2020-2021学年江苏省盐城市上冈某中学、等高一（上）期末数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年江苏省盐城市上冈高级中学、龙冈中学等

高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知U=R,A={x\x<0],B=[-2,-1,0,1},贝=（）

A.{1}B.{-2,-1}C.{0,1}D.0

2.已知a=2.1L3,I）—iog211.3,c=sin2021°,则a、b、c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

3.已知角a的终边经过点P（3,4）,则5sina+lOcosa的值为（）

A.11B.10C.12D.13

4.命题“Vx6R,/？o”的否定是（）

A.VxG/?,x2<0B.VxG/?,x2<0

C.3x06/?.XQ<0D.3x0GR,XQ>0

5.设。与6均为实数，a>0且a41,已知函数y=loga（x+b）的图象如图所示，则

a+2b的值为（）

6.已知函数/(X)=10-x-/gx在区间(n,zi+1)上有唯一零点，则正整数建=()

A.7B.8C.9D.10

7.已知集合4={x|y=lg(x—%2)},B={y|y=lg(10-2”)},记命题p：xEA,命

题q：x€B,则p是q的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

8,古希腊地理学家埃拉托色尼(Eratosthenes,前275-前193)

117。

用下面的方法估算地球的周长(即赤道周长).他从书中得知，*色双也步历,〃乂“

位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼(现在的阿斯旺,在北回归线上

7。

）,夏至那天正午立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市-埃及北部的亚历山大

城，立杆可测得日影角大约为7。（如图），埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地

球是圆的，并且因为太阳距离地球很远（现代科学观察得知，太阳光到达地球表面

需要8.3s,光速300000km/s）,太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行

线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，他又派人测得两地距离大约

5000希腊里，约合800b"；按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为（）

A-RmB.56。。加厂C.1-3-4-00-0k.mD.144000km

77r7n

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列说法正确的是（）

2

A.若Q>b,则a。？>be

B.若a>b,c>d,则a+c>b+d

C,若a>b,c>d,则ac>bd

D.若a>b>0,c>0,则空>2

a+ca

10.下列选项正确的是（）

A.若函数=则函数/（X）在R上是奇函数

B.若函数f（x）=a+焉Q6R）是奇函数，则2a+l=0

X

C.若函数/（X）=则以1，X2GR,且丰%2,恒有（与一%2）（/（%1）-/（2））<

0

D.若函数f（x）=2"，Vxi，x2ER,且X1HX2,恒有>/（空）

11.函数/（x）=Asin（^a）x+g）（4>0,6）>0,\（p\<兀）的部分图象如图所示，则下列选

项正确的是（）

AA."=71

B.3=2

C.f（7n-%）=/（%）

D.函数f（x）的图象可由y=2s讥%先向右平移E个单位，再将图象上的所有点的横

坐标变为原来的9得到

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12.函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧

拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定

的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的

变数叫自变量，其他的变数叫做函数德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的

概念更严谨,后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A,B是

两个非空的数集，如果按某种对应法则/,对于集合A中的每一个元素x,在集合8

中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到8的一个函数”，则下

列对应法则/满足函数定义的有()

A./(x2)=|x|B./(x2)=xC./(cosx)=xD.f(ex)=x

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.log23xlog34xlog45xlog56xlog67xlog78=.

14.已知/(x)=asinx+btanx+5,(a2+b20,a&R,b&R),若/(I)=3,则

/(-l)=.

15.设正数x,y满足x+4y=3,则系+£1的最小值为：此时x+y的值为

—/-4x—2,(x<0),

\log2x\,(0<x<4),方程/'(%)=TH有六个不同的实数根Xi，起，

{—8|-2,%>4,

%3，%4，则%I+%2+%3+%4+%5+%6的取值范围为-

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知命题p：函数/(%)=lg(x2-2%+Q)的定义域为R,命题<7：V%6/?,x2+4>a.

(I)命题〃是真命题，求实数。的取值范围；

(n)若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围.

18.在①4sin(2021/r—a)=3COS(2021TT+a),@sina+cosa=③a,夕的终边关

于x轴对称，并且4s讥0=3cos/?.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

已知第四象限角a满足，求下列各式的值.

（［）3sina+4cosa

I'cosa-sina

（n）sin2a+Ssinacosa.

19.已知函数/'（x）=sin2x.

(1)若99)=//-吟，求函数g(x)的单调递增区间:

(II)当％€[*于时，函数)/=240)+依>0)的最大值为1,最小值为—5,求

实数。，。的值.

20.沪苏合作的长三角(东台)康养小镇项目正式落户江苏盐城东台-12月16日，该项目

在南京举办签约仪式，该项目由盐城市政府、东台市政府和上海地产集团合作共建,

选址在东台沿海经济区，总占地17.1平方公里，其中一期9.7平方公里，规划人口

15万人，总投资700亿元，定位于长三角区域康养服务一体化示范区、跨行政区康

养政策协同试验区.此消息一出，众多商家目光投向东台.某商家经过市场调查，某

商品在过去100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的

函数，且销售量近似地满足g(t)=—|t+等(1S*100,t6N).前40天价格为

/(t)=Jt+22(l<t<40,te/V),后60天价格为/(t)=-1+52(41<t<

100,teN）.

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(I)试写出该种商品的日销售额S与时间r的函数关系;

(II)求出该商品的日销售额的最大值.

21.已知函数/(乃=，。。3黄为奇函数.

(I)求实数m的值；

(n)判定函数/Q)在定义域内的单调性，并用定义证明；

(也)设t=|2丫一1|+1,(x<1),n=f(t),求实数〃的取值范围.

22.已知函数/(%)=/-2。工+4,g(x)=

(I)求函数九(％)=\g(tanx-1)+g(l-2cos%)的定义域；

(口)若函数巾(乃=25讥(2%一9,求函数n(x)=/[m(x)]的最小值；(结

果用含。的式子表示)

(皿)当a=0时?言，n，是否存在实数方，对于任意X6R,不等

IJ十%%<U,

式F(b/—2%+1)+F(3—2bx)>2(b+l)x—bx2—4恒成立，若存在，求实数b

的取值范围；若不存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•••4={用尤<0}，B={-2,-1,0,1},U=R,

CM=[x\x>0),(QA)nB={0,1}.

故选：C.

进行补集和交集的运算即可.

本题考查了描述法和列举法的定义，补集和交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•；2,113>2.11>2,二a>2,

0=log2,il<log2,il.3<log2,i2.1=1,A0<Z?<1,

vsm2021°=sin221°<0,,•・c<0,

Aa>b>c,

故选：A.

利用对数函数和指数函数的性质求解.

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函

数的性质的合理运用.

3.【答案】B

【解析】解：,•・角a的终边经过点P(3,4),则5出《:=益布=£cosa==|-

二5sina+lOcosa=4+6=10,

故选：B.

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sina和cosa的值，可得5sina+lOcosa的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“Vx6R,X2>0”的否定是

u

3x0eR，诏<o"，

故选：C.

根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可

本题主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，属于基础试题

5.【答案】C

【解析】解：由图象知函数为增函数，当x=-3时,y--0,即loga(b-3)=0,即b-3=1,

得b=4,

当x=0时，y=2,即loga4=2,得a=2,

则a+2b=2+2X4=10,

故选：C.

根据函数的图象，结合过定点(-3,0),(0,2),代入进行求解即可.

本题主要考查函数的图象的应用，利用待定系数法是解决本题的关键，是基础题.

6.【答案】C

【解析】解：・函数/(x)=10-x-Zgx在(0,+8)上是减函数

/(9)=10—9-国9=1一〉0,/(10)=Z10-10-IglO=-1<0,

•••f(9)•/(10)<0,根据零点存在性定理，可得函数/(x)=10-x-国x的零点所在区

间为(9,10),

•••n=9.

故选：C.

根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得函数f(x)=10-X-均%在(0,+8)

上是减函数，再通过计算/(9)、f(10)的值，发现/(9)•”10)<0,即可得到零点所在

区间.

本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性

和函数零点存在性定理等知识，属于基础题.

7.【答案】A

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【解析】解：A={x\y=lg(x—x2)}={x\x-x2>0}={x|0<x<1},

B=[y\y=lg(10-2X))=[y\y<1},

所以4基8,

所以p是q的充分不必要条件.

故选：A.

根据对数函数的真数大于0求出集合A,结合指数函数的性质和对数函数的性质求出集

合2,再根据充分条件、必要条件的定义进行判定.

本题主要考查了对数函数的定义域和值域，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查

了运算求解的能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由题意知：Z.AOB=7°,

对应的弧长为800b",

设地球的周长为C,地球的半径为R,

由于C=2nR,

所以

R2n=7n

故选：D.

直接利用比例的性质，圆的周长公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：比例的性质，圆的周长公式，主要考查学生的运算能力，属于基

础题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于A,当c=0时，a>b推不出切2>be?,所以4错；

对于8,a>b,c>d,=>a—Z?>0,c—d>0=>(a+c)—(b+d)=(a—b)+(c—

d)>0=Q+C>b+d,所以B对；

对于C,当。=。=1,b=d=-l时，命题不成立，所以C错；

对于£>,有分析法证明，>(<=a(b+c)>+c)<=ab+ac>ba+be<=ac>

beua>b.

因为a>b成立，所以&成立，所以。对.

a+ca

故选：BD.

A举反例判断；3用综合法证明；C举反例判断；。用分析法证明.

本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4,因为VxeR,y(-x)=(-X)3-(-x)=-(x3-x)=-/(%))所

以A对；

对于8,因为“x)=a+3*(x6/?)是奇函数，所以f(—x)=-f(x),

即有，a+7^77=~(a+=>2a+1=0,所以B对;

44*+1

对于C,因为/(x)=U=l—3,所以f(x)是增函数，所以c错;

对于。，函数/(%)=2",V%1，工2wR，且％1工工2,

f(Xi)+f(M)_/,1+%2)=2粗+2>2_

=1.2X2,(2X1-X2+1-2-2~^~)=2必-1-

(2M尹-1)2>o，所以。对.

故选：ABD.

4根据奇函数定义判断；8根据奇函数定义计算判断；C根据单调函数定义判断；。作

差与零比较判断.

本题以命题的真假判断为载体，考查了函数奇偶性和单调性，属于基础题.

11.【答案】CO

【解析】解：根据函数/'(x)=AsinQx+w)的部分图象知，A=2,

T=2x(^-^)=4TT=—,可得3=J,故8错误；

ZZ(i)Z

由点©,0)在函数图像上，可得2sinCx]+w)=0,可得：*]+9=卜兀，keZ,

解得9=kre-々,kWZ,

因为|0|VTT,可得k=l时，(P=亭当k=0时，3=一3故4错误；

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可得/'(x)=2sin(|x-》，f(Jn-x)=2sin[|(7?r-x)-^]=-2sin(^-1x)=

2sin(|x-》=f(x),故C正确；

y=2sinx先向右平移1个单位，可得函数y=2sin(x-》的图像，

再将图象上的所有点的横坐标变为原来的;得到函数y=2sin(2x-今的图像，故£>正确.

N4

故选：CD.

根据函数/(x)的部分图象求得A、T、3和3的值，利用正弦函数的性质即可得解.

本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

12.【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的定义分别进行验证即可.

本题主要考查函数的概念，利用换元法结合函数的定义是解决本题的关键，是基础题.

【解答】解：4设1=%2,则X=+V7.则方程等价为/(t)=|士Cl=满足函数

的定义，

A设t=x2,贝及=±/t.则方程等价为/(t)=土，E有两个y值对应，不满足唯一性，

不满足函数的定义，

<7.设£=cosx,则t=1时，%=kn,有很多值与t=1对应，不满足唯一性，不满足函

数的定义.

。设《=6*,则x=)3则方程等价为f(t)=满足函数的定义.

故选：AD

13.【答案】3

【解析】解：log23xlog34Xlog45Xlog56Xlog67Xlog78

=lg3lg4IgSlg6lg72g8

—匈2lg3lg4lg5lg6lg7

=igs

3lg2

=京

=3.

故答案为：3.

利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解.

本题考查对数的运算，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

14.【答案】7

【解析】解：根据题意，/(x)=asinx+btanx+5,则/(—x)=asin(—x')+fetan(-x)+

5=—asinx—btanx+5,

则有f(x)+f(f)=10,

即f(l)+f(T)=io.

若f(l)=3,则/"(-1)=7,

故答案为：7.

根据题意,由函数的解析式可得f(x)+f(-幻=10,即可得f⑴+/(-1)=10,计算

可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

15.【答案】卷1

【解析】解：y>0,%+4y=3,

・•・白(x+3+4y+4)=1,

A—+-=-(—+-)(x+3+4y+4)>^-(5+2吗.二)=2

x+3y+110vx+3y+1八z710vx+3y+ly10

f4y±4=x+3

当且仅当｛x+3y+i,即x+y=l时，取得最小值存.

lx4-4y=310

故答案为：菖；L

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.

16.【答案】(14,勺

第12页，共18页

所以(%i+&)+(%5+%6)=2x(-2)+2x8=12,

由图可知|10g2%3l=|10g2X4bBP-10g2X3=10g2X4»

所以】Og2%3+10g2X4=0，即10g2%3%4=°，解得%3久4=1，

由图可知0<mV2,且1V%4V4,

所以％3+%4=%4+；,

当1V%V4时，“(%)>0,g(%)单调递增，

所以2<g(x)<?,

所以X3+X4=办+；6(2,?),

所以%1+冷+%3+%4+%5+%6W(14,勺，

故答案为：(14,署).

作出函数/(%)的图像，可得%1，0关于％=-2对称，X5,R关于％=8对称，进而可得

(%1+%2)+(%5+%6)=12,|10g2%3I=l1Og2%4l，即'3X4=1,%3+%4="4+令

“4

g(x)=x+《，1<%<4,分析值域即可得出答案.

本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想，转化思想的应用，属于中

档题.

17.【答案】解：(1);命题「是真命题，:/一2%+。>0恒成立，

2

(x—2x+a)min=a-1>0,•.a>1,

实数a的取值范围为(l,+8),

说明：利用4<0求得a的取值范围同样给分；

(H)•.•命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，

二p真q假或P假4真，

由(1)可知，当。是真命题时，实数a的取值范围为(1,+8),

又,••当q是真命题时，实数〃的取值范围为(—8,4),

当P真4假时，二实数a的取值范围为[4,+8),

当p假4真时，｛：・；'.•.实数a的取值范围为(一8,1],

综上所述，实数a的取值范围为(-8,1]U[4,+8).

【解析】(I)根据对数函数性质，把问题转化为二次函数恒正问题即可：(II)用命题基

本概念，通过解不等式组确定参数取值范围.

本题以命题的真假判断为载体，考查了对数函数的基本性质，考查了二次函数恒正问题,

属于中档题.

18.【答案】解：若选择条件①，•・•4s讥(2021〃-a)=3cos(2021"+a),

・•・4sina=—3cosaf

3

tana=—.

4

若选择条件②，•・・a是第四象限角，

sina<0,cosa>0,

又•••sina4-cosa=

tana~——3.

4

若选择条件③，■:a是第四象限角，[sina<0,cosa>0,

又「a,夕的终边关于x轴对称，

第14页，共18页

・•・sina=—sinp,cosa=cosp.

又•・,4sin0=3cos£,

3

・•・—4sina=3cosa,EPtana=——.

4

3sina+4cosa_3tana+4_一1+4

——T-

cosa-sina1-tanai+-

4

99

s\n2a+3sinacosa_tan2a+3tana__痴一］27

(II)vsin2a+3sinacosa

sin2a+cos2atan2a+l—+125

【解析】若选择条件①，由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解tcma；

若选择条件②，利用同角三角函数基本关系式即可求解tana的值；

若选择条件③，利用同角三角函数基本关系式可求tana的值；

(I)利用同角三角函数基本关系式化简即可求解.

(口)利用同角三角函数基本关系式化简即可求解.

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考

查了计算能力和转化思想，属于基础题.

19.【答案】解:(I)函数/(x)=sin2x,则g(x)=燃一为=sin(=-2x)=-sin(2x-=),

令2kn+三W2x—2/OT+k€Z,可得kn+--<x<kn+——,k€Z,

2321212

故函数f(x)的单调递增区间为伏兀+居,/OT+詈］,kez；

(U)因为y=2asin2x+b(a>0),又一彳-x-所以一］故一1-sin2x<1,

因为函数y=2a/(x)+h(a>0)的最大值为1,最小值为一5,

所以'max=2a+b=1,ymin=-2a+b=-5,即｛:)1^5>解得~2

【解析】(I)求出g(x)的解析式，利用整体代换的方法结合正弦函数的单调区间进行求

解即可；

(U)由x的范围，求出2x的范围，利用正弦函数的有界性求出sin2x的范围，即可得到

函数的最大值与最小值，列出方程组，求解mb即可.

本题考查了三角函数的单调性、三角函数的最值问题，此类问题经常运用整体代换的思

想，将问题转化为y=sEx、y=cosx>y=ternX进行研究，属于中档题.

20.【答案】解：(I)根据题意，得S=f(t)・g(t)=

(1+22)(-1+—(1<t<40,tEN)

(-it+52)(-it+^),(41<t<100,te/V)

八…-21t-9592),(1<t<40,teN)

化间得S={i.

H(t2-213t+11336),(41<t<100,t6N)

(D)^l<t<40且tGN时，Smax=S(10)=S(11)=等;

当41Wt4100且teN时，S随♦的增大而减小，

•-Smax=5(41)=714.

又...等>714,Smax=5(10)=S(ll)=等=808.5.

答：该商品的日销售额的最大值为808.5元.

【解析】(I)直接由S=f(t)・g(t)写出分段函数解析式；

(U)利用二次函数求最值，取两段函数最大值中的最大者得结论.

本题考查函数模型的性质及应用，训练了利用配方法求二次函数的最值，考查运算求解

能力，是基础题.

21.【答案】解：(【)•.•函数f(x)是奇函数，.•.函数/(x)的定义域关于原点对称.

又：函数/(x)的定义域为{x|(x+2)(X-m)<0}.

m>0且函数/'(x)的定义域为(一2,m),m=2.

止匕时/'(-X)=log3—=-log3=-f(x)，

.1.m-2符合题意.

(H)函数/(x)是定义域上的单调递减函数，

证明：设与<%2,且X]，工2为(一2,2)上的任意两个数，

/01)-/(&)=log3瞪-log3急=10g3毅•舞，

又..2Tl.2+-2_2__(2_%])(2+%2)-(2+%力(2-.2)_4(%2-31)

乂••2^—一(2+X1)(2-X2)-(2+41)(2-必)'

■:X1<%2'%2—>0.

又丁-2<%!<%2<2,・,・2-冷>0，2+/>0.

••瑟•舞>1，二晦急尝>。，

•，•/(xi)-y(x2)>o,

即外亚)>〃小)，

••・函数f(x)为(-2,2)上的单调递减函数.

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（吁=|2一|+1=修荒;到，

t=|2X-1|+1在（-8,0］上单调递减，在（0,1）上单调递增

t=\2x-l\+1在（一8,1）上的取值范围为［1,2）,

又•.•函数/（乃在（-2,2）上单调递减.

n=/（t）在口,2）上的取值范围为（-8,-1］,

即实数n的取值范围为（—8,-4

【解析】（I）由奇函数的定义域关于原点对称，即可求解，"值；

（U）函数/（x）是定义域上的单调递减函数，利用单调性的定义证明即可；

（皿）求出f的值域，再由/Xx）的单调性即可求得〃的取值范围.

本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查函数值域的求法，属于中档题.

_1、八(kjlH—VXV/C7Td—

22.【答案】解：(I)根据题意，得-即42kwz,

11-2cosx>0[2kn+-<x<2kn+—

v33

.%2kn4-7<%<2kn4-\kEZ或2々乃+亚<%V2/CTT+",fc6Z,

3L42

••・函数八(x)的定义域为[2/OT+-,2fc7r+-)u(2kn+—,2kn+—-),k&Z.

3