2021届人教a版 平面向量单元测试 (一)

平面向量

一、单选题

1.已知平面向量占(26+1,3),庆=(2,机)，S.a//b,则实数用的值等于()

3332

A.2或—二C.一2或二B.-D.——

2227

【答案】B

【解析】

试题分析：因为则(2m+1)m—6=0,解得加=-2或g,故选B.

考点：平面向量平行的充要条件.

【题型点睛】平面向量平行主要考查两类题型：一是判断或证明两个向量平行；二是根

据两个向量的平行关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量平

行或垂直的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值.

2.已知点P在AABC内(不含边界)，且而=x荏+y^Zq,yeR),则旺■的取

x+2

值范围为()

A.(g,l)B.(；,1)C.(|-,1)D.

【答案】A

【解析】

0<x<1

试题分析：当P在A3上时，x+y=l,因此当P在AABC内部时，有<0<y<l,

0<x+y<l

由M(x,y)在如图所求AOPQ内部(不含边界)，其中。(l,0),Q(0,l),出•表示

x+2

“。,丁)与点%(—2,-1)连线的斜率，kpN=L,kQN=1,所以［<上以<1.故选A.

33x+2

考点：向量的线性运算，简单的线性规划问题的非线性应用.

【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算性质，向量共线的性质，如当P在A3上时，

x+y=l,从而得出当P在AABC内部时，满足的约束条件，其次作出可行域是

解题常用方法，的几何意义是解题的关键.

x+2

3.已知菱形ABCO边长为2,ZBAD=120°,点民户分别在边BC,£>C上，

BC=3BE,DC=2DF,则通.标=()

A.-2B.2C.1

【答案】C

【解析】

【分析】

结合已知条件，以而，而为基底表示出亚，/，再根据向量数量积的运算，求得

AEAF-

【详解】

33

AF^AD+DF=AD+-DC^AD+-AB,所以

22

AE-AF^[AB+-AD\-\AD+-AB\^-AB2+-AD2+-AB-AD^l.

I3A2J236

故选：c

【点睛】

本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积的运算，属于基础题.

4.已知AAZ?。是边长为"的正三角形，且

刀0=4而，俞=〃衣(九〃6R,4+4=1).设函数/(㈤=丽•丽，当函数/(㈤

的最大值为-2时，。=()

A.472B.C,4GD.—

33

【答案】D

【解析】

【分析】

用丽，福表示出丽，用再0,而表示出G0,然后表示出〃4)=丽・加，代

入2+〃=1,得到关于;L的函数，求出其最大值，令最大值等于-2,从而求出a的值.

【详解】

BN=AN-AB,CM=AM-AC,

因为AA8C是边长为。的正三角形，且砌=%而，AN=pAC

所以/(%)=的.而=(SV-AB).(AM-AC)

AM-AMAB-AN-AC+AB-AC

2c212

=_AUCT_A,Cl~-UCl~4--Cl~

22

又因;l+〃=l,代入4=1—%得

y(2)=1A(l-2)a2-2a2-(l-A)a2+^a2

-a2（-r+2-1）

2

所以当时，/（4）取得最大，最大值为了a2

所以一3/=一2,解得“=拽，舍去负根.

83

故选D项.

【点睛】

本题考查向量的计算和表示，以及向量数量积，二次函数求最值，有一定的综合性，属

于中档题.

.2..

5.在△ABC中，AB+ABBC<0,则aABC为

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知7五（数+丽=瓶•而'<0,所以NA是钝角，故4ABC为钝角

三角形

考点：向量、三角形形状的判定

6.设meR,向量汗=（1,-2）,b={m,m-2）,若£JL方，则心等于（）

22

A.一一B.-C.-4D.4

33

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.

【详解】

因为a=(l,—2),b=(m,m—2)>且aJ_B，

所以aZ=(1,—2)•(m,m-2)=???-2(/n-2)=0,

化为4—机=0,解得加=4,故选D.

【点睛】

利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：(1)两向量平行，利

用玉%一%2乂=0解答；(2)两向量垂直，利用工1々+M丁2=0解答.

7.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别是且6=2,"+c?-/=比，若

8。边上的中线AO=J7,则AA3C的外接圆面积为()

A.4兀B.7%C.12万D.16%

【答案】A

【解析】

【分析】

由余弦定理求出A，由荏+无e=2而平方后可求得A8即c,再由已知求得。，结

合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.

【详解】

Vb2+c2-a2=bc>；.cosA="十：,A=f.

2bc23

又。是3c中点，・'・"='(砺+/)，

2

,21.・01,2■.»2

AD=—(AB+AC)2=-(AB+2ABAC+AC),

44

即7=』(c2+2cx2xcose+22),解得c=4,

43

/.a2=b2+c2-2bccosA=22+42-2x2x4cos—=12，a=2>/3,

3

.2R=-^—=^-=4

・・sinAsin工，/<='，

13

S—7rR2=4乃.

故选：A.

【点睛】

本题考查余弦定理、正弦定理，考查向量的线性运算.解题关键是是利用向量线性运算

把血表示为g（A»+W《），平方后易求得c=4.

8.已知点。为A4BC外接圆的圆心，角A,B,。所对的边分别为“，。，且a=3,

若的•而=2,则当角。取到最大值时A4BC的面积为（）

A.75B.275C,而D.273

【答案】A

【解析】

【分析】

由意在可知方的•（心-丽）=的反-丽•丽，代入数量积的运算公式

求c=6,再根据正弦定理说明A=90。时，sinC也取得最大值sinC=好，最后求

3

面积.

【详解】

BOAC=Bd^BC-BAj=WBC-BdBA

=|fid|x|fic|xcosZOBC—|旃卜|丽卜cosNOBA

]_2」片#=2,

22

a=3，，c2=5nc=6

a_smA_3

旦A>C,

csinC5/5

当sinA=l时，A=90时，sinC也取得最大值sin。=好,

3

此时，h=—c2=2

S&ABc=；bc=；x2x期=布.

故选：A

【点睛】

本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力,

asinA3

本题的关键是根据正弦定理一=「;=-7二，且A>C,说明A=90°时，sinC也取

csinC

得最大值，后面的问题迎刃而解.

9.设两个单位向量Z,石的夹角为等，则|39+4司=()

A.1B.713C.737D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

由囚+4邛=9£2+24£0+16不，然后用数量积的定义，将Z工的模长和夹角代入即

可求解.

【详解】

I——12-2———22/r

|3a+4b|=9a+24a-b+\6b=9+24cos----1-16=13,

即13a+叫=V13.

故选：B

【点睛】

本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.

UULJ7ULWfV

10.如图，在ZUBC中，设A3=),AC=Z?,AP的中点为Q,8。的中点为R,CR

UUJtvv

的中点为P,若AP=ma+nb，则加+〃=()

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得々；AP+2QR及

3_______24_

-AP-QR^b,解方程可求得衣=-1+—5,即可得到m,n的值，所以得到结果.

277

【详解】

解：由题意可得通=2行,05=2保，

VAB=a=AQ+QB=^AP+2QR,①

__________________________i______3______

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+-AP-QR=-AP-QR=b,

②

一24-

由①②解方程求得AP=-a+-b.

77

h-UU»vv246

再由AP=ma+〃〃可得=于〃=亍,=亍.

【点睛】

本题考查向量的基底表示，向量共线，考查学生的运算能力，观察能力，属于中档题.

二、填空题

11.如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点0,E为线段A0的中点.若

BE=ABA+^BD（4〃sR）,贝！|/l+〃=.

【答案】|

【解析】

试题分析：曲=:（函+的）=；（而+/丽）=；丽+（而所以2,则

考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理；

12.已知向量M=（L—2）石=（一2,y）,且J//5,贝！|附+2同=,

【答案】V5

【解析】

因为y=-2x（-2）=4,Ri+2可=|（一1,2）|=6

13.已知向量屈=（也1）,比=（1,4）,若通.配>11，则加的取值范围为一.

【答案】（7,+8）

【解析】

【分析】

直接进行向量数量积的坐标运算列出不等式求解即可.

【详解】

ABBC=m+4>l1>解得m>7.

故答案为：（7,+8）

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.

14.在直角&中，ZC=90*»44=30"，5c=1，。为斜边加的中点，则

ABCD=一•

【答案】-1

【解析】

通标=（显西.妒+而）=妒2_引="—㈣2卜_]

15.已知向量1=（2,-1）,b=（l,k）,若£“2£+可，则％=.

【答案】12

【解析】

【分析】

先求出2a+5的坐标，再根据£“2£+B）,即可求得人值.

【详解】

a=（2,—1）,2a=（4,—2）,2a+Z?=（5,-2+Z）,

,:a_L（2a+0）,a.（2a+b）=10-（-2+左）=0,解得k=12,

故答案为：12.

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握

水平,属于基础题若向量4=（4X）与向量6=（*2,M）垂直，则百巧

16.向量£=（-4,5）,S=（2,l）,若仅叫〃则a的值是.

4

【答案】一］

【解析】

【分析】

先算出的坐标，然后由（£一可〃行建立方程求解即可.

【详解】

因为Z=（T,5）,^=（2,1）,

所以£-B=（Y-/l,4）,

因为（£一可〃石，所以4%=T—；l,解得/l=—1

4

故答案为：一飞

【点睛】

若。=(百,%)石=(孙必)，。〃3，则王必=wx

三、解答题

17.已知向量£=(cosx,sinM,b=(-cosx,COSJO>"=(-1,0).

<D若求向量£工的夹角；

a

(2)当丫吟曾时，求函数/(力=2小+1的值域.

【答案】⑴言(2)L-X/5,1]

【解析】

【分析】

【详解】

(1)试题分析：根据公式cos〈a,c〉；~=代入数值计算(2)先化简f(x)=2a-b+\=

\a\-\c\

岳inRT，然后求出2r-患季加,再根据函数图形便可得到当益->当,

即X=；时，於)max=l当您―/夸，即X=与时，加)min=-近

试题解析：

解：(1)*/a=(cosx,siav),"=(—1,0),

•Aal=\/o(MAt+aiflAt=1,lcl=J-12+(P=L

当v时,)=(鹏啕=停9

7"=率x(—l)+；x0=一率，cos〈2,2〉

222k|-|c|

=一更

2

♦(chc)9，；・〈a,c>=.

a

(2)7U)=2£.坂+1=2(—cos2x+sinxcosx)+1

=2sinxcosx—(2cos2x—l)=sin2x—cos2x

二尽11L用

,•、喉曾沁辛降£

故siGT/f羽,

.,.当次--即尸；时，段)mx=l

当2%一［=手，即%=1时,J(x)min=-近

.♦.f(x)的值域为［-也，1］

点睛：首先要熟悉向量的坐标积运算，夹角公式：cosQ,C〉=蠲，然后根据二倍

角公式，辅助角公式将函数化简求出〃一£范围，根据正弦函数的图形便可轻松求出问

题

18.已知方=(1,2),5=(-3,1).

(1)求万一25;

⑵设万石的夹角为仇求cose的值；

(3)若向量M+序与场互相垂直，求k的值.

【答案】(Z)(7,0)；(2)—叵;(3)土立

502

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：

⑴利用平面向量的坐标运算可得=(7,0)；

(2)利用平面向量的夹角公式可得cos。=-变；

10

历

(3)利用平面向量垂直的关系得到关于实数k的方程，解方程可得k=±—.

2

试题解析：

解:(I)S-2h=d.2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0)；

na-b_lx(-3)+2xl

⑵。。电丽飞+同行

_a.

,

10

(3)因为向量M+序与汗—防互相垂直，所以(a+kb)(a-kb)=0

即a2-k2b2=0

因为〃2=5,b2=10>所以5-10无2=0=±=±---

2

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积

的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应

用.

19.已知，平面上三个向量工11的模均为1,它们之间的夹角均为120。，

求：⑴证明

<2)|总+1+]|>1>(比6局,求k的取值范围.

【答案】比<0或fc>2

【解析】

解：(1)证明：

<ajb>=<b»c>=<cta>=120°

.•.a-e^ap|ebcosl2O0=~

i-c^A|-|c|-cosl20°«—

星

——一——f一

j.(a-l>)'C=a-c-b-c=Q

:.(a-b)JLc

⑵•.]说+:+:|>I

二而+3+»”即k-景>0

20.已知向量£,看不共线，t为实数.

(1)若砺=2OB=tb，OC^^a+b),当f为何值时，A,B,C三点共线：

⑵若同一网=1,且]与五的夹角为120。，实数xe,求忖一词的取值范

围.

【答案】(1)；(2)[y-，y-]

【解析】

试题分析：(1)因为A,8,C三点共线，则存在实数丸，使得反=4砺+(1-4)砺，

由此得到关于4f的方程，解方程即可得到答案.

(2)求出万与5的数列积，然后将所求平方，转为为万与坂的模和数量积的运算，利

用二次函数即可求出其取值范围.

试题解析：（I）A3,C三点共线，则存在实数；I,使得反=4次+（1-几）砺,

111

即一（2+匕）=然+（1—；I）仍,则义=±,r=±

332

（II）由。=|a|-|/?|-cosl200=--^,则|访产=万?炉-2xa-h=x?+x+l,

因为xejl』，当片」时，卜一词的最小值为走

22112

当彳=!时，忖一词的最大值为立

2112

所以忖-词的取值范围是

考