2022年福建省福州市私立超德某中学高二数学理月考试题含解析

2022年福建省福州市私立超德高级中学高二数学理月

考试题含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.如下图所示的程序框图中，输出S的值为（.）

A.ID8.12C.15D.I8

参考答案：

C

略

2.已知三棱柱MC-44cl的6个顶点都在球。的球面上,若

49=3,=明=12,则球。的半径为（）

13

A.2B,2而C.2D.3厢

参考答案：

C

3.定积分£3（一丫等于

乃一2

A.4B.2C.4

加一1

D.2

参考答案：

4.若曲线尸x2在点（a，a2）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9,则a=

（）

A.8B.16C.32D.64

参考答案:

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】求得在点生，a2）处的切线方程，可求三角形的面积，利用面积为9,即可求

得a的值.

'__1_2--

【解答】解：求导数可得了~了，，所以在点殳，a之）处的切线方程为：

产一2a

—&

令x=0,得2；令y=0,得x=3a.

X—a4X3a二二a4二q

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积22a-4,解得a=16

故选B.

5.正方体ABCD-ABCD的棱长为1,点M在照上且网-5次：，N为BB的中点，则I而I为

参考答案：

C

6.设，~坎1008）,则DQY+1）等于（）

A.1.6B.3.2C.6.4D.12.8

参考答案：

C

略

7.设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的

形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

参考答案：

B

【考点】正弦定理.

【专题】解三角形.

【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公

K

式、诱导公式求得sinA=l,可得A=力，由此可得aABC的形状.

【解答】解：^ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

VbcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,

即sin（B+C）=sinAsinA,可得sinA=l,故A=2,故三角形为直角三角形，

故选B.

【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数

的值求角，属于中档题.

8.右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污

损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）

甲乙

988337

109■9

27_42

A.5B.10C.5D.10

参考答案：

C

略

9.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）

A.11B.6C.11D.5

参考答案：

B

【考点】程序框图.

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s,i的值，当i=6时不满足条件

iW5,输出S的值，利用裂项法即可计算得解.

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

i=l,s=o

1

满足条件iW5,执行循环体，S=1X2,i=2

11

满足条件iW5,执行循环体，S=1X2+2X3,i=3

111

满足条件iW5,执行循环体，S=1X2+2X3+3X4,i=4

1111

满足条件iW5,执行循环体，S=1X2+2X3+3X4+4X5,i=5

11111

满足条件iW5,执行循环体，S=1X2+2X3+3X4+4X5+5X6,i=6

不满足条件iW5,退出循环，输出S的值.

1111111111

由于$=1乂2+2乂3+3又4+4乂5+5乂6=(1-2)+(23)+…+(5-6)=1-

1_5

6=6.

故选：B.

X->r+l>0

<x+_y=O

10.若实数x，尸满足，则z=3””的最大值是（）

A.0B.1C./D.9

参考答案：

D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.命题?xGR,xZ-x+3>0的否定是

参考答案：

?xGR,X?-x+3W0

【考点】2J：命题的否定；21：特称命题.

【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定

【解答】解：原命题为：?xGR,x,!-x+3>0

•原命题为全称命题

•••其否定为存在性命题，且不等号须改变

，原命题的否定为：?x£R,X2-X+3W0

故答案为：?xGR,x2-x+3^0

12.0-X)3(1+2X)'展开式中一的系数为一.

参考答案：

3

略

13.命题“YxwRsnVl”的否宗是“

参考答案：

€R,sinr>1

略

14.两条平行直线X-，=。与工一」+4=°间的距离为▲.

参考答案：

2啦

略

Jw

15.求(1-x)"=a0+«lx+a2x++awx)则为+.

参考答案：

-1

略

16.一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的表面积为.

参考答案：

47r

略

pogRx>。)献]

已知r(x)=卜(x<0)

17.

参考答案:

略

三、解答题:本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

J___1____1_[

18.已知数列[X3'3X5'5X7'，计算品•品.当，根据计算结

果，猜想叫的表达式，并用数学归纳法给出证明.

参考答案：

S]=52=—~+---=-,S\=——+---+---=—

解：】321x33x5531x33x55x77........2分

分

以下用数学归纳法证明这个猜想

⑴当”=时

左边=S]=：右边=’猜想成立...................6分

32M+13

(2)假设当力=的猜想成立，即S*=不二.......................8分

2k+l

那么当万“+1时

“*(2*+1)(2*+3)2k+l(2*+1)(2*+3)

狭2+配+](上+1)(»+1)左+1

(%+1)(%+3)=(%+1)(%+3)=23+1)+]

加=上+世猜想也.........................................11分

由(1)(2)可知猜想对任意用e犷成立........................12分

/(X)=-xa-m\nx+(m-l)x一

19.已知函数2,weR.

(I)若函数/wx=2处有极值，求m的值；

(II)当w<0时，讨论函数/(X)的单调性；

(III)求证：当用=-2时，对任意的Xl-X2e(0'+0°),且位*乙，有

■/(“-/(再)>]

弓一看。

参考答案：

(1)X函数在x=2处有极值二2

冽=一2,经检验冽=-2符合题意。w=-2o.........4分

吩(3)当掰<-1即-加>1时，xe(。1)时J'(x)>OJ(x)为增函数；

xe(LF)8tj'(x)<0J(x)为减函数；xe(rM.4a))Btj'(x)>0J(x)为增函

数.9分

（Ill）不妨设0＜不＜々，要证明:'I》_1，

它一再

即证明：/（电）+勺＞/（々）+公..........10分

当加二一2时，函数/（x）=；/+21nx-3x.

考查函数a（x）=〃x）+x=g/+21nx-2x.........11分

2cx2-2x+2（x-l）+l

:Y（x）=x+—-2=---------=——＜——＞0

XXX

...%（耳在（0,+＜＞。）上是增函数，..........13分

对任意0＜五＜今，〃（々）＞〃（々），

所以/（电）+亦2＞/（工1）+々，•'--^—――命题得证..........14分

电一不

略

20.（本小题满分12分）如图，多面体的直观图及三视图如图所示，E、F分

别为PC、BD的中点.

（I）求证：EF〃平面PAD；

（II）求证：平面PDC_L平面PAD.

参考答案：

.证明：由多面体上超⑵的

三视图知，四棱锥尸-RBC。的底面幺BCDp

是边长为2的正方形，侧面尸为。是等腰三角

形，PA=PD=R,

且平面PAD_L平面蔗CD.…2分

(I)连结4C,则尸是4c的中点，

在△CP4中，EFHPA,.....4分

且R1U平面R1。，白尸仁平面;M0,

；.EF〃平面PiD.....6分

(II)因为平面月4D_L平面上5CD,

平面PADn平面H&7。=AD,

又COLAO,所以，8,平面尸50,

：.CD±PA.......8分

又PA=PD=&,4。=2,所以421。是等腰直角三角形,

ZP?1Z)=-

且2,即41阳.............10分

又CDCPD=D,：.R!_L平面尸DC,

又R4u平面尸所以平面尸」4Z)_L平面尸DC..........12分

21.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能的产品供不应求.为适应市场

需求，某企业投入98万元引进环保节能生产设备，并马上投入生产.第一年需各种费用12

万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元.而每年因引入该设备可获得

年利润为50万元.请你根据以上数据，解决以下问题：

(1)引进该设备多少年后，该厂开始盈利？

(2)若干年后，因该设备老化，需处理老设备，引进新设备.该厂提出两种处理方案：

第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出.

第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？

参考答案：

解：(1)设引进该设备x年后开始盈利.盈利额为尸万元.

>»=50X-98-[12X+-^^X4].“八

则'2=-2?+40x-98,令得

10->/51<x<10+751,vx62/,3<x<17.

即引进该设备三年后开始盈利--7分

上^=-2x--+40<-2,/2x—+40=12

(2)第一种：年平均盈利为X,XxVX，当且仅当

、98

X,即X=7时，年平均利润最大，共盈利12x7+26=110万元……口分

第二种：盈利总额y=-28-10尸+】(％当x=10时，取得最大值102,即经过】0

年盈利总额最大，共计盈利102+8=110万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，

采用第一种方案一14分

略

2

22.已知函数f(x)=3x3-2ax?-3x.

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3))的切线方程；

(2)对一切xG(0,+8),af'(x)+4a、2lnx-3a-1恒成立，求实数a的取值范

围；

(3)当a>0时，试讨论f(x)在(-1,1)内的极值点的个数.

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方

程.

【分析】(I)求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f(x)在

点(3,f(3))的切线方程；

、lnx-1

(II)由题意：2axz+ieinx,即2x‘，求出右边的最大值，即可求实数a的取值

范围；

(III)分类讨论，利用极值的定义，即可讨论f(x)在(-1,1)内的极值点的个数.

f0=2/-3X

【解答】解：(I)由题意知3，所以f'(x)=2x2-3

又f(3)=9,f'(3)=15

所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))的切线方程为15x-y-36=0…

、lnx-1

(II)由题意：2ax2+l^lnx,即2x,

,、lnx-1,/、3-21nx

g(x)=------z—g(,x)=------o-

设2x”，则2xJ

3_3_

当0<x<e2时，g'(X)>0；当x>e2时，g，(x)<0

工g()-~--

所以当x=e2时，g(x)取得最大值xmaX