2024-2025学年新教材高中数学第六章立体几何初步6.3.1空间图形基本位置关系的认识6.3.2刻画空间点线面位置关系的公理一课时作业含解析北师大版必修第二册

PAGE课时分层作业(四十二)空间图形基本位置关系的相识刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是()ABCDD[A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全根据实、虚线的画法作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确．]2．如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈nA[α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，留意符号语言的正确运用，故选A．]3．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中随意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面冲突，故其中随意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③明显不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]4．下列图形中不肯定是平面图形的是()A．三角形 B．菱形C．梯形 D．四边相等的四边形D[四边相等的四边形可能四边不共面．]5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()ABCDD[在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D．]二、填空题6．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．1或4[其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．]7.假如在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线相互平行，那么两个平面的位置关系是________．平行或相交[如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，C1D1⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面8.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确的个数是________．0[命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内．所以正确命题的个数为0.]三、解答题9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证O，C，D三点共线．[证明]∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD．∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．10．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．[证明]因为γ∩α＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.因为直线a和b不平行，所以a，b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α.又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c过点P.所以a，b，c三条直线必过同一点．11.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个 B．1个或4个C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个C[若三点在同始终线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点和已知直线共面时可确定3个平面；若三点中没有两点与直线共面时，这样最多确定4个平面．]12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是()A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形C[在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1.如图，延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则过正方体点M，N，C1的截面图形是五边形．故选C．]13．(1)空间随意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．(1)4(2)7[(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．]14．假如一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．36[正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．]15．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面．[证明](1)无三线共点状况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，∵a∩d＝M，∴a，d可以确定一个平面α，∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQ⊂α，即b⊂α，同理c⊂α，∴a，b，c，d共面