2024-2025学年高中数学第2章数列2.2.2等差数列的性质作业含解析新人教A版必修5

PAGE课时分层作业(十)等差数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A.5B．6C．8A[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5∴a5＝5.]2．数列{an}满意3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是()A.－2B．－eq\f(1,2)C．2 D．eq\f(1,2)C[∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A.5B．8C．10D．14B[由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.]4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A.8B．4C．6D．12A[因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.5．下列说法中正确的是()A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2C[因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]二、填空题6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为．－21[设这三个数为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝59.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1.∴它们的积为－21.]7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为．1或2[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]8．在通常状况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．假如1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，则2km，4km，8km高度的气温分别为2℃－11℃－37℃[用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－三、解答题9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6[解]∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a又∵a2a4a6＝45，∴a2即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.10．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从其次年起由于市场竞争方面的缘由，其利润每年比上一年削减20万元，依据这一规律，假如公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，∴每年的利润构成一个等差数列{an},从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．∴由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．已知等差数列{an}满意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A.a1＋a101>0 B．a2＋a101<0C.a3＋a99＝0 D．a51＝51C[依据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为()A.14B．15C．16D．17C[设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.]3．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是________．n2＋n[视察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第(n＋1)列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.]4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为升．eq\f(67,66)[设自上而下各节的容积构成的等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，,a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))故a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66).]5．两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？[解]设已知的两数列的全部相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，又等差数列5，8，11，…的通项公式为