甘肃省定西市岷县第二中学2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

甘肃省定西市岷县第二中学2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6 B.C.8 D.2．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.3．已知数列是等比数列，且，则的值为（）A.3 B.6C.9 D.364．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A. B.C. D.5．椭圆的焦点坐标为（）A. B.C. D.6．已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（）A.1 B.C. D.7．变量，之间有如下对应数据：3456713111087已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.38．数列2，，9，，的一个通项公式可以是（）A. B.C. D.9．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A. B.C. D.10．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（）A.5 B.C. D.11．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B.C. D.12．已知点，点关于原点的对称点为，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是数列的前项和，且，，则__________14．关于曲线，给出下列三个结论：①曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线上任意一点到原点的距离都不大于.其中，正确结论的序号是________.15．命题“若，则二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）”的条件：_________，结论:_____________，它是_________命题（填“真”或“假”）.16．等差数列前项之和为，若，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布表如图所示.组号分组频数频率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.18．（12分）数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和19．（12分）已知函数，且在处取得极值.（1）求的值；（2）当，求的最小值.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，（1）求证：∥平面PCD；（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值21．（12分）（1）证明：；（2）已知：，，且，求证：.22．（10分）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积的最大值；（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B2、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B3、C【解析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.【详解】由等比数列的性质知：，，，所以，又，所以.故选：C4、B【解析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案.【详解】由已知条件得的圆心坐标为，圆心到直线为，∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.故选：.5、B【解析】根据方程可得，且焦点轴上，然后可得答案.【详解】由椭圆的方程可得，且焦点在轴上，所以，即，故焦点坐标为故选：B6、A【解析】由题设及椭圆方程可得，即可求参数a的值.【详解】由题设易知：椭圆参数，即有，可得故选：A7、D【解析】将样本中心点代入回归方程后求解【详解】，，将样本中心点代入回归方程，得故选：D8、C【解析】用检验法，由通项公式验证是否符合数列各项，结合排除法可得【详解】第一项为正数，BD中求出第一项均为负数，排除，而AC均满足，A中，，排除A，C中满足，，，故选：C9、D【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.故选：D.10、C【解析】先求的平方后再求解即可.【详解】，故，故选：C11、A【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.12、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.【点睛】这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.14、①③【解析】设为曲线上任意一点，判断、、是否满足曲线方程即可判断①；求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用即可得，即可判断③；即可得解.【详解】设为曲线上任意一点，则，设点关于原点、轴、轴的对称点分别为、、，因为；；；所以点在曲线上，点、点不在曲线上，所以曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称，故①正确；当时，；当，.此外，当时，；当时，.故曲线过整点，，，，，，故②错误；又，所以恒成立，由可得，当且仅当时等号成立，所以，所以曲线上任一点到原点的距离，故③正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.15、①.②.二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）③.真【解析】由二元一次不等式的意义可解答问题.【详解】因为，二元一次不等式所表示的区域如下图所示：所以在的条件下，二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界），此命题是真命题.故答案为：；二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）；真16、【解析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】由已知条件得,故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，（2）第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人（3）【解析】（1）根据频率分布表的数据求出b，c，d的值；（2）三个组共有60人，从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应抽3人，第四组应抽2人，第五组应抽1人；（3）记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，利用列举法结合概率公式得出答案.【小问1详解】由题意得，，【小问2详解】三个组共有60人，所以第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人.【小问3详解】记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含，共15个基本事件.其中2人来自同一组的情况有，共4种.所以，2人来自同一组的概率为.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件结合“当时，”计算作答.(2)由(1)求出，利用裂项相消法计算得解.【小问1详解】数列的前n项和为，，当时，，当时，，满足上式，则，所以数列的通项公式是【小问2详解】由(1)知，，所以，所以数列的前n项和19、（1）；（2）.【解析】（1）对函数求导，则极值点为导函数的零点，进而建立方程组解出a,b，然后讨论函数的单调区间进行验证，最后确定答案；（2）根据（1）得到函数在上的单调区间，进而求出最小值.【小问1详解】，因为在处取得极值，所以，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，故为函数的极值点.于是.【小问2详解】结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，而，所以.因为，所以.综上：的最小值为.20、（1）详见解析；（2）【解析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.【小问1详解】证明：如图所示：取PD的中点E，连接ME，CE，因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小问2详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面MBC的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面ABCD的一个法向量为：，所以，所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用分析法证明即可；（2）将与相乘，展开后利用基本不等式可证明所证不等式成立.【详解】（1）要证成立，即证，即证，即证，而显然成立，故成立；（2）已知，，且，则，当且仅当时，等号成立，故.22、（1）（2）（3）见解析【解析】(1)由题意求得，所