2024高考数学一轮复习指点迷津二求曲线轨迹方程的方法学案文含解析新人教A版

求曲线轨迹方程的方法指引迷津(二)求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满意两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)干脆法:干脆将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,推断曲线类型,再由曲线的定义干脆写出曲线方程.(3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即x0=f(x,y),y(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系x=f(t(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、干脆法求轨迹方程【例1】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定点P(1,1).(1)求△ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,2),AB的中点坐标为12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-22,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-2=-22x,AB由y得x所以△ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MN⊥MP,得NM·PM所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为x-方法总结干脆法求轨迹的方法和留意问题(1)若曲线上的动点满意的条件是一些几何量的等量关系,则可用干脆法,其一般步骤是:设点→列式→化简→检验.求动点的轨迹方程时要留意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满意条件m=n的点M的轨迹Q的方程.解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则依据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,假如不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满意下列条件的动点P的轨迹方程.(1)△PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图所示,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E:y2=2x.设Cy122,y1,Dy222,y2,y1≠0,y2≠0,切线l1的斜率为k,则切线l1:得ky2-2y+2y1-ky12=0,由Δ=0,解得k=所以l1的方程为y=1y1x+同理l2的方程为y=1y2x+联立y=1易知CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满意x02+y02=8,由y2=2x,x0x+y0y=8,则y1+可得M(x,y)满意x代入x02+y02=8,因为x0∈[2,22],所以x∈[-4,-22].所以动点M的轨迹方程为x28-y2=1,x∈[-4,-22方法总结对点训练3如图,已知P是椭圆x24+y2=1上一点,PM⊥x轴于点M.若PN=λ(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.四、参数法求轨迹方程【例4】点A和点B是抛物线y2=4px(p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求点M的轨迹方程.解当AB所在直线的斜率不存在时,M为肯定点,坐标为(4p,0).当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k≠0),由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(2p-kb)k2所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pb由OA⊥OB,知x1x2+y1y2=0,则b=-4pk.①设点M(x,y),由OM⊥AB,知yx·k=-1,y≠则k=-xy.②由①②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).又点(4p,0)的坐标满意x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参—求参—消参.留意消参后曲线的范围是否发生改变.对点训练4在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2),若点C满意OC=OA+t(OB-OA),其中t∈R,则点C五、交轨法求轨迹方程【例5】(2024东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满意NB1⊥MB1,(1)求动点N的轨迹方程;(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.解(1)(方法1)设点N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kM因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3直线NB2:y-3=-x0y0-①×②得y2-9=x02y又x02所以y2-9=181-y029y所以动点N的轨迹方程为y29+x29(方法2)设点N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kM因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3直线NB2:y-3=-x0y0-联立①②,解得x又x0218+y0故x0=-2x,y0=所以动点N的轨迹方程为y29+x29(方法3)设直线MB1:y=kx-3(k≠0),则直线NB1:y=-1kx-3.①直线MB1与椭圆C:x218+y29=则直线MB2的斜率为kMB2所以直线NB2:y=2kx+3.②由①②得点N的轨迹方程为y29+x29(2)由(1)(方法3)得直线NB1:y=-1kx-3,①直线NB2:y=2kx+3.②联立①②,解得x=-6k2k2+1,又xm=12k2k2+1,故四边形MB2NB1的面积S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=3×12|k|2方法总结交轨法一般依据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,留意通过几何意义确定曲线的范围.对点训练5(2024河北唐山一模,文20)已知P是x轴上的动点(异于原点O),点Q在圆O:x2+y2=4上,且|PQ|=2.设线段PQ的中点为M.(1)当直线PQ与圆O相切于点Q,且点Q在第一象限时,求直线OM的斜率;(2)当点P移动时,求点M的轨迹方程.指引迷津(二)求曲线轨迹方程的方法对点训练1解(1)由|MP|=5|MQ|,得(=5(x化简得x2+y2-2x-2y-23=0,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长度为2×52-所以l:x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到l的距离d=|3由题意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512,所以直线l的方程为512x-y+236综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.对点训练2解(1)依据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故点P轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=5.又点P不在x轴上,因此所求轨迹方程为x29+y25(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=152,因此所求轨迹方程为4x2-415y2=(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此所求轨迹方程为y2=-8x.对点训练3解(1)设点P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以PN=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),NM=(x1-x,-y)=(0,-y),由PN=λNM得(0,y-y1)=λ(0,-y).所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.因为点P(x1,y1)在椭圆x24+y2=1上,所以x124+y12=1,所以x24+(1+λ)2y2=1,故x24+(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=14,解得λ=-12或λ=-32.故当λ=-12或λ=-32对点训练4y=2x-2设点C(x,y),则OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+