专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组 考点清单（解析版）

清单02：一元一次不等式与一元一次不等式组【考点题型一】不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．【例1】（22-23八年级下·广东深圳·期中）下列关于不等式的命题正确的是（

）A．如果，，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质：传递性、性质：同时加上或减去同一个数，不等式的符号不变；同时乘上或除以不等于0的正数，不等式的符号不变；同时乘上或除以不等于0的负数，不等式的符号改变，据此逐项分析，即可作答．【详解】解：A、如果，，那么的大小关系不确定，该选项是错误的；B、如果，且，那么，故该选项是错误的；C、如果，且，那么，故该选项是错误的；D、如果，那么，故该选项是正确的；故选：D【变式1-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等式改变方向得到，进而得到，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，根据现有条件无法判断的符号，∴四个选项中只有A选项符合题意，故选：A．【变式1-2】（22-23八年级下·山东聊城·期中）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，由数轴可得，再根据不等式的性质逐项判断即可，熟练掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，是解此题的关键．【详解】解：由数轴可得，A．，故原选项不成立，符合题意；B．，故原选项成立，不符合题意；C.，故原选项成立，不符合题意；D．，故原选项成立，不符合题意；故选：A．【变式1-3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个代数式不等号的方向不变，不等式的性质2：不等式的两边都乘以或除以正数，不等号的方向不变，不等式的性质3：等式的两边都乘以或除以负数，不等号的方向改变，是正确判断的关键．根据不等式的性质逐项进行判断即可；【详解】A．∵，因此选项A不符合题意；B．∵，因此选项B符合题意；，因此选项C不符合题意；当时，，当，时，，因此选项D不符合题意．故选：B．【变式1-4】（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断，即可得到答案．【详解】解：A、由不等式的性质可知，或，即原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误；B、由不等式的性质可知，，，即原不等式不成立，不符合题意，选项错误；C、由不等式的性质可知，当时，；当时，；当时，；即即原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误；D、，由不等式的性质可知，，原不等式一定成立，符合题意，选项正确；故选：D．【考点题型二】一元一次不等式1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0)，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法1.一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．2.解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．【例2】（21-22八年级下·山东聊城·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判断即可得．【详解】解：A、x2+3x＞1中x2的次数为2，不是一元一次不等式；B、含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式；C、是一元一次不等式；D、中是分式，不是一元一次不等式；故选：C．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【变式2-1】（22-23八年级下·陕西西安·期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【详解】解：，移项及合并同类项，得：，系数化为1，得：，其解集在数轴上表示如下所示，

，故选：B．【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变式2-2】（22-23八年级上·广西桂林·期中）若正整数a满足关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有正整数a的和为（

）A．6 B．10 C．15 D．12【答案】D【分析】根据解分式方程的一般步骤得出，再由解为非负数，得出，然后确定a的取值，求和即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，系数化为1得：，∵分式方程的解为非负数，∴，∴，∴a的值为，∵分式方程中，即，∴，∴a的值为其和为：，故选：D．【点睛】题目主要考查解分式方程的一般步骤及不等式的应用，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题关键．【变式2-3】（23-24八年级上·山东东营·期中）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．且【答案】C【详解】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．解分式方程，得到含有得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可．【分析】解：，方程两边同时乘以得：，解得：，，即，解得：，又方程的解是负数，，解不等式得：，综上可知：且，故选：C．【变式2-4】（23-24八年级上·福建福州·期中）已知实数a，b满足，且，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用完全平方公式求出ab的取值范围，再将变形为即可解答．【详解】解：∵∴，∴，∵，∴，即．故选：C．【点睛】本题主要考查配方法的应用、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式解决问题是解题的关键．【考点题型三】一元一次不等式组1．一元一次不等式组及其解集含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．2．一元一次不等式组的解法由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组（其中a＞b）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集）（大大、小小找不到）【例3】（22-23八年级下·广东深圳·期中）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．【详解】解：解不等式组；∴不等式组的解集为．即故选：A．【变式3-1】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出的取值范围．根据不等式组有且只有5个整数解可以是，即可得到，解得，由关于的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可．【详解】由，得，由，得，∵关于的不等式组有且只有5个整数解，∴这5个整数解是，∴，解得，由方程，可得，∵方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为整数，∴且为整数，∴满足条件的整数的值为，∴符合条件的所有整数的和为3，故选：B．【变式3-2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）关于的不等式组的解集为，则的值为（

）A． B．3 C． D．1【答案】A【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案．【详解】解：，由①得：，由②得：，∵关于x的不等式组的解集为，∴，，解得：，则，故选：A．【变式3-3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集．首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有5个，即可得到一个关于a的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵关于的不等式组的整数解共有5个，即3，2，1，0，，∴，即．故选：C．【变式3-4】.（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（

）A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7【答案】D【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题．【详解】解不等式组，得，不等式组无解，，，分式方程，方程的两边同时乘，得，，整理得，，，方程有整数解，或或或，或或或或或或或，，，，或或，故选：D．【考点题型四】一元一次不等式（组）的实际应用列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．【例4】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．设售价可以按标价打x折，根据“每件衣服的利润不低于”即可列出不等式．【详解】按标价打折出售，根据题意，得．故选：B．【变式4-1】（22-23八年级下·山西运城·期中）某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降．现测得山脚下的气温为，问该植物种在山上的哪一部分为宜？如果设该植物种植在海拔高度为x米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】每升高100米，气温下降，那么每升高1米，气温下降；海拔为米，则升高了米，气温就在的基础上下降了，结合温度适宜的范围是即可解答．【详解】解：根据题意，得．故选：A．【点睛】本题考查了解不等式组的应用，解题的关键在于逐步分析题意，能够正确书写连不等式．【变式4-2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：载客量（人/辆）5035租金（元/辆）450300设租用型车辆，(1)请用代数式表示出总租金是多少(2)保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？【答案】(1)元(2)花费最少的方案一租用了辆型车【分析】本题考查不等式组解应用题，涉及列代数式、解一元一次方程组等，设租用型车辆，则租用种车辆辆，按照题意列代数式，列不等式组求解即可得到答案，读懂题意，按要求列式是解决问题的关键．（1）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由表中信息列代数式即可得到答案；（2）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由题意列不等式组求解即可得到答案．【详解】（1）解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，总租金是元；（2）解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，，解得，为正整数，可取或，即有两种方案：方案一：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；方案二：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；花费最少的方案一租用了辆型车．【变式4-3】（23-24八年级上·山东泰安·期中）杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”．一个批发兼零售的商店规定：凡一次购买印有吉祥物的小彩旗300支以上（不包括300支），可以按批发价付款，购买300支以下（包括300支），只能按零售价付款，小明来该店购买印有吉祥物的小彩旗，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用240元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用240元．(1)若设八年级的学生总数为x，求x的取值范围．(2)若按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？【答案】(1)(2)八年级学生有300人【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的实际应用．（1）根据“给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用240元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款”可得不等式组，求解即可；（2）设这个学校八年级学生有y人，根据“按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同”列方程求解即可．【详解】（1）依题意得：，解得：．答：x的大概范围为．（2）解：设这个学校八年级学生有y人，根据题意得：解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：八年级学生有300人．【变式4-4】（23-24八年级上·福建泉州·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃的一边长为x米．

(1)苗圃的另一边长为______米（用含x的代数式表示）；(2)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？【答案】(1)(2)当x为4米时，苗圃的面积最大，且最大面积为48平方米【分析】（1）根据木栏总长22米，两处各留1米宽的门，苗圃的一边长为x米，即可求得长；（2）根据题意得苗圃的面积为：，根据完全平方公式，即可得出结果．【详解】（1）解：∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，苗圃的一边长为x米，∴米，故答案为：；（2）解：根据题意可知：，解得：，苗圃的面积为：，∵，∴当时，最大，且最大值为48，∴当x为4米时，苗圃的最大面积为48平方米．【点睛】本题考查了列代数式，完全平方公式的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出相应的代数式．【考点题型五】一元一次不等式和一次函数一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围.【例5】（23-24八年级上·福建宁德·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（

）对于函数来说，的值随值的增大而减小函数的图象不经过第一象限A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，根据函数图象直接得到结论；根据、的符号即可判断；当时，；当时，根据图象得不等式，利用数形结合是解题的关键．【详解】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故正确；由于，，∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故正确；∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，∴，∴，即，故正确；当时，，，由图象可知，∴，故错误；综上都正确，故选：．【变式5-1】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【分析】本题考查一次函数的性质，根据函数解析式和一次函数的性质解答即可．【详解】解：在中，令时，，∴当时，，故A选项正确；当时，；时，，故B、C选项不正确；当时，，故D选项不正确；故选：A．【变式5-2】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是()

①关于的方程的解是；②关于，的方程组的解是；③关于的不等式的解集是；④当时，函数的值比函数的值大．A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质；图象法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④．【详解】解：∵两直线相交于点，∴方程的解是，方程组的解是：，故①②正确；∵当时，直线在直线的下方，∴当时，，整理得：，故③错误；∵当时，直线在直线的上方，∴当时，函数的值比函数的值大，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④，故C正确．故选：C．【变式5-3】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点D，一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点．(1)求m的值和一次函数的表达式；(2)根据图象，直接写出的解集【答案】(1)，一次函数的表达式是；(2)【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点：（1）把点C的坐标代入，求出m，再把B、C的坐标代入得出方程组，再求出k、b即可；（2）根据函数的图象得出不等式的解集即可．【详解】（1）解：两函数图象交于点，把点C的坐标代入，得，解得，即．一次函数图象经过点，，解得．即，所以，一次函数的表达式是；（2）解：由图象得：不等式的解集是．【变式5-4】（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）如图，直线的解析式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点．(1)求的值；(2)求直线的解析式；(3)根据图象，直接写出的解集．【答案】(1)；(2)直线的解析式为；(3)解集为．【分析】本题考查的知识点是求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是熟练掌握一次函数的相关知识点．把点的坐标代入直线的解析式即可求出的值；根据、的坐标，利用待定系数法列出二元一次方程组即可求解；根据图象解答即可．【详解】（1）解：直线经过点，，解得．（2）解：由得，，直线经过，，，解得：，直线的解析式为．（3）解：由图得：即的解集为．【考点题型六】一元一次不等式（组）综合问题此考点一般都是不等式和函数或者实际应用的交汇，在解答此题的时候注意数形结合，注意分类讨论的应用【例6】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．(1)则，，；(2)若函数的值大于函数的函数值，则x的取值范围是；(3)则四边形的面积；(4)在平面内是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，，2(2)(3)(4)，，，【分析】（1）把把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，；（2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案；（3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解；（4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标．【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：，∴，即：点的坐标为，将点，点代入得：，解得：，故答案为：3，，2；（2）由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值，故答案为：；（3）由（1）可知：直线的解析式为，，，当时，，得，∴点的坐标为，∵函数的图象与轴交于点，则当时，，即：，连接，∴；（4）当，，点在右侧时，如图，过点作轴，过点作，则，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，，则，∴，∴，则点坐标为；当，，点在左侧时，如图，过点作轴，过点，点作，，同上可得：点坐标为；当，，点在右侧时，如图，过点，点作，，同上可得：点坐标为；当，，点在左侧时，如图，过点，点作，，同上可得：点坐标为；综上：坐标为或或或．【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解．【变式6-1】.（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．

(1)求的值；(2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．①当时，求点的坐标；②当时，请通过计算比较与的大小．【答案】(1)；(2)①或；②时；时，；时，【分析】（1）根据直线在轴上的截距为，得出，将点代入，即可得出的值；（2）依题意，，根据，列出方程，解方程，即可求解．（3）设与交于点，则,分别求得的长，根据，分类讨论，利用作差法比较大小，解不等式，即可求解．【详解】（1）解：∵直线在轴上的截距为．∴，将点代入，即解得：，∴（2）解：①依题意，，∵∴或，解得：或∴或，②依题意，，∵，∴，设与交于点，则，解得：，

∴，当时，，当时，解得：（不合题意）当时，解得：，则时；当时，，，当时，即时，，当时，即时，，当时，即时，，综上所述：时；时，；时，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．【变式6-2】（22-23八年级下·四川达州·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为多少？【答案】1