四川省眉山市仁寿县高三下学期三诊文科数学试题

2021级高三（下）第三次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，，所以.故选：B.2.若复数z满足，则的虚部为（）A.－2 B.－1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算及i的周期性运算即可.【详解】因为，所以，则，故的虚部为1.故选:C．3.运行图示程序框图，则输出A的值为（）．A.170 B.165 C.150 D.92【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐步计算即可.【详解】因为，所以执行循环体得，由不成立，所以执行循环体得，由成立，所以，然后输出.故选：B4.已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合递增数列的意义判断即得.【详解】当时，，则，是递增数列；反之，当时，，数列递增，因此数列是递增数列时，可以不小于3，所以“”是“是递增数列”的充分不必要条件.故选：A5.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（）A.3 B.6 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，所以，，设，则，又是的外心，所以，所以.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.6.已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（）A.2 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可.【详解】如图，抛物线上点到圆心的距离为，因此，当最小时，最小，而，当时，，因此的最小值是．故选：A.7.若，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式、同角三角函数的平方关系、二倍角公式、正弦的差角公式计算即可.【详解】由题意可知，因为，所以，所以，所以，而，所以，而.故选：B8.直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解.【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则，由双曲线定义可得，又、关于原点对称，故，，，则，由，故，故有，化简可得，即有，，由，则有，即，即.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于找出左焦点，设，从而借助双曲线定义将其它边表示出来，结合勾股定理计算出各边长，从而可列出与、有关的齐次式，得到离心率.9.已知函数，则满足不等式的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】由，得的定义域为，又，故为偶函数，而当时，易知单调递增，而对于，在上恒成立，所以在上也单调递增，故在上单调递增，则由，得，解得或.故选：D.10.已知函数，关于的命题：①的最小正周期为；②图像的相邻两条对称轴之间的距离为；③图像的对称轴方程为；④图像的对称中心的坐标为；⑤取最大值时.则其中正确命题是（）A.①②③ B.①③⑤ C.②③⑤ D.①④⑤【答案】B【解析】【分析】借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的性质逐一判断即可得.详解】，则的最小正周期为，故①正确；图像的相邻两条对称轴之间的距离为，故②错误；令，则，故③正确；令，则，故④错误；令，则，故⑤正确.故选：B.11.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.【详解】依题意，，，因此，而函数在上单调递增，所以，即.故选：D12.已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出的解集，再利用导数求出的范围.【详解】函数的定义域为，求导得，当时，函数在上单调递减，，，则存在，使得，当时，，递增，当时，，递减，函数在取得极大值，无极小值，不符合题意；当时，令，求导得，显然在上单调递增，当时，，函数递减，当时，，函数递增，于是，当，即时，，函数在上单调递增，函数无极值，当时，，而，存在，使得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，函数在取得极大值，又，令，求导得，函数上单调递减，，则，存在，使得，当时，，函数递减，当时，，函数递增，函数在取得极小值，因此，由，得，，即有，令，求导得，函数在上单调递减，而，即有，于是，显然，令，求导得，即函数在上单调递减因此，即，又，则，所以实数的取值范围为.故选：D【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为偶函数，则______.【答案】【解析】【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可.【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以，所以，解得，经检验，当时，为偶函数，符合题意.法二：定义法：因为为偶函数，所以，所以，化简得，所以，解得.故答案为：14.已知实数x，y满足则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】先依据题意作出可行域，将目标式转化为截距问题求解即可.【详解】令，即求中截距的最大值即可，如图作出可行域，易知当过点时，该直线截距最大，取得最大值，联立方程组，，解得，，故，将代入中，得，解得，即的最大值是.故答案为：15.如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则________________【答案】【解析】【分析】建系，根据平面向量的线性运算的坐标表示求的坐标，进而结合数量积的坐标运算求解.【详解】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，，设，可得，因为，则，可得，即，解得，即的坐标为，设，则，，由可得，解得，则，，可得所以．故答案为：.16.如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于______.【答案】##【解析】【分析】由题设足，考虑三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得.【详解】如图，不妨设,分别记面积为,则①②由①，②两式左右分别相乘，可得：,故得：.设，中，由余弦定理，，因，则，当且仅当时，等号成立，此时，因，故，取得最大值，此时的面积等于.故答案为：.【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边长乘积的比，结合图形容易看出几个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出边长和角即得.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知为各项均为正数的数列的前项和,.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）先求得的值，然后利用与的关系推出数列为等差数列，由此求得的通项公式；（2）首先结合（1）求的表达式，然后用裂项法求得，再根据数列的单调性求得的最大值．【小问1详解】当时，由题设得，即，又，解得.由知：.两式相减得：，即.由于，可得，即，所以是首项为，公差为的等差数列，所以.【小问2详解】由得：.因为，所以，则数列是递增数列，所以，故实数的最大值是.18.为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为，运动达标的女生与男生的人数比为，运动欠佳的男生有5人.（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“运动达标情况”与“性别”是否有关?性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生

女生

合计

（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式：，.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，“运动达标情况”与“性别”无关.（2）【解析】【分析】（1）由条件完成列联表，根据公式代入计算可判断结果；（2）先根据分层抽样方法抽取，然后由概率公式计算即可.【小问1详解】2×2列联表为：性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100假设：运动达标情况与性别无关..根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认“运动达标情况”与“性别”无关.【小问2详解】已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，则选中2人中恰有一人是女生的概率为.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点为的中点，，.（1）证明：平面ABCD；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意，根据勾股定理的逆定理可证得，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1），建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.【小问1详解】连接AO，，点O为BD的中点，，，为直角三角形，，则，，又，平面ABCD，平面ABCD；【小问2详解】由（1）知平面ABCD，而平面ABCD，所以，又，过点D作z轴，使得z轴平面ABCD，则可建立如图空间直角坐标系，在中，，，则，，，，，，则，，，设平面SBC法向量为，直线与平面SBC所成角为，，，得，所以，直线AS与平面SBC所成角的正弦值为.20.已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接写出圆心符合的等量关系式，进而得到曲线的方程；（2）先用点差法求出方程，再联立曲线，用弦长公式求，根据垂直，同理可求，再表示面积即可求出实数的值.【小问1详解】由题意知圆心在线段的垂直平分线上，则,设，圆的半径为，则，又圆与直线相切，故，于是，化简得，所以曲线的方程为.【小问2详解】设，根据可得为的中点，则，得，即，所以直线.联立方程，得，得，由，得，所以，所以.设，因为互相垂直，易知直线，联立方程，得，得，由，得，所以，所以.则四边形的面积为.令，化简得，解得（舍）或，符合，所以.21.已知函数在点处的切线斜率为1．（1）求实数的值并求函数的极值；（2）若，证明：．【答案】（1），的极小值为，无极大值.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知，求出，根据点处的切线斜率为1，得到，求出，则为已知函数，利用导数求出极值.（2）由，可得，由，然后换元变形，利用导数的单调性即可证明出，则原命题得证.【小问1详解】由已知，，因为函数在点处的切线斜率为1，所以，则，定义域为，，令，解得，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，在时取得极小值，无极大值.【小问2详解】由已知，令，则，即，，即，两式相减可得，，两式相加可得，，消去，得，即，由于，因此只需证明即可，而，不妨设，则由可知，，令，，令，则，在上递减，故，在上递增，，则原命题得证.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）点分别为曲线与直线上的动点，求的最小值.【答案】（1）曲线为，直线为（2）【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系式将曲线C的参数方程消去参数，结合直角坐标与极坐标互化公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合辅助角公式、余弦函数的最值性质进行求解即可.【小问1详解】因为，将（为参数），消去参数，可得.由，得，因为，所以.所以曲线的普通