空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用导语：空间向量对于立体几何而言，是把复杂的位置关系进行数据化，把几何的内容转化为数据的计算从而进行解题，因此与空间的观察分析有着截然不同的解题策略题型一——求空间中的夹角题型一——求空间中的夹角点拨：空间向量应用中最常见的问题，解题的注意点在于：1、坐标系的准确性2、坐标的正确性3、法向量的计算4、公式的解读与运用1—1、如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系得：，，而的夹角为又，则，由于，故选：B.1—2、已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________.【答案】【解析】如图，，则两两垂直.作，垂足分别为，连接，则，所以为与的所成角，为与的所成角，即，，建立如图空间直角坐标系，设，则，得，，所以，取，则，又，所以，即与所成的角为.故答案为：1—3、如图，三棱锥中，为线段的中点.（1）证明：平面平面；（2）设，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】因为，为线段的中点，所以因为，，，所以，故AB．又为线段的中点，所以．又，平面.所以平面又平面，所以平面平面．【小问2详解】取的中点，连接，，因为为中位线，所以，又，所以．因为，为的中点，所以．又，平面，所以平面，平面，所以，因为，为的中点，所以，又，平面，所以平面．以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示设，，则，，，，，由，解得．所以.又平面的法向量．设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角为.1—4、已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，.（1）求证：；（2）已知，平面，且平面.①求证：；②求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②.【解析】【小问1详解】在三棱柱中，连交于，连，由为的重心，得为的中点，由，，，得，则，因此，，又平面，于是平面，而平面，则，又，所以.【小问2详解】①由，，得为正三角形；同理，也为正三角形，则，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，由为的重心，得平面，又平面，显然不在直线上，所以.②设的重心为，则，在平面内，过作，连，有平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，，则，，，，，则，由，得，由平面，则设，而，则存在实数，使，即，解得，，，即，，令，，令，设与平面所成的角为，因此，所以与平面所成角的正弦值.1—5、如图，在五面体中，底面为平行四边形，平面，为等边三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）不妨设，则，在平行四边形中，，，，连接，由余弦定理得，即，，.又，，，平面，又平面.平面平面.（2）取中点，连接，，，由（1）易知平面，且.如图，以为原点，分别以射线所在直线为轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，设平面的法向量为，则，得，令，得，，所以平面与平面夹角的余弦值.1—6、如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】小问1详解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．又因为，平面,所以平面,平面．所以．由于,所以四边形为平行四边形，所以．又，所以，所以．【小问2详解】因为，所以，又，平面,所以平面．取中点，连接，设．设多面体的体积为，则．解得．建立如图所示的空间直角坐标系，则，．则平面的一个法向量．所以，设平面的一个法向量，则即取．所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．1—7、如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点，（1）求证：平面；（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】证明：如图所示：分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥.∵，∴，∴，取的中点，连接，，∵，且，∴四边形为平行四边形.∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】由于，所以，又梯形面积为，设到平面距离为，则，得.而，平面，平面，所以平面，所以点C到平面的距离与点D到平面的距离相等，而，所以平面.以A为坐标原点，以直线为x轴，以直线为y轴，建立空间直角坐标系，易得为等边三角形，所以，，，，设平面的法向量为，则，得，，不妨取，又平面的一个法向量为.则，平面与平面夹角的余弦值为.1—8、如图，在正四棱台中，.

(1)求证：平面ABCD⊥平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）延长交于一点P，连接BD交AC于O；

由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥为正四棱锥，即，又点O分别为的中点，故，而，平面，故平面，又平面，故平面平面，即平面平面；（2）由（1）知两两垂直，故分别以为轴建立空间直角坐标系，

设棱台的高为h，则，又平面的法向量可取为，而，由题意知直线与平面所成角的正切值为，则其正弦值为，则，解得，所以，设平面的法向量为，则，令，则，故，而二面角范围为，故二面角的正弦值为.题型二——距离问题题型二——距离问题点拨：解决距离问题的关键在于围绕公式对向量的灵活运用，计算平面的法向量以及创造两点之间的线向量就成了最重要的部分2—1、如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H.（1）从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.（2）求直线BD与平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【小问1详解】选择条件①，由,分别为,的中点，得，又平面平面，则平面，又平面，平面平面，所以.选择条件②，在中，为中点，则与不平行，设，则，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一点.【小问2详解】若第（1）问中选①，由（1）知，平面，则点到平面的距离即为与平面的距离，若第（1）问中选②，由,分别为,的中点，则，又平面平面，于是平面，因此点到平面的距离即为与平面的距离，连接,，由均为正三角形，为的中点，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，,，设平面一个法向量为,则，令，得，设点到平面的距离为，则，所以与平面的距离为.2—2、如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到直线的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，又因为平面，平面，所以，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则,所以，则可得，所以，则点到直线的距离为.（3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.2—3、如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，交于点，连接，

则为的中点，因为为的中点，所以，且，因为为的中点，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）由题意（1）及几何知识得，在直四棱柱中，，两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，.设异面直线与所成角为，则，解得：，故，则设平面的一个法向量为，到平面的距离为.所以即取，得.所以，即到平面的距离为.题型三——动点问题题型三——动点问题点拨：解决动点问题的关键在于对动点的假设，分为点在线上在面上在空间中三种情况，而考试的侧重则是在线段上的动点问题3—1、如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面.(1)求证：平面；(2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析（2）点为线段的靠近的三等分点【解析】（1）因为四边形为梯形，，，，所以，，则，即又因为平面，面ABCD，所以.因为、都在平面内，，所以面.（2）取中点，连结，，由，知，由（1）知，共面且不共线，所以，故直线与所成角为.由平面，面ABCD，所以，又，在面内，且，故面，所以面，面，则，在中，，，所以，在，易得，以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示，则，，，，，设为平面的法向量，则，即，取，则.所以由题可知，是平面的一个法向量，所以.因为，解得或（舍去）.当点为线段的靠近的三等分点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.3—2、已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．（1）求证：平面平面；（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】不妨设，因为平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，则，因为平面，所以平面，而平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，则，故，，所以，设，则，即，所以；设为平面的一个法向量，则，令，则，所以，因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，解得，故．题型四——存在性问题题型四——存在性问题点拨：存在性问题与动点问题类似，假设存在，再通过计算确定数值的合理性4—1、如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在且【解析】（1）为等边三角形，D为中点，，又，，，平面，平面，平面，，取中点G，连接，为等边三角形，，平面平面，平面平面，平面.平面，，与相交，，平面，平面；（2）以为坐标原点，，所在直线为x轴，y轴，过C且与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，可得，为平面的一个法向量，取平面的一个法向量为，则，解得，此时，在线段上存在点F使得平面与平面的夹角为，且.4—2、在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求证：；(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】（1）因为，且，可得，，又因为，可得，所以，则，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）因为平面，且平面，所以，如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，可得，，，，所以，．设平面的法向量为，则，令，可得，所以，假设存在点，使得与平面所成角为，设，（其中），则，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．

4—3、如图,在三棱柱中,直线平面ABC,平面平面.(1)求证:;(2)若,在棱上是否存在一点,使二面角的余弦值为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】(1)在平面中作于,因为平面平面,且平面平面,所以平面,从而在三棱柱中,平面平面ABC,所以.又因为,所以平面,因此(2)由(1)可知,两两垂直,如图,以为原点建立空间直角坐标系.则.设,则设平面PBC的一个法向量为,因为,所以即则有令,得.10分而平面的一个法向量可以是,则,解得,即为棱的三等分点,题型五——综合问题题型五——综合问题5—1、在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则（）A．与是异面直线B．存在点，使得，且平面C．与平面所成角的余弦值为D．点到平面的距离为【答案】BC【解析】A选项，以作坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，则，由于，故与平行，A错误；B选项，设，因为，所以，即，解得，故，设平面的法向量为，则，令，则，则，因为，故，平面，故存在点，使得，且平面，B正确；C选项，平面的法向量为，故与平面所成角的正弦值为，则与平面所成角的余弦值为，C正确；D选项，设平面的法向量为，则，令，则，故，则点到平面的距离为，D错误.故选：BC5—2、已知直三棱柱中，且，直线与底面所成角的正弦值为，则（）A.线段上存在点，使得B.线段上存在点，使得平面平面C.直三棱柱的体积为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】在直三棱柱中，底面，则即直线与底面所成角，即，则，所以又且，所以，又底面，底面，所以，所以，解得，所以直三棱柱的体积，故C错误；又底面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，因为点在线段，设，，则，若，则，即，解得，此时为线段的中点，故在线段上存在点，使得，故A正确；当为线段的中点时，则，，设平面的法向量为，则，取，又，，设平面的法向量为，则，取，因为，所以平面平面，即当为线段的中点时满足平面平面，故B正确；又，，，设平面的法向量为，则，取，则点到平面的距离，故D正确.故选：ABD5—3、如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是．

①棱上一定存在点，使得；②三棱锥的外接球的表面积为；③过点作正方体的截面，则截面面积为；④设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为．【答案】②