2021年中考数学分类专题突破专题26 四边形中的线段长度问题(解析版)

专题26四边形中的线段长度问题

1、如图，平行四边形A3CD的对角线AC与3。相交于点O,N8AC=90。，AC=6,BD=8,则CQ的长

为（）

A.A/7B.5C.D.10

解：•・,□ABC。的对角线AC与8。相交于点O,

：.BO=DO,AO=CO,AB=CDf

〈NR4c=90。，AC=6,80=8,

・・・8O=4,OA=3f

AB=VOB2-OA2=V16-9=V7>

CD=V7.

故选：A.

2、如图，E、尸分别是正方形ABC。边A£>、3c上的两定点，M是线段EF上的一点，过M的直线与正方

形ABC。的边交于点P和点H,且PH=EF,则满足条件的直线PH最多有（）条.

A.1B.2C.3D.4

证明：如图1,过8作8G〃EF,过C作CQ〃PH,

•.•四边形A8CD是正方形，

C.AD//BC,AH//CD,NA=NC8Q=90°,

GE

\D

。卜八一I

BFC

图1

・・.四边形BFEG和四边形CQPH是平行四边形,

：.EF=BGfPH=CQ,

,:PH=EF,

:.BG=CQ,

■:AB=BC,

.'.RtABCQ(HL),

J/ABG=/BCQ,

・•・/ABG+NCBG=NC8G+N8CQ=90。，

・・・CQ_LBG,

:.PHLEF,

所以图1中过M与所垂直满足条件有一条，

图2

如图2,还有两条：PM,P2H2,

故选：C.

3、如图，在矩形A5CQ中对角线AC与3。相交于点0,CELBD,垂足为点E,CE=5,且E0=2DE,则

AD的长为.

B

解：•••四边形A8C。是矩形，

AZADC=90°,BD=AC,OD=—BD,OC=—AC,

22

:.OC=OD,

"：E0=2DE,

设DE=X90E=2xt

：.OD=OC=3X9AC=6X,

■:CELBD,

.\ZDEC=ZOEC=90°,

在RSOCE中，

,:OE^+CEr=OC2,

・工(2x)2+52=(3x)2,

Vx>0,

:,DE=yl"^,AC=6yf^y

=22=2+2=

；•CDVDE-K；EV(V5)5V30'

,，M£>=VAC2-CD2=V(6V5)2-(V30)2=5V6-

故答案为：5遍.

4、如图，菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，过点。作。E〃AC,且。氏AC=1：2,连接CE、

OE,连接AE交OD于点E

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形A8CO的边长为2,NABC=60。，求AE的长.

(1)证明：在菱形A8CO中，OC=*AC.

,:DE：AC=\：2,

：.DE=OC,

\'DE//AC,

四边形OCED是平行四边形.

,：AC1BD,

平行四边形OCEC是矩形.

OE=CD.

(2)解：在菱形4BCD中,NABC=60。,

，AC=AB=2.

在矩形OCEO中，

22=22

CE=^=VAD-A0V2-1^V3-

在RtZ\4CE中，

/'£=VAC2+CE2=V22+(V3)2=V7-

5、四边形ABC。是平行四边形，ZA=ZB.

(1)求证：。ABC。是矩形；

(2)若BC=©B,求NACB的度数；

(3)在(2)的条件下，点E,尸分别在A3,4。上，且CE=CF,Z£CF=30°,AC=4,2AE-FD

的值.

图1

；四边形ABCD是平行四边形,

J.AD//BC,

NA+N8=I8O°,

•?NA=NB,

・,.ZA=ZB=90°,

・・・四边形ABC。是矩形;

(2)解：如图2中,

・・・ZACB=30°；

(3)解：如图3中，作FHLAC于从

：.ZBCE=ZFCHf

,:CE=CF,NB=NFHC=9U。,

:./XBCE@AHCF,

:.BE=FH,

在RSAFT/中，VZM//=30°,

；.FH==AF,

2

：.AE+—AF=AE+FH=AE+BE=AB,

2

在RSAC3中，VZACB=30°f

•\AB=—AC=2,

2

：.AE+—AF=2

2f

：.2AE+AF=4,

：.AF=4-2AE,

J.DF^AD-AF=2^-(4-2A£),

：.2AE-FD=4-2。

6、如图所示，四边形4BC£)为平行四边形，AD=13,AB=25,NDAB=a,且cosa=，点E为直线C£>

上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转a得到线段EF,连接CF.

(1)求平行四边形ABC。的面积；

(2)当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G,求线段8G的长；

(3)求线段CF的长度的最小值.

图1

•.•将线段EA绕点E逆时针旋转a得到线段EF,

:./AEF=a,AE=EF,

在RtAD4K中，

；cosZD4K=cosa=&^-=-^-,且A£)=I3,

AD13

：.AK=5,

D^=VAD2-AK2=V132-52=⑵

••S平行四边形48co=48x/)K=25x12=300：

(2)如图2,延长CD至兄作NA”O=a,

E

■:ZAHD=ZADH=af

.\AH=AD=13,

过点A作AM，。”于点M,

由(1)知AA/=12,

.•.DM=A/AD2_AH2=5,

：.DH=IO,

"：NFEH=ZD£A+Za=ZF+a,

NDEA=NF,

在△4石〃和4EFC中,

，ZAEH=ZF

<ZH=ZC，

AE=EF

/.AAEH^AEFC(AAS),

:.EH=CF,CE=AH=\3f

：.DE=CD-CE=\2,BF=CF-BC=22-13=9,

*：BG〃CE,

:ZBGs/\FCE,

.BF_BG

••-«

CFCE

(3)如图3,延长CO至尸，使NP=NA。尸=a,过点尸作根〃BC,交CO于点M,过点FN，C£>,

交8于点N,

图3

由(2)可知/AEP=NEFM,

在4丛尸和^FE历中.

"ZP=ZFME

<ZAEP=ZEFM«

AE=EF

:.△EAP/XFEM(AAS),

：.EM=AP=\3,FM=EP,

设OE=x,则FM=EP=10+x,CM=25-(13+x)=12-x,

19R

FN=FM9sina=--(10+x),MN=FM・cosa=--(10+x),

1313

CN=CM+MN^12-x+—(10+x)=4!生&•

1313

在Rt/iCFN中，CF<2^C^1+NF2=(—)2(208A--416x+56836),

13

41(：l

对称轴x=--L=_-

2a2X208

...当x=l时，C尸的值最小，c尸的最小值为空逗.

13

7、如图，己知。ABC。，E是C4延长线上一点，且NEAB=90。，AB=AE,点/是BC下方一点，且FE=

FD,ZEFD=90°,

(1)求证：NFEA=NFDC；

(2)若AF=3,求4c的长.

BC

(1)证明：设AC与。尸交于点0,如图1所示:

'：ZEAB=90°f

AZBAC=90°,

V四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CDfAB//CD,

：.NACO=N3AC=90。，

.\ZFDC+ZCOD=90°,

VZEFD=90°,

：.ZFEA+ZFOE=90°f

又丁ZFOE=ZCOD,

：.ZFEA=ZFDC；

(2)解：连接CR如图2所示：

9

：AB=AEfAB=CD,

:・AE=CD,

'AE=CD

在ZMEF和Zkc。尸中一/FEA=NFDC，

FE=FD

:.△NEFQX3E(SAS),

:.AF=CF,/AFE=/CFD,

：.ZAFC=ZEFD=90°f

•••△ACF是等腰直角三角形，

，AC=尸=3.

E、

AD

O

B\\C

F

图1

8、已知在四边形ABCD中，AD//BC,AB1BC,AD=2,AB=4,BC=6.

E

(1)如图1,P为48边上一点，以PD,PC为边作平行四边形PCQ。，过点。作QHJ_8C,交8c的

延长线于H.求证：&ADP妾△HCQ：

(2)若P为48边上任意一点，延长PD到E,DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE.请

问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.

(3)如图2,若P为。C边上任意一点，延长PA到E,使AE=〃PA(〃为常数)，以PE,PB为边作

平行四边形P8QE.请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在,

请说明理由.

解：(1)'：AD//BC,

：.NADC=NDCH,

：.NADP+NPDC=ZDCQ+ZQCH,

；四边形PCQD是平行四边形，

J.PD//CQ,PD=CQ,

：.ZPDC=ZDCQ,

：.ZADP^ZQCH,

在△AOP和AHCQ中，

'NA=NH

<ZADP=ZHCQ-

PD=QC

/△HC。（A45）；

（2）存在最小值，最小值为10,

如图1,作交BC的延长线于H,设尸Q与。C相交于点G,

'：PE//CQ,

JtXDPGsXCQG,

,DG=PD=1

"GC一而一T

由（1）可知，ZADP=ZQCH,

；.RSAOPsRsQCH,

.AD_PD_1

CHCQ2

：.CH=2AD=4,

:.BH=BC+CH=6+4=10,

・••当PQ_LA8时，P。的长最小,即为10；

（3）存在最小值，最小值为返（〃+4）,

2

如图2,作。”〃。。，交的延长线于从作CK_LC£>,交。〃的延长线于K,

,:PE〃BQ、AE=nPAf

AAGPA1

BGBQn+1'

•:AD//BC,

・・・NAOP+NOC”=90。,

■:CD//QK,

：.NQ”C+/DCH=180。，

AZQHC=NADQ,

•・♦NPAD+NPAG=NQBH+/QBG=90。,NPAG=NQBG,

:.NPAD=/QBH,

:.XRDPsXBHQ,

,AD=PA=1

一而一的一启’

/.BH=2〃+2,

・・・C”=BC+B”=6+2〃+2=2〃+8,

过点。作。M_L8c于M,又ND48=NA8M=90。，

・・・四边形A8例。是矩形，

：.BM=AD=2,DM=AB=4,

；・MC=BC-BM=6-2=4=DM,

：.ZDCM=45°f

・・・N"CK=45。，

.•.CK=CH・cos45o=亭(2”+8)=&(n+4),

.•.当PQLCO时，PQ的长最小，最小值为我(n+4).

9、如图①，正方形ABC。的边长为2,点P是正方形ABC。内一点，连结PA,PB,PD,△PAB为等边三

角形.

(1)求点P到边AO,AB的距离之和；

(2)如图②，连结8。交尸4于点E,求△的面积以及§与的值.

BB

①②

解：(1)如图①，过P作于M,PNLAB于N,

:四边形A8c。是正方形，

：.ZDAB^90°,

：.ZPMA=NDAB=ZPNB=90°,

二四边形ANPM是矩形，

：.PM=AN,AM=PN,

•••△A3P是等边三角形，

.•.AN=*A8=1,PN=«,

:.PM=AN=1,

:.PM+PN=yf^l,

即点尸到边AC,AB的距离之和为F+l；

(2)S^PBD—SnminABPD~S^ABD—~^AD(PM+PN)--^AD*AB--^x2,x(*■^■X2X2—5/3-'：

如图②，过P作PGJ_8。于G,过A作AH,8。于”，

：.ZPGE^ZAHE=90°,

'：ZPEG=ZAEH,

：./\PGE^^AHE,

•AEAH

,*PEPG'

..SAABD_jBD，AH_AH,23

PG

S^PBDlBD.pG6T

B

②

10、已知：如图①，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=8,48=10,点P,E,尸分别是A8,AC,BC上

的动点，且AP=2CE=2BF,连结PE,PF,以PE,PF为邻边作平行四边形PFQE.

(1)当点P是A8的中点时，试求线段尸尸的长.

(2)在运动过程中，设CE=〃?，若平行四边形PF0E的面积恰好被线段8C或射线AC分成1：3的两

部分，试求成的值.

(3)如图②，设直找FQ与直线AC交于点N,在运动过程中，以点Q,N,E为顶点的三角形能否构成

直角三角形？若能，请直接写出符合要求的CE的长；若不能，请说明理由.

解：(1)如图①，作于点H,

图①

VZACB=90°,BC=8,AB=IO,

.".AC=6.

"：AP=2CE=2BF,

:点P是A8的中点,

：.PA=PB=5.

5

：.CE=BF=—PH=3,BH=CH=4,

2f

・.・FH=—3.

2

PF=VPH2+FH2=-

(2)如图②，平行四边形PFQE的面积恰好被线段8c分成1：3的两部分时，则EM二处2凡

图②

■:PHLBC,

：.ZPHF=90°=ZACB,

.,.PH//AC,

：.2CEMsAHPF,△PBH^/XABC,

.2m10-2m

610

・.・m=-1--5-.

8

如图③，平行四边形PFQE的面积恰好被线段AC分成1：3的两部分时，则尸O=QD,QN*PG,

图③

：.CF=—PG.

2

.PG_AP

♦•而一M

・16-2m2m

810

.40

・・m=----.

9

•*•in的值为个■或粤■.

o9

（3）如图④，当/QVE=90。时，则点N与点C重合，设CE=x,

<△PBHsAABC,

.PHPB

**AC-AB'

.x_10-2x

610

...x=-3--0-.

11

如图⑤，当NQNE=90。时，则点P与点8重合,

；.x=5.

•PS_FR

一函—研

2x-"-(6-x)•px

•D_D

**-44-

10yx-2x

Tb-(6-X)b

.V_83±V769

34

经检验，x值符合题意.

综上，CE的长为I*等丽或5成驾.

3411

11、已知菱形A8C。中，AB=4,NBAZ）=120。，点P是直线AB上任意一点，连接PC,在NPC。内部作

射线C。与对角线8。交于点Q（与8、。不重合），且NPCQ=30。.

（1）如图，当点P在边AB上，且BP=3时，求PC的长；

（2）当点P在射线8A上，且3P="（0<n<8）时，求QC的长；（用含〃的式子表示）

（3）连接P。，直线PQ与直线BC相交于点E,如果△QCE与△BCP相似，请直接写出线段BP的长.

备用图

解：（1）如图1中，作8c于H.

D

图1

•・,四边形ABC。是菱形,

・・・AB=BC=4,AD//BC,

：.NA+NA8C=180。,

VNA=120。,

：.ZPBH=60°f

•:PB=3,/PHB=90。,

：.BH=PB«cos60°=—,PH=P8・sin60。,

22

QR

：.CH=BC-BH=4--,

22

PCRPH24cH2=?+号］=V13-

(2)如图1中，作8c于，，连接P0,设PC交8。于O.

;四边形A88是菱形，

ZABD=ZCBD=30°,

*：ZPCQ=30°,

:.NPBO=NQCO,

；NPOB=NQOC,

:.丛POBs丛QOC,

.P0B0

"0Q"CD'

.OPQ0

BOCD

ZPOQ=N3OC,

：./\POQ^ABOC,

：.ZOPQ=ZOBC=30°=/PCQ,

:.PQ=QC,

.•.PC=«QC，

在RSPHB中，BP=n,

1M

：.BH=—n,PH=^-ti,

22

'JPC^^Ptf+CH1,

，3QG=（返。2+（4-—;z）2,

22

AQr=V3n2-12n+48（g〃<8）.

3

(3)①如图2中，若直线QP交直线8c于B点左侧的点艮

此时/CQE=120。，

,：ZPBC=60°,

.•.△PBC中，不存在角与NCQE相等,

此时△QCE与小BCP不可能相似.

②如图3中，若直线QP交直线BC于点C右侧的点E.

则NCQE=ZB=QBC+ZQCP=60°^ZCBP,

•:NPCB>/E,

/.只可能NBCP=NQCE=75°,

作C尸_LA8于F,则BF=2,CF=2b，ZPCF=45°,

:.PF=CF=2册,

此时BP=2+273，

③如图4中，当点P在A8的延长线上时，

图4

VACBE与4C8P相似，

.../CQE=NCBP=120。，

.'.ZQCE=ZCBP=i5°,

作CFLAB于F.

,/NFCB=30。，

/.ZFCB=45°,

：.BF=^BC=2,CF=PF=20

:.BP=2M-2.

综