2021年中考数学点对点突破的55个特色专题18等腰、等边三角形问题（解析版）

专题18等腰、等边三角形问题

专题知识点概述

一、等腰三角形

1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶

角，底边和腰的夹角叫底角.

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边“）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的

相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

二、等边三角形

1.定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.

2.性质

性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3.判定

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、解题方法要领

1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在

等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利

用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问

题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边

或角，要对己知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB=AC,乙4=40°,CD//AB,则（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根据等腰三角形的性质可求NACB,再根据平行线的性质可求N8CD

•在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,

AZACB=70°,

,:CD〃AB,

4c£）=180°—140°,

，NBCD=ZACD-NAC8=70°.

【对点练习】如图所示，点D是AABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD,则下列结论正确

的是（）

A.AOBCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.NA=/ABC

【答案】A

【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相

等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.根据等腰三角形的

两个底角相等，由AD=BD得到NA=NABD,所以NABO/A,则对各C、D选项进行判断；

根据大边对大角可对A、B进行判断.

VAD=BD,

,ZA=ZABD,

AZABOZA,所以C选项和D选项错误；

AAOBC,所以A选项正确；B选项错误.

【例题2】（2020•宁波）△BCE和△FG”是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角

形ABC内.若求五边形QECHF的周长，则只需知道（）

A

D,

BGEC

A.△ABC的周长B.△AFH的周长

C.四边形尸BG"的周长D.四边形ADEC的周长

【答案】A

【解析】证明(A4S),得出AF=CH.由题意可知8E=FH,则得出五边形。ECHF的周长

=AB+BC,则可得出答案.

•.•△GFH为等边三角形，

：.FH=GH,NF”G=60°,

；.NAHF+NGHC=120°,

•.•△A8C为等边三角形，

：.AB=BC=AC,NAC8=ZA=60°,

/.ZGHC+ZHGC^120°,

二ZAHF=ZHGC,

.♦.△AFH丝△CHG(A4S),

：.AF^CH.

和△FG”是两个全等的等边三角形，

：.BE=FH,

：.五边形DECHF=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+B£),

^AB+BC.

，只需知道△ABC的周长即可.

【对点练习】如图所示，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD=CE,AD与BE相交

于点P.则NAPE的度数为。.

【答案】60

【解析】根据BD=CE可得CD=AE,即可证明AACD段4BAE,得/CAD=NABE,再根据内角和为1800

的性质即可解题。

VBD=CE,

ABC-BD=AC-CE,

§PCD=AE,

'CD=AE

^△ACD^ABAE中，.ZACD=ZBAE,

AB=AC

/.△ACD^ABAE(SAS),

.\ZCAD=ZABE,

VZCAD+ZAPE+ZAEB=180",

ZABE+ZBAE+ZAEB=180",

AZAPE=ZBAE=60°

【例题3】(2020•台州)如图，已知AB=AC,AD=AE,8。和CE相交于点O.

(1)求证：△ABDgAACE；

(2)判断△BOC的形状，并说明理由.

【答案】见解析。

【分析】(I)由"SAS”可证△ABOTZkACE；

(2)由全等三角形的性质可得/ACE,由等腰三角形的性质可得/A8C=NAC8,可求/O8C=

NOCB,可得BO=CO,即可得结论.

【解答】证明：(1)'：AB=AC,NBAD=NCAE,AD=AE,

：./XABD^/XACE(SAS)；

(2)△80C是等腰三角形，

理由如下：

,?AABD^AACE,

二NABD=ZACE,

\'AB=AC,

：.ZABC=NACB,

：.AABC-NABD=NACB-ZACE,

:.NOBC=NOCB,

:.BO=CO,

...△BOC是等腰三角形.

【对点练习】如图，已知AC_LBC,BD1AD,AC与BD交于点O,AC=BD.求证:

(1)BC=AD；

(2)AOAB是等腰三角形.

【答案】见解析。

【解析】证明：(1)VAC±BC,BD±AD,

.*.ZD=ZC=90°.

在RtAACB和RtABDA中，＜

AC=BD,

.".△ACB^ABDA(HL).

:.BC=AD.

(2)由AACB丝ZiBDA,得/CAB=NDBA,

/.△OAB是等腰三角形.

【对点练习】己知：在AABC中，AB=AC,D为AC的中点，DELAB,DF±BC,垂足分别为点E,

且DE=DF.求证：Z\ABC是等边三角形.

D

BFC

【答案】见解析。

【解析】只要证明RtAADE^RtACDF,推出NA=NC,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC；

证明：•.•DELAB,DF1BC,垂足分别为点E,F,

二ZAED=ZCFD=90°,

•••D为AC的中点，

，AD=DC,

在RtAADE和RIZXCDF中，

[AD=DC

1DE=DF'

/.RtAADE^RtACDF,

，ZA=ZC,

；.BA=BC,：AB=AC,

，AB=BC=AC,

.♦.△ABC是等边三角形.

【对点练习】如图，ZSABC中，AB=AC,NA=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足，连接EC.

(1)求NECD的度数；(2)若CE=5,求BC长.

E

B*L--------------

【答案】(1)NECD的度数是36°；

(2)BC长是5.

【解析】(1)・・・DE垂直平分AC

.'.CE=AE,

AZECD=ZA=36°

(2)VAB=AC,ZA=36°,

AZB=ZACB=72°,

AZBEC=ZA+ZECD=72°，

AZBEC=ZB,

・•・BC=EC=5.

专题点方点强化训练

一、选择题

1.（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB=AC,NC=65°,点。是8C边上任意一点，过点£＞作。/〃A8

交AC于点，则NrEC的度数是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性质得出N8=NC=65°,由平行线的性质得出NCQE=/B=65°,再由三角形

的外角性质即可得出答案.

9：AB=AC,ZC=65°,

AZB=ZC=65°，

•:DF〃AB,

，NCDE=NB=65°,

AZFEC=ZCDE+ZC=650+65°=130°.

2.(2020•南充)如图，在等腰△ABC中，BD为N4BC的平分线，ZA=36°,AB=AC=a,BC=b,则

CD=()

a+ba-b

A.-----B-C.a-bD.b-a

22

【答案】c

【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出8O=8C=A。进而解答即可.

•在等腰△ABC中，8。为NA8C的平分线，ZA=36°,

...NA8C=/C=2/A8D=72°,

:.NABD=36°=ZA,

：.BD=AD,

：.ZBDC^ZA+ZABD^12°=NC,

:.BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=h,

J.CD^AC-AD^a-b

3.（2020•徐州）如图，AB是OO的弦，点C在过点B的切线上，OCJ_O4,OC交AB于点、P.若NBPC

=70°,则/A8C的度数等于（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】先利用对顶角相等和互余得到/A=20°,再利用等腰三角形的性质得到NO8A=/A=20°,然

后根据切线的性质得到OB±BC,从而利用互余计算出NA8C的度数.

VOC±OA,：.ZAOC=90°,

•.•/APO=/8PC=70°,AZA=90°-70°=20°,

"：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20°,

为。。的切线，：.OBLBC,：.ZOBC=90°,：.ZABC=9O0-20°=70°.

4.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为

（）

A.®B.3返C.aD.不能确定

222

【答案】B

【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等

边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观.

作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到

三边的距离之和等于高线的长度，从而得解.

如图，•.•等边三角形的边长为3,

/.高线AH=3x1;色叵,

22

SA,、BC=LBJC・AH=LAB・PD+LBJPE+LAJPF,

2222

工X3・AH=LX3・PD+LX3・PE+LX3・PF,

2222

二PD+PE+PF=AH=

即点p到三角形三边距离之和为3返

2

5.（2019•浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”

能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,08组成，两根棒在。点相连并可绕O转动，C点

固定，OC=CD=DE,点、D,E可在槽中滑动，若NBDE=75°,则NCDE的度数是（）

【答案】D

【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。

,:OC=CD=DEf

：.ZO=ZODC,NDCE=/DEC,

设NO=/O£>C=x,

:.ZDCE=ZDEC=2xf

：.ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

ZBDE=15°f

：.ZODC+ZCDE+ZBDE=180°,

BPx+180°-4x+75°=180°,

解得：尸25。，

ZCDE=180°-4x=80°.

6.（2019•湖南长沙）如图，心△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,分别以点A和点B为圆心，大于工48

2

的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交BC于点D,连接AZ）,则NC4O的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△ABC中，・.・/8=30°,ZC=90°,

：.ZBAC=180°-ZB-ZC=60°,

由作图可知MN为AB的中垂线，

：.DA=DB,

；.NDAB=NB=30°,

：.ZCAD=ZBAC-NZM8=30°

二、填空题

7.（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6,E,尸是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿

着平行于8A,CA方向各剪一刀，则剪下的△QEF的周长是—.

【答案】6

【解析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解.

•.•等边三角形纸片A8C的边长为6,E,尸是边8c上的三等分点，

；.EF=2,

'：DE//AB,DF//AC,

.♦.△OEF是等边三角形，

二剪下的△QEF的周长是2X3=6.

8.（2020•牡丹江）如图，在RtZVIBC中，CA^CB,M是AB的中点，点。在8M上，AEA.CD,BFLCD,

垂足分别为E,F,连接EM.则下列结论中：

①BF=CE；

②NAEM=NDEM；

③AE-CE=近ME；

（4）D£2+DF2=2DM2；

⑤若AE平分NBAC,则EF：BF=V2：1；

⑥CF，DM=BM,DE,

正确的有.（只填序号）

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】证明△BCFgZXCAE,得到8f=CE,可判断①；再证明从而判断△EA/尸为等

腰直角三角形，得至1」律=鱼07,可判断③，同时得到NMEF=NMFE=45°,可判断②：再证明△/）,

分NEM,得到△ZM/N为等腰直角三角形，得到DN=VLDM,可判断④；根据角平分线的定义可逐步

EPEFEF\[2EMr-

推断出再证明△ADEg△4CE,得到。E=CE,则有一=—=—=-----=，2,从而判断

BFCEDEDE

…CMDM

⑤；最后证明△CDMSAOE,得到一=—,结合3M=CM,AE=CF可判断⑥.

AEDEf

【解析】；NACB=90°,

AZBCF+ZACE=90a,

■:NBCF+NCBF=9Q°,

/.乙4CE=/CBF,

又=ZAEC,AC=BC,

：./\BCF^/\CAE(A4S),

：.BF=CE,故①正确；

由全等可得：AE^CF,BF=CE,

：.AE-CE=CF=CE=EF,

连接FM,CM,

•.•点M是AB中点，

：.CM=^AB=BM=AM,CMA,AB,

在△BOF和△COM中，/BFD=NCMD,NBDF=NCDM,

：.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

:.ABFM与ACEM(SAS),

：.FM=EM,NBMF=NCME,

；NBMC=90°,

：.ZEMF=90°,即△£■“尸为等腰直角三角形，

：.EF=V2EM=AE-CE,故③正确，NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

AZMEF=ZAEM=45°,故②正确，

设AE与CM交于点N,连接。M

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

，丛DFM^ANEM(ASA),

：.DF=EN,DM=MN,

...△QMN为等腰直角三角形，

：.DN=\[2DM,而N£)EA=90°,

?.0^+0^=DN1=2DM1,故④正确；

\'AC=BC,NACB=90°,

：.ZCAB=45°,

平分N8AC,

AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

•；NDEM=45°,

:./EMD=675°,BPDE=EMf

9

：AE=AEfZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,

：.AADE^AACE(ASA),

:・DE=CE,

•・•/XMEF为等腰直角三角形,

：.EF=V2EM,

EFEFEF

e42OEEM—4r2,故—⑤正—确“;

••BF~CE~DE~

*：ZCDM=ZADE,ZCMD=ZAED=9O0,

••.△CDMSADE,

.CDCMDM

AD~AE~DE'

*：BM=CM,AE=CF,

.BMDM

•.=,

CFDE

・・・Cn故⑥正确。

B

9.如图所示，D是等边4ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB,AABC的周长是9,

则NE=。，CE=.

【解析】由AABC为等边三角形，且BD为边AC的中线,根据"三线合一"得到BD平分/ABC,而/ABC

为60。，得到/DBE为30。，又因为DE=DB,根据等边对等角得到/E与/DBE相等，故/E也为30。；

由等边三角形的三边相等且周长为9,求出AC的长为3,且NACB为60。，根据NACB为4DCE的外角，

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出/CDE也为30。，根据等角对等边得到CD=CE,

都等于边长AC的一半，从而求出CE的值

解：•••△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，

...BD为NABC的平分线,且NABC=60。，

即NDBE=30。,又DE=DB,

/.ZE=ZDBE=30°,

•••等边△ABC的周长为9,.♦.AC=3,且/ACB=60。，

.\ZCDE=ZACB-ZE=30°,§PZCDE=ZE,

.•.CD=CE=』AC=卫.

22

10.（2019黑龙江绥化）如图,在4ABC中,AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,则NA=度.

【答案】16

【解析】VBD=AD,SZA=ZABD=x,AZBDC=2x,VBD=BC,ZC=ZBDC=2x,VAB=AC,/.ZABC=ZC

=2x,/.x+2x+2x=180°,r.x=36".

三、解答题

11.（2020•绍兴）问题：如图，在△A3。中，BA=BD.在8。的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=

EC.若NBAE=90°,ZB=45°,求ND4C的度数.

答案：ZDAC=45°.

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“/8=45°”去掉，其余条件不变，那么ND4C的度数会改变吗？

说明理由.

（2）如果把以上“问题”中的条件“/B=45°”去掉，再将"NBAE=90°”改为“NBAE=n°”,其余

条件不变，求/D4C的度数.

【答案】见解析。

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到NAE£>=2NC,①求得NOAE=90°-ZZ?AD=90°-(45°+

ZC)=45°-NC,②由①，②即可得到结论；

(2)设NABC="?°,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】(1)ND4C的度数不会改变；

'：EA=EC,

.•./4EO=2NC,①

VZBAE=90°,

1

：.ZBAD=1[I8O°-(90°-2/C)]=45°+NC,

/.Z£)AE=90o-/8AC=90°-(45°+ZC)=45°-ZC,②

由①，②得，ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°；

(2)设乙4BC=M,

11

则N8AO=*(180°-in)=90°,ZAEB=180°-n-m°,

1

：.ZDAE=n°-ZBAD=n°-90°+豺。，

'：EA=EC,

：.ZCAE=^zAEB=90a-5〃°-加,

1il