2025届广东省部分高中新高三新起点联合测评数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分高中2025届新高三新起点联合测评数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以.故选：D.2.若，则（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，所以.故选：C.3.已知向量，，若，则m的值为（）A2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意知，，，则，解之可得，故选：D.4.已知，则（）A. B.0 C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.5.如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中点，连接，由E为CD的中点，得，，则是异面直线CM与AE所成的角或其补角，正方形中，，在中，，，，于是，所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为.故选：D.6.在等差数列中，若，则的值为（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗C〖解析〗由题意.故选：C.7.已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为在有且仅有2个极值点，所以，解得，因为在上单调递增，又，所以，解得，所以．故选：A．8.若，，，则事件A与事件B的关系是（）A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B互为对立C.事件A与事件B相互独立 D.事件A与事件B互斥又独立〖答案〗C〖解析〗对于A,D,∵，∴A与B能同时发生，不互斥，故A,D错误；对于B，∵，∴，又∵，，∴事件A与事件B不是对立事件，故B错误；对于C,∵，∴，∴事件A与事件B相互独立，故C正确，故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知二面角的平面角大小为，垂足分别为，，若，则下列结论正确的有（）A.直线与平面所成角的余弦值为B.点到平面的距离为C.平面与平面夹角的余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，过点作，使得，过点作，使得，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，因为，则，所以即为的二面角，则，同理可得，且四边形为矩形，又因，且平面，则平面，因为平面，所以，又因，平面，则平面，所以为直线与平面所成的角，因为，则，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，且，平面，则平面，因为平面，所以，又因为，平面，则平面，由A项知，所以，即点到平面的距离为，所以B正确；对于C中，连接，过点作，垂足为，由B知平面，因为平面，所以，又因为平面，则平面，因为平面，所以，所以为的二面角，又因为，由，可得，所以，所以，所以C错误；对于D中，设三棱锥的外接球球心为，由，取的中点为，取的中点为的中点为，连接，则平面，且平面，，因为平面，则，又因为平面，则平面，同理可得：平面，则四点共面，且，则，，所以，因为，所以，即外接球的半径为，则外接球的表面积为：，所以D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的值域为B.的对称中心为，C.在上的单减区间为D.在上的极值点个数为1〖答案〗AD〖解析〗，对A：由，则，故A正确；对B：令，，解得，，故的对称中心为，，故B错误；对C：令，，解得，，则在上的单减区间为，故C错误；对D：令，，即，，则在上的极值点有一个，故D正确.

故选：AD.11.平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（）A.曲线关于原点成中心对称 B.C. D.周长的最小值为〖答案〗AC〖解析〗由题意，，则，即，即，将代入有成立，所以曲线C关于原点O成中心对称，A正确；由，得，设，则，所以，则当时，有最大值，所以，所以B错误；由B可知，当时，有最大值为，所以，所以C正确；由，当且仅当时等号成立，周长的最小值为，而此时，不能构成三角形，即最小值不是，所以D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由题，所以，当且仅当，即，即时等号成立.13.已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，所以，解得，则.14.如图1，在直角梯形中，，，，，，点E，F分别为边，上的点，且，.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点M是四边形内（含边界）的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为__________.〖答案〗60π〖解析〗翻折前，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，同理可得，即为直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，所以，而，，所以，即，设，则，过点作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，即点到平面的距离为，因为三棱锥的体积，且为定值，所以要使三棱锥的体积取得最大值，则需取得最大值，设，，则，由勾股定理知，，，所以，，消去整理得，，，，当时，取得最大值12，即取得最大值，此时点在线段上，且，所以，，两两垂直，所以三棱锥的外接球就是以，，为邻边构成的长方体的外接球，所以，所以外接球的半径，所以当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．（1）解：函数的定义域为，求出得，当时，，函数在上单调递增，当时，由，得，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.（2）证明：当时，，令，函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，所以.16.已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求证：.（1）解：由题意，，又是和的等比中项，得，又，解得，；（2）解：，设，则，将以上两式相减得，；（3）证明：，，.结论得证.17.如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.（1）证明；平面.（2）若二面角的正弦值.（1）证明：设D为的中点，连接，，.因为在三角形中，，所以三角形是等边三角形，而是的中点，故由三线合一可知，，因为，是三角形的中位线，即，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，，O为的中点，所以.因为，平面，所以平面.（2）解：设三棱柱的棱长为，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.，，设平面的法向量为，则，可取.设平面的法向量为，则，可取.因为平面平面，所以平面的一个法向量为.，，故二面角的正弦值为.18.已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为.（1）求的方程；（2）证明：直线的斜率存在，且直线过定点.（1）解：因为虚轴长为，所以，将的坐标代入方程，得，解得，故的方程为.（2）证明：设，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为．当直线的斜率不存在时，设，联立得，即，由，得，解得（舍去）或（舍去），所以直线的斜率存在，设直线的方程为，代入的方程得，则，由，可得，即，化简得，即，所以或，当时，直线的方程为，直线过点，与条件矛盾，舍去；当时，直线的方程为，直线过定点19.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球.（1）求再打2球该局比赛结束的概率；（2）两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望；（3）若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.解：（1）平后，设事件“第个球甲得分”，则“第个球乙得分”，设“再打两球该局比赛结束”，则，所以.（2）的可能取值为所有正偶数，考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分，则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1分的概率为，所以，，……，……所以，记，则，以上两式相减得，所以，当趋于时，趋于4，所以.（3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为，则，当为奇数时，，当为偶数时，，所以该局比赛甲获胜的概率当趋于时，趋于，所以该局比赛甲获胜的概率为.广东省部分高中2025届新高三新起点联合测评数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以.故选：D.2.若，则（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，所以.故选：C.3.已知向量，，若，则m的值为（）A2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意知，，，则，解之可得，故选：D.4.已知，则（）A. B.0 C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.5.如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中点，连接，由E为CD的中点，得，，则是异面直线CM与AE所成的角或其补角，正方形中，，在中，，，，于是，所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为.故选：D.6.在等差数列中，若，则的值为（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗C〖解析〗由题意.故选：C.7.已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为在有且仅有2个极值点，所以，解得，因为在上单调递增，又，所以，解得，所以．故选：A．8.若，，，则事件A与事件B的关系是（）A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B互为对立C.事件A与事件B相互独立 D.事件A与事件B互斥又独立〖答案〗C〖解析〗对于A,D,∵，∴A与B能同时发生，不互斥，故A,D错误；对于B，∵，∴，又∵，，∴事件A与事件B不是对立事件，故B错误；对于C,∵，∴，∴事件A与事件B相互独立，故C正确，故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知二面角的平面角大小为，垂足分别为，，若，则下列结论正确的有（）A.直线与平面所成角的余弦值为B.点到平面的距离为C.平面与平面夹角的余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，过点作，使得，过点作，使得，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，因为，则，所以即为的二面角，则，同理可得，且四边形为矩形，又因，且平面，则平面，因为平面，所以，又因，平面，则平面，所以为直线与平面所成的角，因为，则，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，且，平面，则平面，因为平面，所以，又因为，平面，则平面，由A项知，所以，即点到平面的距离为，所以B正确；对于C中，连接，过点作，垂足为，由B知平面，因为平面，所以，又因为平面，则平面，因为平面，所以，所以为的二面角，又因为，由，可得，所以，所以，所以C错误；对于D中，设三棱锥的外接球球心为，由，取的中点为，取的中点为的中点为，连接，则平面，且平面，，因为平面，则，又因为平面，则平面，同理可得：平面，则四点共面，且，则，，所以，因为，所以，即外接球的半径为，则外接球的表面积为：，所以D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的值域为B.的对称中心为，C.在上的单减区间为D.在上的极值点个数为1〖答案〗AD〖解析〗，对A：由，则，故A正确；对B：令，，解得，，故的对称中心为，，故B错误；对C：令，，解得，，则在上的单减区间为，故C错误；对D：令，，即，，则在上的极值点有一个，故D正确.

故选：AD.11.平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（）A.曲线关于原点成中心对称 B.C. D.周长的最小值为〖答案〗AC〖解析〗由题意，，则，即，即，将代入有成立，所以曲线C关于原点O成中心对称，A正确；由，得，设，则，所以，则当时，有最大值，所以，所以B错误；由B可知，当时，有最大值为，所以，所以C正确；由，当且仅当时等号成立，周长的最小值为，而此时，不能构成三角形，即最小值不是，所以D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由题，所以，当且仅当，即，即时等号成立.13.已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，所以，解得，则.14.如图1，在直角梯形中，，，，，，点E，F分别为边，上的点，且，.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点M是四边形内（含边界）的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为__________.〖答案〗60π〖解析〗翻折前，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，同理可得，即为直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，所以，而，，所以，即，设，则，过点作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，即点到平面的距离为，因为三棱锥的体积，且为定值，所以要使三棱锥的体积取得最大值，则需取得最大值，设，，则，由勾股定理知，，，所以，，消去整理得，，，，当时，取得最大值12，即取得最大值，此时点在线段上，且，所以，，两两垂直，所以三棱锥的外接球就是以，，为邻边构成的长方体的外接球，所以，所以外接球的半径，所以当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．（1）解：函数的定义域为，求出得，当时，，函数在上单调递增，当时，由，得，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.（2）证明：当时，，令，函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，所以.16.已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求证：.（1）解：由题意，，又是和的等比中项，得，又，解得，；（2）解：，设，则，将以上两式相减得，；（3）证明：，，.结论得证.17.如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.（1）证明；平面.（2）若二面角的正弦值.（1）证明：设D为的中点，连接，，.因为在三角形中，，所以三角形是等边三角形，而是的中点，故由三线合一可知，，因为，是三角形的中位线，即，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，，O为的中点，所以.因为，平面，所以平面.（2）解：设三棱柱的棱长为，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.，，设平面的法向量为，则，可取.设平面