所以,故可得,所以.【小问2详解】因为,所以.于是,令,则.显然数列是等比数列,且,公比,所以数列的前n项和.19、(1)见解析;(2).【解析】(1)推导出,取BC的中点F,连结EF,可推出,从而平面,进而,由此得到平面,从而;(2)以为坐标原点,,所在直线分别为,轴,以过点且与平行的直线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值【详解】(1)∵是平行四边形,且∴,故,即取BC的中点F,连结EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面,∵平面∴(2)∵,由(Ⅰ)得以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图),则∴设平面的法向量为,则,即得平面一个法向量为由(1)知平面,所以可设平面的法向量为设平面与平面所成二面角的平面角为,则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点(1)建立坐标系时要确保条件具备,即要证明得到两两垂直的三条直线,建系后要准确求得所需点的坐标(2)用平面的法向量求二面角的大小时,要注意向量的夹角与二面角大小间的关系,这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角,然后作出正确的结论20、(1)证明见解析(2)【解析】(1)、利用线面垂直的判定,及线面垂直的性质即可证明;(2)、建立空间直角坐标系,分别求出平面、平面的法向量,利用求出两平面所成角的余弦值,进而求出求二面角的正切值.【小问1详解】由已知得:,平面,又平面,在中,,由余弦定理得:,,即,平面.【小问2详解】由(1)知:平面,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,设平面的法向量为,平面的法向量为,则与,即与,..,观察可知二面角为钝二面角,二面角的正切值为.21、(1)证明见解析,(2)【解析】(1)利用及已知即可得到证明,从而求得通项公式;(2)先求出通项,再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因,当时,,所以,当
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