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高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省安阳市林州市部分学校2023届高考数学一模试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为,所以.故选:B.2.已知全集,集合满足,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为全集,,所以,所以.故选:C.3.已知向量,若,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量,若,则,则.故选:D.4.已知,直线,若点满足,过点作直线的垂线,垂足为,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗点满足,所以点是以为焦点的椭圆,所以点的轨迹为,联立,消去得,,所以直线与椭圆相离,设与直线平行的直线方程为,联立,消去得令,解得,当时,,可得的最大值为,当时,,可得的最小值为,故选:A.5.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也作陀罗,闽南语称作“干乐”,北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形、现有一圆锥形陀螺(如图所示),其底面半径为4,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了4周,则该圆锥的表面积为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为,设圆锥的母线长为,则,所以,所以该圆锥的表面积为.故选:D.6.若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意,,不等式,令函数,求导得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,因此,则,所以实数的取值范围为.故选:B.7.已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为,高为3,则该棱台外接球的体积为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图为正三棱台,分别为正三棱台上下底面的中心,则该棱台外接球的球心在直线上,设上下底面外接圆的半径分别为,棱台外接球的半径为,则,所以r1=1,因为,则球心在三棱台内部,即线段上,设OO由勾股定理可得,解得,所以,所以该棱台外接球的体积为.故选:A.8.已知函数定义域均为为奇函数,为偶函数,若,且,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为为奇函数,为偶函数,所以,因为,所以,所以,因为,所以,则,所以①,所以,所以,即,所以函数是以为周期周期函数,由①得,所以,所以,所以.故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.端午节,又称端阳节、龙舟节、天中节等,与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日,赛龙舟与食粽是端午节的两大礼俗,这两大礼俗在中国自古传承,至今不辍,一个袋中装有大小一样的4个豆沙粽、2个成肉粽,现从中随机地取3个粽子,设取出的3个粽子中成肉粽的个数为X,则()A.的所有可能取值为0,1,2,3 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为袋中装有4个豆沙粽、2个成肉粽,从中随机地取3个粽子,所以的所有可能取值为0,1,2,且,,,则,.故选:BCD.10.已知,则()A. B.C.的最小值为 D.〖答案〗ABD〖解析〗由,得,则分别为直线与函数的图象交点的横坐标,而函数互为反函数,它们的图象关于直线对称,又直线与互相垂直,因此点与关于直线对称,则,对于A,,A正确;对于B,,B正确;对于C,函数单调递增,,,则,,即,,C错误;对于D,显然,因此,D正确.故选:ABD.11.设抛物线的焦点为为抛物线上一动点.当点运动到点时,,直线与抛物线相交于两点,点,则()A.抛物线的方程为B.的最小值为8C.以为直径的圆与轴相切D.若以为直径的圆与抛物线的准线相切,则直线过焦点〖答案〗ACD〖解析〗对于A:因为抛物线的准线为,设点到的距离为,则,解得,所以抛物线的方程为,故A正确;可得抛物线的方程为的焦点,准线.对于B:若,则,解得,即点在抛物线内,可得,当且仅当点为过点作的垂线与抛物线的交点时,等号成立,故B错误;对于C:设的中点为,过作y轴的垂线,垂足为,则,因为,可得,所以以为直径的圆与轴相切,故C正确;对于D:设直线,联立方程,消去x得,则,可得,,即的中点,若以为直径的圆与抛物线的准线相切,则,即,整理得,即,此时,满足题意,此时直线过焦点,故D正确;故选:ACD.12.已知,且,则()A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗设,则,则当时,,单调递增;当时,,单调递减,由,可得,即,又,,则则,则,故选项A判断正确,选项C判断错误;构造函数,则(当且仅当时等号成立)则在R上单调递增,又,则当时,,即,,则,又,当时单调递减,则,则故选:AB.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.展开式中的系数为60,则实数______.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为,令,则,所以展开式中的系数为,解得.14.写出一个过点和点的圆的方程:______.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗依题意,不妨求以为直径的圆,因为点和点,所以,的中点为,则以为直径的圆的方程为.故〖答案〗为:(〖答案〗不唯一).15.已知函数在上单调递增,在上单调递减,则图象的对称中心为______.〖答案〗〖解析〗由在上单调递增,在上单调递减可得,解得,又,解得,解得所以当时,,所以,令,得,所以图象的对称中心为.16.在正四面体中,M为线段AC上一点,且,点N为线段BC的中点,则直线与平面所成角的正切值是_____.〖答案〗〖解析〗如图,过点A作AO垂直底面,垂足为O,连接,因为平面,则,,过点M作于G,连接NG,又,则且,因为平面,所以平面,又平面,所以,则即为直线与平面所成角的平面角,设正四面体的棱长为2,则,所以,则,在中,则由余弦定理可得:,在中,,所以,所以直线与平面所成角的正切值是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.解:(1)设等差数列an的公差为,由,得,解得,所以;(2)由(1)得,所以.18.已知的内角的对边分别为.(1)求;(2)若为线段上一点,且,求的长.解:(1)因为,所以由正弦定理可得,因为,所以,即,因为,所以,所以,即.(2)由题意知,由余弦定理可得,即,整理得,解得或(舍去).因为,所以,故.所以,即的长为.19.如图,圆锥的顶点为,其母线长为3,点都在底面圆上,为直径,且,设分别是母线上靠近点的三等分点.(1)证明:.(2)当时,求二面角的余弦值.(1)证明:因为,,,所以,则,在圆锥中,平面,平面,则,即,又因为为直径,则,又,,平面,所以平面,又因为平面,所以,又因为分别是母线上靠近点的三等分点,所以且,又,所以,即.(2)解:由得,均为等边三角形,则,如图,以为坐标原点,垂直于的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,,的高为,则,,则,,,,,,分别是母线上靠近点的三等分点,所以,则,,则,,,,设平面的法向量为m=x1,令,则,设平面的法向量为n=x2,令,则,因为,所以,故二面角的余弦值为.20.某公司进行工资改革,将工作效率作为工资定档的一个重要标准,大大提高了员工的工作积极性,但也引起了一些老员工的不满.为了调查员工的工资与工龄的情况,人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况,结果如下:工龄(年)12345678年薪(万)9.9510.129969.9610.019.929.9810.04工龄(年)910111213141516年薪(万)10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得,,,,其中表示工龄为i年的年薪,.(1)求年薪与工龄i()的相关系数r,并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系(若,则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系).(2)在抽取的16名员工中,如果年薪都在之内,则继续推进工资改革,同时给每位老员工相应的补贴,如果有员工年薪在之外,该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整,且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差,由于人力资源部需要安抚老员工的情绪,工作繁重,现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差.(精确到0.01)附:样本的相关系数,,,,.解:(1)计算相关系数,因为,所以可认为年薪与工龄不具有线性相关关系.(2)因为,,所以在之内的范围是,显然第13号员工不在此范围之内,所以需要对余下的员工进行计算,剔除离群值后,剩下的数据平均值为,因为,所以,所以剔除离群值后样本方差为,故剔除离群值后样本标准差为.21.已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若有三个不同的零点,求a的取值范围.解:(1)当时,,,当x<1时,;当x>1时,,在上单调递减,在上单调递增.(2)由有三个不同的零点,有三个不同的根,又不是方程的根,有三个不同的根,令,,即与有三个不同的交点,,在和上单调递减,在上单调递增,且当时,,当时,,的极小值为,又为过点的直线,斜率为,由与有三个不同的交点,且,直线的斜率,,即a的取值范围为.22.如图,已知直线,M是平面内一个动点,且MA与相交于点A(A位于第一象限),,且MB与相交于点B(B位于第四象限),若四边形OAMB(O为原点)的面积为.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点的直线l与C相交于P,Q两点,是否存在定直线l′:,使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E,F两点,且为定值,若存在,求出l′的方程,若不存在,请说明理由.解:(1)设,所在直线方程为,联立方程得,同理,,所以四边形OAMB的面积为:,所以,所以动点M的轨迹C的方程为.(2)假设存在定直线l′:,使为定值.设,PQ中点,直线l方程为,联立方程,由,得,,,,设G到直线l′:的距离,,因为为定值,所以为定值.由为定值,故即,即当时,为定值,此时.所以存在定直线,使为定值.河南省安阳市林州市部分学校2023届高考数学一模试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为,所以.故选:B.2.已知全集,集合满足,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为全集,,所以,所以.故选:C.3.已知向量,若,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量,若,则,则.故选:D.4.已知,直线,若点满足,过点作直线的垂线,垂足为,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗点满足,所以点是以为焦点的椭圆,所以点的轨迹为,联立,消去得,,所以直线与椭圆相离,设与直线平行的直线方程为,联立,消去得令,解得,当时,,可得的最大值为,当时,,可得的最小值为,故选:A.5.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也作陀罗,闽南语称作“干乐”,北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形、现有一圆锥形陀螺(如图所示),其底面半径为4,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了4周,则该圆锥的表面积为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为,设圆锥的母线长为,则,所以,所以该圆锥的表面积为.故选:D.6.若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意,,不等式,令函数,求导得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,因此,则,所以实数的取值范围为.故选:B.7.已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为,高为3,则该棱台外接球的体积为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图为正三棱台,分别为正三棱台上下底面的中心,则该棱台外接球的球心在直线上,设上下底面外接圆的半径分别为,棱台外接球的半径为,则,所以r1=1,因为,则球心在三棱台内部,即线段上,设OO由勾股定理可得,解得,所以,所以该棱台外接球的体积为.故选:A.8.已知函数定义域均为为奇函数,为偶函数,若,且,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为为奇函数,为偶函数,所以,因为,所以,所以,因为,所以,则,所以①,所以,所以,即,所以函数是以为周期周期函数,由①得,所以,所以,所以.故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.端午节,又称端阳节、龙舟节、天中节等,与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日,赛龙舟与食粽是端午节的两大礼俗,这两大礼俗在中国自古传承,至今不辍,一个袋中装有大小一样的4个豆沙粽、2个成肉粽,现从中随机地取3个粽子,设取出的3个粽子中成肉粽的个数为X,则()A.的所有可能取值为0,1,2,3 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为袋中装有4个豆沙粽、2个成肉粽,从中随机地取3个粽子,所以的所有可能取值为0,1,2,且,,,则,.故选:BCD.10.已知,则()A. B.C.的最小值为 D.〖答案〗ABD〖解析〗由,得,则分别为直线与函数的图象交点的横坐标,而函数互为反函数,它们的图象关于直线对称,又直线与互相垂直,因此点与关于直线对称,则,对于A,,A正确;对于B,,B正确;对于C,函数单调递增,,,则,,即,,C错误;对于D,显然,因此,D正确.故选:ABD.11.设抛物线的焦点为为抛物线上一动点.当点运动到点时,,直线与抛物线相交于两点,点,则()A.抛物线的方程为B.的最小值为8C.以为直径的圆与轴相切D.若以为直径的圆与抛物线的准线相切,则直线过焦点〖答案〗ACD〖解析〗对于A:因为抛物线的准线为,设点到的距离为,则,解得,所以抛物线的方程为,故A正确;可得抛物线的方程为的焦点,准线.对于B:若,则,解得,即点在抛物线内,可得,当且仅当点为过点作的垂线与抛物线的交点时,等号成立,故B错误;对于C:设的中点为,过作y轴的垂线,垂足为,则,因为,可得,所以以为直径的圆与轴相切,故C正确;对于D:设直线,联立方程,消去x得,则,可得,,即的中点,若以为直径的圆与抛物线的准线相切,则,即,整理得,即,此时,满足题意,此时直线过焦点,故D正确;故选:ACD.12.已知,且,则()A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗设,则,则当时,,单调递增;当时,,单调递减,由,可得,即,又,,则则,则,故选项A判断正确,选项C判断错误;构造函数,则(当且仅当时等号成立)则在R上单调递增,又,则当时,,即,,则,又,当时单调递减,则,则故选:AB.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.展开式中的系数为60,则实数______.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为,令,则,所以展开式中的系数为,解得.14.写出一个过点和点的圆的方程:______.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗依题意,不妨求以为直径的圆,因为点和点,所以,的中点为,则以为直径的圆的方程为.故〖答案〗为:(〖答案〗不唯一).15.已知函数在上单调递增,在上单调递减,则图象的对称中心为______.〖答案〗〖解析〗由在上单调递增,在上单调递减可得,解得,又,解得,解得所以当时,,所以,令,得,所以图象的对称中心为.16.在正四面体中,M为线段AC上一点,且,点N为线段BC的中点,则直线与平面所成角的正切值是_____.〖答案〗〖解析〗如图,过点A作AO垂直底面,垂足为O,连接,因为平面,则,,过点M作于G,连接NG,又,则且,因为平面,所以平面,又平面,所以,则即为直线与平面所成角的平面角,设正四面体的棱长为2,则,所以,则,在中,则由余弦定理可得:,在中,,所以,所以直线与平面所成角的正切值是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.解:(1)设等差数列an的公差为,由,得,解得,所以;(2)由(1)得,所以.18.已知的内角的对边分别为.(1)求;(2)若为线段上一点,且,求的长.解:(1)因为,所以由正弦定理可得,因为,所以,即,因为,所以,所以,即.(2)由题意知,由余弦定理可得,即,整理得,解得或(舍去).因为,所以,故.所以,即的长为.19.如图,圆锥的顶点为,其母线长为3,点都在底面圆上,为直径,且,设分别是母线上靠近点的三等分点.(1)证明:.(2)当时,求二面角的余弦值.(1)证明:因为,,,所以,则,在圆锥中,平面,平面,则,即,又因为为直径,则,又,,平面,所以平面,又因为平面,所以,又因为分别是母线上靠近点的三等分点,所以且,又,所以,即.(2)解:由得,均为等边三角形,则,如图,以为坐标原点,垂直于的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,,的高为,则,,则,,,,,,分别是母线上靠近点的三等分点,所以,则,,则,,,,设平面的法向量为m=x1,令,则,设平面的法向量为n=x2,令,则,因为,所以,故二面角的余弦值为.20.某公司进行工资改革,将工作效率作为工资定档的一个重要标准,大大提高了员工的工作积极性,但也引起了一些老员工的不满.为了调查员工的工资与工龄的情况,人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况,结果如下:工龄(年)12345678年薪(万)9.9510.129969.9610.019.929.9810.04工龄(年)910111213141516年薪(万)10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得,,,,其中表示工龄为i年的年薪,.(1)求年薪与工龄i()的相关系数r,并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系(若,则可以认为年薪与工龄
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