数列与差分完整版本

新课程中的现代数学

--数列与差分主讲：胡鹏彦深圳大学数学与计算科学学院新课程中的现代数学(数列与差分)§1数列的差分

§2一阶线性差分方程

§3一阶线性差分方程组

§4差分方程和差分方程组的应用一.数列的概念二.数列差分的概念三.差分表的性质§1数列的差分一.数列的概念一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集.这些数称为数列的项或元素.用an来表示数列的第n项,称之为数列的通项.§1数列的差分定义1.1

一个数列是一个函数,其定义域为全体正整数(有时,为方便计,是全体非负整数集合),其值域包含在全体实数集中.数列的表示:1.列举法:§1数列的差分数列的表示:2.通项法:§1数列的差分数列的表示:§1数列的差分3.图象法:序列的项通过标出点(n,an)图示.直观,具有可视化的效果.4.描述法:数列的一些例子1.假如你开了一个10000元的银行帐户,银行每月付给2%的利息.假如你既不加进存款也不取钱,那么每个月后的存款余额就构成一个数列.§1数列的差分§1数列的差分2.兔子出生以后两个月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄).假如养了初生的小兔一对,则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死)斐波那契(Fibonacci意大利约1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,21,34,…二.数列差分的概念数列相邻项的差,称为数列的差分.§1数列的差分定义1.2

对任何数列A

{a1,a2,

},其差分算子

(读作delta)定义如下:

a1

a2

a1,

a2

a3

a2,

a3

a4

a3,,一般地,对任何n有

an

an1

an,应用这个算子

,从原来的数列A构成一个新的数列

A,从数列

A可得到数列

2A{

2an},这里

2an

(

an)

an1

an

an2

an1

an1

an

an2

2an1

an,称之为数列A的二阶差分,二阶差分2an的差分

3an称为三阶差分,二阶及二阶以上的差分称为高阶差分,而称an为一阶差分.§1数列的差分差分的物理和几何意义:在物理方面,一阶差分表示物体运动的平均速度,二阶差分表示平均加速度.在几何方面,一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率.§1数列的差分例.外出汽车旅行,每小时记录下里程表的读数.设A

{an}

{22322,22352,22401,22456,22479,22511},

A

{

an}

{30,49,55,23,32},例.假设我们有数列{an}

{3n5},并考虑由表给出的关于n

1,2,3,

的数列.我们按函数值列表,并考虑相邻项的差.§1数列的差分3333333-21471013161912345678n§1数列的差分定理1.1

若c和b为常数且对所有n

1,2,3,

有an

cn

b,则:1.对所有n,数列{an}的差分为常数;2.当画an关于n的图形时,这些点都落在一条直线上.§1数列的差分定理1.2

若

an

c,其中c是一个与n无关的常数,则有一个an的线性函数(即存在常数b使

an

cn

b).§1数列的差分例.对二次多项式数列,当时造差分表.n12345633591523024682222定理1.3

若数列{an}由一个二次多项式定义,则该数列具有性质:其二阶差分为常数,

2an

c.§1数列的差分定理1.4

若数列{an}具有性质:对一切n有2an

c,c为一个常数,则该数列的项遵从二次变化模式,而且表达其通项的公式是一个二次多项式.注:一般地,由k次多项式定义的数列的k

1阶差分为零,反之,若数列{an}的k

1阶差分为零,则存在一个生成该数列的k次多项式.例

考虑数列{an}{1,3,6,10,15,21,

},则有{

an}{2,3,4,5,6,

}以及{

2an}{1,1,1,1,1,

}.令an

An2

Bn

C,§1数列的差分例

求数列{an}{n2}{12,22,32,42,52,62,

}前n项和Sn,即n个正整数平方和.由于{Sn}{(n1)2}{22,32,42,52,

},{

2Sn}{2n3}{5,7,9,11,

}以及{

3Sn}{2,2,2,2,

}令Sn

An3

Bn2

Cn

D.§1数列的差分由S11,S25,S314,S430得

A

B

C

D1,8A

4B

2C

D5(23A

22

B

2C

D5),

27A

9B

3C

D14(33A

32B

3C

D14),64A

16B4C

D30(43A

42B4C

D30),§1数列的差分解关于A,B,C和D的方程组可得

A1/3,B1/2,C1/6,D0,则三.差分表的性质和应用§1数列的差分定义1.3

数列A

{an}在第k项处是增的,若ak

ak

1(或用算子记号,

ak

0).数列A在第k项处是减的,若ak

ak

1(或

ak

0).数列A在第k项处达到相对极大,若ak

ak

1而ak

ak1(或用算子记号,

ak1

0而

ak

0).数列A在第k项处达到相对极小,若ak

ak

1而ak

ak1(或

ak1

0而

ak

0).§1数列的差分数列A在第k项处上凹,若

ak

ak1(或用二阶差分的算子记号,

2ak10).数列A在第k项处下凹,若

ak

ak1(或

2ak1

0).注意:在k1处的二阶差分决定了k项处的凹性.决定凹性的另一种看法是:当一阶差分增加时数列上凹,而当一阶差分减小时数列下凹.定义1.4

数列A在第k项处有一个拐点,倘若

2ak和

2ak1有不同的正负号.§1数列的差分§1数列的差分例讨论数列

{n24n3}的性质构造an

n2

4n3的前7个数列值的差分表,并用该表确定数列在何处增加、减少,达到相对极大或极小,上凹、下凹以及是否有拐点.n10

122

1123032435258726159724§1数列的差分一.差分方程的基本概念二.齐次线性差分方程的解析解§2一阶线性差分方程一.差分方程的基本概念§2一阶线性差分方程定义2.1

差分方程是一种方程,该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来计算.初始条件是该数列的第一项.出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分方程的阶.§2一阶线性差分方程定义2.2

如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积,不包含数列变量的幂,也不包含数列变量的诸如指数,对数或三角函数在内的函数,那么我们称该差分方程是线性的.否则差分方程就是非线性的.注意这种限制只适用于包含数列变量的项,而不能用于不包含数列变量的其它项.线性的非线性的§2一阶线性差分方程定义2.3

线性差分方程称为齐次的,如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项,就得到一个齐次方程,称之为与原方程相应的齐次方程.齐次的§2一阶线性差分方程对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质.能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分,大多数差分方程是不能给出解析解的,此时,只能对其解的性质给出一定的讨论,讨论解的性质(解的变化趋势,是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法:一是数值计算方法,二是定性或定性定量结合的方法.§2一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式:数值,图形,公式定义2.4

数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.§2一阶线性差分方程例如,在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程an

1

an0.07an来确定,其中an表示n个月后银行中的存款数.月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.000

74.900021144.900

80.143031225.043

85.753041310.796

91.755751402.552

98.178661500.730

105.0510716.5.781

112.405081718.186

120.273091838.459

128.6920101967.151137.7010§2一阶线性差分方程定义2.5

差分方程的一个解析解是一个函数,当把它代入差分方程时就得到一个恒等式,而且还满足任何给定的初始条件.差分方程an

1

an0.07an若把函数ak

(0.07)kc,其中c为任意常数,代入差分方程就得到一个恒等式:§2一阶线性差分方程定义2.6

差分方程的一个通解是一个函数,当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak

(0.07)kc称为差分方程an

1

an0.07an的通解,因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.§2一阶线性差分方程数值解与解析解的比较:在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值.这是数值解的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质.只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了.另一方面,因为没有第k项的一个一般的公式,每一项必须从前一项或几项算得.从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.§2一阶线性差分方程解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数.解析解的另一个优点是,当我们求得一个解析解时,通常也同时得到了通解.相比之下,用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.二.齐次线性差分方程的解析解§2一阶线性差分方程定理2.1

一阶线性差分方程an

1

ran

b的解为an

bn

c,若r1.若r1.§3(二元)一阶线性差分方程组由两个或多于两个的差分方程构成的方程组称为差分方程组.在差分方程组中,单个差分方程的阶数的最大数称为差分方程组的阶数.§4差分方程和差分方程组的应用差分方程模型是实际应用中常见的一种数学模型.用差分方程模型解决实际问题如同别的数学模型一样,大致需经过三个步骤.第一步:设定好实际问题中的未知函数,按照已知的相关领域中的物理,力学,化学,生物,经济等学科的规律用于建立相邻的自变量值(一般就是相邻时间)的未知函数取值间的依赖关系,建立差分方程模型.§4差分方程和差分方程组的应用第二步:对上述建立的差分方程模型,若能直接求解的则求出其解,若不能直接求解的或直接求解比较困难的,则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质.第三步:将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照,然后给实际问题一个满意的答复.例4.1

建立并讨论经济学中的蛛网模型.在分析市场经济中农产品的价格和产量之间的关系中常常要用到如下的规律:本期产量(或市场供给量)决定本期价格,而本期价格决定下期产量.为了建立相关的数学模型,可以假设P表示价格,Q表示产量,D表示需求函数,S表示供给函数,时间n表示第n期.那么Pn表示第n期的价格,Qn表示第n期的产量.把上述所说的规律用数学式子写出来,即为§4差分方程和差分方程组的应用将上述两式合并,得(4.1)式就是关于Pn为未知函数的差分方程.下面给出简单情形下的差分方程(4.1).把市场经济中的市场供给量、价格、市场需求量之间的规律归结为下面的三条:§4差分方程和差分方程组的应用§4差分方程和差分方程组的应用1.市场供给量对价格变动的反应是滞后的,即而这种相依关系简单地取为

第n期的供给量取决于第n

1期的价格Pn1,即相依关系是线性的正比例关系,而价格不能太小,至少

从而§4差分方程和差分方程组的应用2.市场需求量对价格变动的反应是瞬时的,即类似地这种相依关系简单地取为即相依关系是线性的,价格Pn减少,市场需求量增加,价格不能太高,至少从而第n期的市场需求量取决于本期的价格Pn,§4差分方程和差分方程组的应用3.市场平衡条件为市场清销,供需相等,即把(4.2)式和(4.3)式代入(4.4)式得方程(4.5)就是该问题的差分方程模型,它是一个一阶常系数线性差分方程.§4差分方程和差分方程组的应用易知方程(4.5)对应的齐次方程的通解为方程(4.5)的特解为因此方程(4.5)的通解为其中A是任意常数.§4差分方程和差分方程组的应用用求得

则§4差分方程和差分方程组的应用用(4.6)来讨论方程(4.5)的解的性质:情形1.当b

d,若t,则Pn收敛于P

,这时称

P

为均衡价格;情形2.当b

d时,P0,P1,P2,

,

Pn,

在均衡价格P

,两旁作周期振荡;情形3.当b

d时,若t,则Pn越来越远离均衡价格发散振荡.§4差分方程和差分方程组的应用例4.2

考虑在有两个城市A和B的岛上营业的一家小的汽车出租公司.该公司只有两个营业部,一个在城市A,另一个在城市B.每天

A城的营业部中可出租汽车的10%由顾客用开到B城.每天还有B城营业部中可出租汽车的12%开到了A城.如果以an表示第n天A城的可出租的汽车数,bn表示第n天B城的可出租的汽车数,那么下列包含两个方程的方程组可用来对此情景进行建模:这是一个一阶线性差分方程组.§4差分方程和差分方程组的应用令a0

120,而b0

150,我们迭代方程(4.7)和(4.8)求将来n天中两个城市的营业部中的汽车数.由(4.7)算得由(4.8)算得§4差分方程和差分方程组的应用a2

130.68,b2

139.22,a7

142,b7

128,a14

146,b14

126,a30

147,b30

123,二阶线性差分方程二阶线性差分方程对应的齐次方程为将tn代入(2),得t满足下列一元二次方程:情形1.a2

4b0.此时方程(3)有两个实根t1,t2.而方程(2)的通解为其中C1和C2是任意常数.二阶线性差分方程情形2.a2

4b0.此时方程(3)仅有一个实根t1.而方程(2)的通解为其中A和B是任意常数.二阶线性差分方程改写为方程(2)的通解为其中A和B是任意常数.情形3.a2

4b0.此时方程(3)有一对共轭复根二阶线性差分方程求(1)的一个特解,设a

C,将其代入方程(1)得二阶线性差分方程求斐波那契数列的一般项.比内公式设第n个月有兔子an对,则这是一个二阶齐次差分方程.求解代数方程得两个实根则得其中A和B是任意常数.二阶线性差分方程等比数列的前n项和.设数列{an}为以r(r1)为公比的等比