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文档简介

河南省十所重点名校2025届高二数学第一学期期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在三棱锥中,平面;记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则()A. B.C. D.2.已知椭圆与椭圆,则下列结论正确的是()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等3.,则()A. B.C. D.4.已知圆,直线,则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为()A.2 B.3C.4 D.55.已知平面向量,且,向量满足,则的最小值为()A. B.C. D.6.()A.-2 B.0C.2 D.37.在等差数列{}中,,,则的值为()A.18 B.20C.22 D.248.在中,已知点在线段上,点是的中点,,,,则的最小值为()A. B.4C. D.9.圆心在x轴负半轴上,半径为4,且与直线相切的圆的方程为()A. B.C. D.10.数列的一个通项公式为()A. B.C. D.11.设拋物线的焦点为F,准线为l,P为拋物线上一点,,A为垂足.如果直线AF的斜率是,那么()A B.C.16 D.812.若双曲线的离心率为3,则的最小值为()A. B.1C. D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某人实施一项投资计划,从2021年起,每年1月1日,把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元,预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元;若投资年收益是10%,一年结算一次,当年的投资收益自动转入下一年的投资本金,若2031年1月1日结束投资计划,则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.(参考数据:,,)14.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图,则a=______________15.如图,四边形为直角梯形,且,为正方形,且平面平面,,,,则______,直线与平面所成角的正弦值为______16.在数列中,,,,若数列是递减数列,数列是递增数列,则______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,是边长为4的正三角形,为正方形,平面平面,、分别为、中点.(1)证明:平面;(2)求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.18.(12分)已知函数.(1)当时,求函数在时的最大值和最小值;(2)若函数在区间存在极小值,求a的取值范围.19.(12分)已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)当时,证明:存在最大值,且恒成立.20.(12分)已知抛物线的焦点为F,倾斜角为45°的直线m过点F,若此抛物线上存在3个不同的点到m的距离为,求此抛物线的准线方程21.(12分)在柯桥古镇的开发中,为保护古桥OA,规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥,使新桥BC与河岸AB垂直,并设立一个以线段OA上一点M为圆心,与直线BC相切的圆形保护区(如图所示),且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m,经测量,点A位于点O正南方向25m,,建立如图所示直角坐标系(1)求新桥BC的长度;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最小?22.(10分)已知数列是公差为2的等差数列,它的前n项和为,且,,成等比数列(1)求的通项公式(2)求数列的前n项和

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先得到三棱锥的每一个面都是直角三角形,然后可得与平面所成的角,二面角的平面角,在直角三角形中算出他们的余弦值,利用向量法计算直线与直线所成的角为的余弦值,然后比较大小.【详解】令,由平面,且平面,又,,面三棱锥的每一个面都是直角三角形.与平面所成的角,二面角的平面角,由已知可得,,,又,则所以,又均为锐角,故选:A.2、C【解析】利用,可得且,即可得出结论【详解】∵,且,椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距故选:C3、B【解析】求出,然后可得答案.【详解】,所以故选:B4、C【解析】直线l过定点D(1,1),当时,弦长最短.【详解】由,圆心,半径,,由,故直线l过定点,∵,故D在圆C内部,直线l始终与圆相交,当时,直线l被圆截得的弦长最短,,弦长=.故选:C.5、B【解析】由题设可得,又,易知,,将问题转化为平面点线距离关系:向量的终点为圆心,1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短,即可求的最小值.【详解】解:∵,而,∴,又,即,又,,∴,若,则,∴在以为圆心,1为半径的圆上,若,则,∴问题转化为求在圆上的哪一点时,使最小,又,∴当且仅当三点共线且时,最小为.故选:B.【点睛】关键点点睛:由已知确定,,构成等边三角形,即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.6、C【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果【详解】由故选:C7、B【解析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差,进而求出首项.【详解】设公差为,由题意得:,解得:,所以.故选:B8、C【解析】利用三点共线可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由点是的中点,则,又因为点在线段上,则,所以,当且仅当,时取等号,故选:C【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论,考查了基本运算求解能力,属于基础题.9、A【解析】根据题意,设圆心为坐标为,,由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线的距离,解得的值,即可得答案【详解】根据题意,设圆心为坐标为,,圆的半径为4,且与直线相切,则圆心到直线的距离,解得:或13(舍,则圆的坐标为,故所求圆的方程为,故选:A10、A【解析】根据规律,总结通项公式,即可得答案.【详解】根据规律可知数列的前三项为,所以该数列一个通项公式为故选:A11、D【解析】由题可得方程,进而可得点坐标及点坐标,利用抛物线定义即求【详解】∵抛物线方程为,∴焦点F(2,0),准线l方程为x=−2,∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为,由,可得,∵PA⊥l,A为垂足,∴P点纵坐标为,代入抛物线方程,得P点坐标为,∴.故选:D.12、D【解析】由双曲线的离心率为3和,求得,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,双曲线的离心率为3,即,即,又由,可得,所以,当且仅当,即时,“”成立.故选:D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略:1、利用基本不等式求最值时,要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件;2、若多次使用基本不等式时,容易忽视等号的条件的一致性,导致错解;3、巧用“拆”“拼”“凑”:在使用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入,利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知,2021年的投入在结算时的收入为,2022年的投入在结算时的收入为,,2030年的投入在结算时的收入为,则结算时的总投资及收益为:①,则②,由①-②得,,则,故答案为:2414、3##【解析】由频率之和等于1,即矩形面积之和为1可得.【详解】由题知,解得.故答案为:0.315、①..②..【解析】以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,根据空间向量的线性运算求得向量的坐标,由此求得,由线面角的空间向量求解方法求得答案.【详解】解:以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如下图所示)由题意可知,,,因为,,所以,故设平面的法向量为,则,令,得因为,所以直线与平面所成角的正弦值为故答案为:;.16、【解析】根据所给条件可归纳出当时,,利用迭代法即可求解.【详解】因为,,,所以,即,,且是递减数列,数列是递增数列或(舍去),,,故可得当时,,故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】(1)连接,证明,即可证明平面;(2)取的中点,连接,由平面平面,得平面,建立如图所示空间直角坐标系,利用向量法即可求得答案.【小问1详解】证明:连接,是正方形,是的中点,是的中点,是的中点,,平面,平面,平面;【小问2详解】取的中点,连接,则,因为是边长为4的正三角形,所以,因为平面平面,且平面平面,所以平面,建立如图所示空间直角坐标系,则,则,设平面的法向量,则有,可取,则,所以直线EP与平面AEF所成角的正弦值为.18、(1)最大值为9,最小值为;(2).【解析】(1)利用导数研究函数的单调性,进而确定在的极值、端点值,比较它们的大小即可知最值.(2)讨论参数a的符号,利用导数研究的单调性,结合已知区间的极值情况求参数a的范围即可.【小问1详解】由题,时,,则,令,得或1,则时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增.∴在时取极大值,在时取极小值,又,,综上,在区间上取得的最大值为9,最小值为.小问2详解】,且,当时,单调递增,函数没有极值;当时,时,单调递增;时,单调递减;时,,单调递增.∴在取得极大值,在取得极小值,则;当时,时,单调递增;时,单调递减;时,,单调递增.∴在取得极大值,在取得极小值,由得:.综上,函数在区间存在极小值时a的取值范围是.19、(1)的单增区间为,;单减区间为,,;(2)证明见解析.【解析】(1)先求出函数的定义域,求出,由,结合函数的定义域可得出函数的单调区间.(2)当时,定义域R,求出,从而得出单调区间,由当时,,当时,,以及极值点与2的大小关系可得出当时,函数有最大值,然后再证明即可.【详解】解:(1)定义域,可得且且,,可得且3无0无0减无减增无增减所以,的单增区间为,;单减区间为,,.(2)当时,定义域R因为,当时,,当时,,所以的最大值在时取得;由,即,得由,得,或由,得所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.当时,,且,由所以当时,函数有最大值.所以,因为,所以,设,则所以化为由,则,则,所以所以20、【解析】设出直线m的方程,利用方程组联立、一元二次方程根的判别式求出与直线m平行的抛物线的切线方程,结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点坐标为:,设直线m为,设为与抛物线相切,联立直线与抛物线方程,化简整理可得,,则,解得,且,故两平行线间的距离,解得,故所求的准线方程为21、(1)80m;(2).【解析】(1)根据斜率的公式,结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可;(2)根据圆的切线性质进行求解即可.【小问1详解】由题意,可知,,∵∴直线BC方程:①,同理可得:直线AB方程:②由①②可知,∴,从

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