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文档简介
2024届山东省夏津县第一中学高考压轴数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.2.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.23.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积()A. B. C. D.4.将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,如果在区间上单调递减,那么实数的最大值为()A. B. C. D.5.在中,“”是“为钝角三角形”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数图像可能是()A. B. C. D.7.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A. B.C. D.8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺9.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.10.已知是虚数单位,则复数()A. B. C.2 D.11.已知为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,的充分条件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.12.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.14.若展开式的二项式系数之和为64,则展开式各项系数和为__________.15.已知函数,则曲线在点处的切线方程是_______.16.在中,若,则的范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.18.(12分)已知函数和的图象关于原点对称,且.(1)解关于的不等式;(2)如果对,不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数,直线是曲线在处的切线.(1)求证:无论实数取何值,直线恒过定点,并求出该定点的坐标;(2)若直线经过点,试判断函数的零点个数并证明.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点,是上的点.(1)若平面,证明:平面.(2)求二面角的余弦值.21.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;(ii)若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;(iii)若有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,且各手工艺品质量是否过关相互独立.(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D级不能外销,利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件;②记1件手工艺品的利润为X元,求X的分布列与期望.22.(10分)在直角坐标系x0y中,把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点M在上,点N在上,求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.2、A【解析】
分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴数列是以3为周期的周期数列,
,
,
故选:A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.3、C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.【详解】解:几何体的直观图如图,是正方体的一部分,P−ABC,正方体的棱长为2,
该几何体的表面积:.故选C.【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.4、B【解析】
根据条件先求出的解析式,结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,则,设,则当时,,,即,要使在区间上单调递减,则得,得,即实数的最大值为,故选:B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换,考查根据三角函数的单调性求参数,属于中档题.5、C【解析】分析:从两个方向去判断,先看能推出三角形的形状是锐角三角形,而非钝角三角形,从而得到充分性不成立,再看当三角形是钝角三角形时,也推不出成立,从而必要性也不满足,从而选出正确的结果.详解:由题意可得,在中,因为,所以,因为,所以,,结合三角形内角的条件,故A,B同为锐角,因为,所以,即,所以,因此,所以是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满足,反之,若是钝角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件,故选D.点睛:该题考查的是有关充分必要条件的判断问题,在解题的过程中,需要用到不等式的等价转化,余弦的和角公式,诱导公式等,需要明确对应此类问题的解题步骤,以及三角形形状对应的特征.6、D【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C,当时,可分析函数值为正,即可判断选项.【详解】,,即函数为偶函数,故排除选项A,C,当正数越来越小,趋近于0时,,所以函数,故排除选项B,故选:D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,识别函数的图象,属于中档题.7、D【解析】
利用是偶函数化简,结合在区间上的单调性,比较出三者的大小关系.【详解】是偶函数,,而,因为在上递减,,即.故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小,属于基础题.8、A【解析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:
沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,
则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算,其中正确还原几何体,利用方格数据分割与计算是解题的关键.9、A【解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.10、A【解析】
根据复数的基本运算求解即可.【详解】.故选:A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.11、D【解析】
根据面面垂直的判定定理,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A,当,,时,则平面与平面可能相交,,,故不能作为的充分条件,故A错误;对于B,当,,时,则,故不能作为的充分条件,故B错误;对于C,当,,时,则平面与平面相交,,,故不能作为的充分条件,故C错误;对于D,当,,,则一定能得到,故D正确.故选:D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题,属于基础题.12、D【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
注意平移是针对自变量x,所以,再利用整体换元法求值域(最值)即可.【详解】由已知,,,又,故,,所以的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题,涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用,是一道基础题.14、1【解析】
由题意得展开式的二项式系数之和求出的值,然后再计算展开式各项系数的和.【详解】由题意展开式的二项式系数之和为,即,故,令,则展开式各项系数的和为.故答案为:【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题,需要运用定义加以区分,并能够运用公式和赋值法求解结果,需要掌握解题方法.15、【解析】
求导,x=0代入求k,点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程,求导法则及运算,考查直线方程,考查计算能力,是基础题16、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由,借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.【详解】,所以,.因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)最大值;最小值.【解析】
(1)结合极坐标和直角坐标的互化公式可得;(2)利用参数方程,求解点到直线的距离公式,结合三角函数知识求解最值.【详解】解:(1)因为,代入,可得直线的直角坐标方程为.(2)曲线上的点到直线的距离,其中,.故曲线上的点到直线距离的最大值,曲线上的点到直线的距离的最小值.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题,椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法,侧重考查数学运算的核心素养.18、(1)(2)【解析】试题分析:(1)由函数和的图象关于原点对称可得的表达式,再去掉绝对值即可解不等式;(2)对,不等式成立等价于,去绝对值得不等式组,即可求得实数的取值范围.试题解析:(1)∵函数和的图象关于原点对称,∴,∴原不等式可化为,即或,解得不等式的解集为;(2)不等式可化为:,即,即,则只需,解得,的取值范围是.19、(1)见解析,(2)函数存在唯一零点.【解析】
(1)首先求出导函数,利用导数的几何意义求出处的切线斜率,利用点斜式即可求出切线方程,根据方程即可求出定点.(2)由(1)求出函数,令方程可转化为记,利用导数判断函数在上单调递增,根据,由零点存在性定理即可求出零点个数.【详解】所以直线方程为即,恒过点将代入直线方程,得考虑方程即,等价于记,则于是函数在上单调递增,又所以函数在区间上存在唯一零点,即函数存在唯一零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,属于难题.20、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)因为,利用线面平行的判定定理可证出平面,利用点线面的位置关系,得出和,由于底面,利用线面垂直的性质,得出,且,最后结合线面垂直的判定定理得出平面,即可证出平面.(2)由(1)可知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,标出点坐标,运用空间向量坐标运算求出所需向量,分别求出平面和平面的法向量,最后利用空间二面角公式,即可求出的余弦值.【详解】(1)证明:因为,平面,平面,所以平面,因为平面,平面,所以可设平面平面,又因为平面,所以.因为平面,平面,所以,从而得.因为底面,所以.因为,所以.因为,所以平面.综上,平面.(2)解:由(1)可得,,两两垂直,以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以,则,,,,所以,,,.设是平面的法向量,由取取,得.设是平面的法向量,由得取,得,所以,即的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算,
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