【APOS理论在高中数学函数概念教学中的应用探究（论文）9300字】

APOS理论在高中数学函数概念教学中的应用研究摘要函数是描述客观世界变化的重要数学模型，也是高中阶段最重要的数学概念之一。因此作为概念教学指导理论的APOS理论，在数学概念教学方面得到了广泛应用。APOS理论在函数概念的教学中的优势与局限就成为了值得研究的问题。为研究上述问题，首先采取文献分析法，从文献中梳理APOS理论的形成与发展过程等，函数发展以及高中教材相关部分。其次，进行比较研究，观察高中函数概念日常的教学实践活动，与APOS理论指导下的函数概念教学进行对比。最后，采取案例分析法，通过问卷和访谈的方式分析学生在不同教学方法下对概念的理解，得出APOS理论适用于高中函数概念教学的结论。并在此研究基础上，给出应用APOS理论进行概念教学的建议。关键词：函数概念；APOS理论；高中教学目录TOC\o"1-2"\h\u28551第一章绪论 126824一．研究背景 223210二．研究问题 29731三．研究意义 2294821.理论意义 21931第二章.理论知识 331385一．概念学习的形式 36209二．APOS理论 48476三．函数概念 628835四．从函数概念的产生及发展看APOS理论的适用性 69145第三章.高中数学函数概念教学现状调查及分析 817833一．目的 83508二．对象 819885三．方法 88075四．问卷内容及题目设计 828327五．结果分析 1017482第四章.总结与反思 1116487一．APOS各个层次阶段的典型问题 1117200二．教学建议 1219178三．研究的不足 1325391附录1教案对照 1314136参考文献 18第一章绪论一．研究背景克莱因曾说过函数概念是数学教育的灵魂，可见函数概念的重要性。而思想的感悟与经验的积累仅仅依赖教师的讲授很难达到一个理想的效果，它是一种隐性的东西，更重要的是要学生亲自参与数学活动，独立进行思考，得出感悟。但是在应试教育的环境下，很多学校重结果轻过程，致使老师过于重视解题步骤和做题技巧等应用方面的讲解，对概念教学的没有给到足够关注。老师们在课堂上口若悬河地讲着，学生们机械地记笔记，背诵定义，埋头做着一张又一张的卷子，像互不相容的油和水，没有思想上的交流，只有“呆板的演讲者”与“冷漠的观众”。而这种题海战术的教学方式，忽视了学生对题目本质的理解，学生只是掌握了几种做题模板，一旦进行变换，就无从下手了。同时也会让很多学生认为：概念就是一个规定，只需要记忆即可。为了改变这种状况，提高教学质量，就需要找到一个新的可行的教学方式。而APOS理论恰好提供了一个学生进行概念学习的模板：如果学生能在教师安排的数学活动之中，依次实现APOS的四个建构阶段，那么学生就掌握了这个概念。二．研究问题本文重点解决以下问题：APOS在函数概念教学中的优势及其局限性；在理论指导下，学生对函数学习的积极性以及成绩有何变化；观察各阶段易出现的问题，总结后，给出对应的解决方法。研究意义1.理论意义对国内外的APOS理论的理论发展和应用成果进行梳理，并结合自己的经验在教学实践中应用该理论，为教育教学理论的进一步完善提供案例。2.实践意义高中学生很多不能很好理解函数概念的的本质，一方面是因为函数概念具有抽象性的特点，另一方面是因为函数概念还有复杂的层次和很多相关的下层概念，上述两个方面让函数变成了中学数学中最难掌握的概念之一，而在APOS理论的指导下教师通过创设活动情境，引导学生主动地参与数学活动，采用自主合作或者探究的学习方式，达到提高课堂参与度和概念教学促进学生思维能力的目的，使学生自主思考，主动寻求思维水平的提升。APOS理论也能够作为辅助评价的工具来对学生目前所处的学习水平和学习成果作出评价，同时能通过观察学生在不同层次的表现，定位学生进行到了哪个建构层次，或者那一层次没能很好地进行，以便及时调整教学策略。第二章.理论知识一．概念学习的形式一般来说，概念的学习分为两种基本形式：概念形成以及概念同化【1】。1.概念形成概念形成是指个体重复地接触大量同类事物或现象，进行感知、分析、比较及抽象，用归纳的方法总结出这类事物的本质属性或共同特征，这种获得概念的方式叫做概念形成【2】。概念形成的标志是能够把握概念的本质特征，并在实际中运用，一般要经历三个阶段：（1）抽象化：概念形成首先要了解客观事物的属性或者特征，因此必须对具体事物的各种特征和属性进行抽象。（2）类化：在进行类化时，需要归纳客观事物的某些属性或特征的相似点即共同性，忽略他们之间的非本质的特征或属性的差异性。（3）辨别：辨别存在于于整个概念形成的过程当中，从发觉客观事物的属性或特征（抽象化），到对属性及特征的认同（类化），再到对客观事物本质属性或特征的差异的认识（辨别）。在概念形成的过程中，教师要依据学生的认知水平和心理发展规律来进行教学设计。给学生呈现的资料应当是正面例子，以便于学生分析事物间的共同特征，避免过多的干扰信息。2.概念同化概念同化，就是在学习者认知结构中已习得概念的基础上，用定义的方式直接提出概念。接受学习是概念同化的经典形式。概念同化一般也要经历三个阶段：（1）辨认：学习者辨认定义中的新、旧概念，寻找新旧概念之间的联系；（2）同化：将新学习的概念纳入到原有的认知体系当中；（3）强化：将新概念与反面例子相联系，加深概念的理解；概念同化的本质是用已掌握的概念来获得新概念，将新知识纳入原有知识结构当中【6】。所以所学知识需有逻辑意义，且能够与已有的知识建立起“实质性”的和“非人为”的联系。二．APOS理论1.APOS理论的发展（1）皮亚杰的自反抽象皮亚杰认为数学抽象活动的本质是一种“自反抽象”（即在反思自我的过程中总结出经验）。具体来说是以旁观者的身份观察自己所做的实践活动，并进行评价，得出某些结论。而“经验抽象”是与“自反抽象”相对立的，“经验抽象”是以真实的现象或者事物做为研究对象，来总结归纳这些事物的共同特征。“自反抽象”不以真实存在的对象作为原型，而是以人类施加于对象之上的活动为观察对象并进行反思，也就是是对人类自身活动进行反思的直接结果。皮亚杰的“自反抽象”指出了数学抽象活动的间接性的特点。数学抽象既可以是以真实事物为原型的直接抽象，也可以是以已经得到建构的数学对象做为原型的间接抽象，即是在更高层次上对已有的知识进行重新建构。认知心理学认为，学生的学习过程就是把教材给出的知识结构转化为自己的知识结构的过程，从具体到抽象，从感知到内化的过程，讲授新知识时，教师应根据学生的心理发展水平和认知规律，与教材相结合，找到学生的认知支撑点，并引导学生积极加入对外部提供的信息进行加工、处理和探索的过程中。（2）杜宾斯基的APOS理论APOS理论是杜宾斯基在皮亚杰的“自反抽象”的理论基础上提出的。他认为在自反抽象的过程中，涉及到了五种建构过程，即内化、调和、压缩、一般化以及反演，创立了APOS理论。2.APOS的四阶段模型第一阶段：操作/活动阶段（action）杜宾斯认为：“一个人不可能在对数学概念没有任何生活感知的基础上直接学习到数学概念的，学生应当透过心智结构对所学习的数学概念产生印象。”操作阶段作为概念学习的起点，以概念的理解为活动基础，要求每一个学生在概念学习的过程中，像数学家一样经历概念产生及发展的过程，也就是教师设置数学概念发生的背景，让学生以直接操作的形式初步认识数学对象，在实践中获得知识，为抽象和反思过程提供现实认知基础。在此过程中，学生受到与生活有关的问题的刺激，会本能地在大脑里搜寻与之相关的知识及经验。既有外显的行为，也有内隐的思维活动，如猜想、判断等。操作阶段是感性认知阶段，为数学概念和现实生活架构桥梁，于此同时还能够提升学生的课堂参与感，激发学生的学习兴趣和积极性，提高建构的自主性。例如，对于函数，要给出具体的数字来构造对应关系：；；；……给出具体例子后，再给出一些具体的数字，让学生自己填写，如；等。在这些活动过程中，学生主动的总结规律，归纳操作活动的实质，在实际的生活背景理解函数中与的关系。第二阶段：过程阶段（progress）学生不断重复活动，大脑就会进行思考与总结并对经验进行加工，从而将外显的行为内化，成为思维上的一种认知结构。这一阶段的特征是“自动化”，即学生能够在不接受外界刺激的情况下根据自己已有的活动经验，在脑中实施此程序，从而抽象出概念的本质属性，这时学生对概念的认识由感性层面上升到了理性层面。这一阶段主要是对上一阶段的操作进行归纳、反思，理解概念中的重要因素的来由和作用，是概念的形成阶段。例如，学生通过活动理解了，，等函数，归纳出其共同属性，意识到给定一个，就会有一个与之唯一对应。高一学生已经学习过了集合的部分知识，但是还没有明确对应关系。那么对应的概念就可以与集合的知识相联系，构建出函数关系的实质：即一个集合与另一个集合的对应关系。第三阶段：对象阶段（object）此阶段是学生在反复经历操作以及过程阶段后，意识到此过程可以作为一个独立的整体，并可以对整体进行操作，将它看作一个心理对象，用精确、严谨的形式化定义和符号进行表达。但此阶段新获得的对象还不能与学生原有的知识结构相联系，处于分离的状态，还需要继续加工。在函数概念的学习中，对应过程是对变量进行操作，对应过程作为结构控制两个变量之间的特定的关系，成为了一个对象。在这个建构层次上，作为过程的函数，本身就可以进行复合运算；而作为对象的函数，还能被更高一级的复合运算操作。第四阶段：图式阶段（scheme）图式阶段也叫概念模型，学生在经历了以上的活动后，获得的概念仍需进行不断地应用进行完善，最终形成一个包含具体数学活动、抽象过程、以及完整定义的心理图示，是学生采取同化、顺应等方式将新获得的对象纳入到原有的认知体系当中的过程，同时与其他心理图示建立起联系以及进行对比区别，形成节点之间相连接的网络。当函数概念的学习进行到对象阶段后，对作为过程的函数和作为对象的函数进行梳理，将函数总结成一个知识体系，其中包括函数的严谨的定义，定义域、值域以及对应法则等。在此基础上，再与其他版块如方程，圆锥曲线，不等式，数列等知识进行联系和区别，形成一个庞大的相互联结的知识网络。三．函数概念初中课本中的函数定义:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，我们就把称为自变量，把称为因变量，是的函数。高中课本中给出的函数定义:设，是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域（domain）;与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）。四．从函数概念的产生及发展看APOS理论的适用性波利亚说：“只有理解了人类是如何获得某些概念或者事实的知识，才能够对我们的孩子要如何获得这样的知识做出更好地判断。”函数概念从产生到发展再到成熟，经历了漫长地研究与探索。即使在今天，函数在初中、高中、大学的定义仍然有所不同，这也从侧面反映了函数的发展历史。【3】十七世纪，欧洲文艺复兴运动促进了科学技术的发展，进而推动了数学思想的进步。函数的思想萌生于人们对与事物运动的研究。如在相同高度下沿不同长度的木板下滑的物体，下滑的时间与木板的长度存在一定的关系，这时人们只能在具体的生活情境当中窥探函数，对得到的数据进行分析以得出规律，即“活动阶段”。费尔马、笛卡尔等人在此潮流下首先打破了传统的数学思想，用代数的方法来研究几何问题，并创立了解析几何，数学中开始应用变量，在此基础上函数概念生根发芽。莱布尼茨在他的一部手稿中，使用了“Function”一词，用它来表示任意随着曲线上点的变动而变动的量，例如切线以及法线的长度和纵坐标等。对函数概念的理解更加的抽象化【4】。到了18世纪，贝努利在此基础上对函数概念又进行了拓展，给出了函数的解析定义，即由变量和常数构成的式子叫做的函数。此时的函数不再拘泥于具体情境，出现了过程阶段的特征。1755年，欧拉给出了函数的变量定义：“如果某变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个些变量的函数【5】。”是初中函数定义采用的说法。二十世纪柯西定义函数为：如果对于的每一个值，有确定的值与之对应，那么就叫做的函数。此时柯西以经认为不需要随的值的改变而改变，只需要对任意的的取值，都有完全确定的的值与之对应。1873年狄利克雷提出了对应的观念：“对在某个区间上每一个确定的的值，都有一个确定的值。那么叫做的函数。”这个就是函数的经典定义。1851年，黎曼也给出了函数的对应定义：“假定是一个变量，若对于它的每一个值，未知量都有一个值与之对应，则称是的函数。”这样，函数的定义完全避免了依赖关系。20世纪初，人们开始用序偶来定义函数，布尔巴基学派认为，函数的定义应当更强调关系，于是使用了笛卡尔积。到了这个时候，函数概念已经由最开始的“解析式”经历了“变量说”又经历了“对应说”，最后发展成为为现在的“关系说”。函数概念抽象程度在这个过程中不断地加深。根据中学教材，初中阶段的函数概念与柯西给出的定义方法类似，而高中阶段函数概念更接近狄利克雷给出的函数概念，即“变量说”和“对应说”的区别。APOS理论具有鲜明的数学学科特色，因其对数学概念特有的“过程和对象的双重性”做出了分析。第三章.高中数学函数概念教学现状调查及分析一．目的通过观察和分析，了解函数概念教学的现状以及教学难点，并在此基础上寻求解决或改进的方法。二．对象所选对象为枣庄某高中高一师生，三班及四班学生共109人，老师五人，共114人。三．方法分班教学，分别使用APOS教学理论指导教学和正常的教学方法，完成函数概念学习后对实验班学生采取问卷的形式，同时对实验班与普通班进行测试，问卷当场收回。并对老师进行访谈对话。四．问卷内容及题目设计问卷：亲爱的同学们，这份问卷主要想了解你对函数概念的认识，请根据自身情况如实填写，问卷不记名，在选择的答案下打“√”1.你对函数概念的学习感兴趣吗？非常感兴趣一般不感兴趣2.通过老师的讲解你对函数概念的理解如何？非常了解一般不明白3.你认为更加深入的理解概念有助于做题吗？非常有帮助一般没帮助不确定4.你对概念进行记忆时，很少死记硬背，而是转换成自己的语言老记忆吗？经常偶尔从来不5.你能回忆起老师是怎么讲授这节课的吗？记忆犹新大概记得印象模糊6.你期待老师讲解这节课时选用的例子贴近现实吗？希望一般不会7.你对函数这节课掌握的如何？很好一般不太好8.学习新概念后，你会和从前的知识进行比较吗？经常偶尔从不9.你期待未来的函数课程吗？非常期待一般不期待10.你对课堂更好地进行有什么建议吗？有，请填写：没有测验1.叙述函数概念。2.写出函数的三要素。3.函数的解析式。4.函数的符号表示：5.与是同一个函数吗？为什么？6.用图像表示7.下列图像中是的函数的是:8.你认为与是什么关系：9.已知集合，下列从到的各个对应关系能表示是的函数的是（）A.B.C.D.10.下列每组表示同一函数的是A.B.C.D.11.函数的图像是五．结果分析1.教师对函数概念教学的理解从几位老师的反馈来看，老师们普遍认为函数概念教学是高中数学中比较难的版块，这主要是因为函数概念具有抽象性的特点，学生难以理解，或学生自己的想法与实际概念有偏差，纠正起来比较困难。虽然学生之前已经接触过函数概念的知识，但教学仍是困难重重，尤其是与其他知识点结合的题目，常常出错。在访谈中对教师教法的统计中发现，函数概念的引入，一般来说有两种方法：一种是从一般到特殊，即由教师先给出函数的概念，然后结合一些具体的例子来说明，辅助理解；另一种则是从特殊到一般，先给出一些常见的例子或者学生熟悉的例子，再对其进行分析归纳，抽象出函数的本质属性，在此基础上再对用精确的语言及符号给出函数的定义。前一种的方法的使用需要以初中函数知识为基础，进行对比，加深理解。但往往老师对初中阶段和高中阶段的知识进行了分割，加之学生初中时的学习水平不同，难以达到较好教学效果。2.学生学习方式统计：频率百分比背诵+刷题3669.23%推导理解+练习1223.08%联系生活47.69%合计52100%（排除无效答卷）显然有近七成的学生对函数的学习采取死记硬背+题海战术的方式，23.08%的学生会先重复函数概念的引入进行理解及推导公式再做题的方式来掌握。还有7.69%学生能与生活相联系。实验班与普通班成绩对比：平均成绩最高分最低分及格占比实验班81.79763100普通班80.594611003.学生测验答案分析对第一题的函数概念，学生的回答除了严格背诵课本定义外，大都抓住了函数概念的一个或几个要点，如“两个非空的数集的一种对应关系”“有一个x就有一个和它对应”“是可以描述生活问题的一种数学表示”……大部分同学都记住了对应关系，但对非空数集没有加以重视，还有同学仍然使用了初中的函数概念的定义方式。学生对三要素的回答基本正确，学生普遍答出“定义域、值域和对应关系”，但进一步细究，发现很多学生对判断两函数是否相等时出现了问题。判断时忽视定义域，随意约分，将字母表示的数与函数变量划等号等问题层出不穷。第四章.总结与反思一．APOS各个层次阶段的典型问题1.活动阶段一出现的典型问题活动阶段的目标是学生能够通过操作来感知对象之间的特定关系，进行主动的探索与思考，得到具体的函数关系。再对不同情境的函数关系进行比较分析，得出函数的本质特征，再用语言以及符号进行抽象，形成精确的函数概念，在此过程中理解函数关系及其确定过程，达到过程阶段。此阶段合作较多，容易出现“表面的热闹”，学生们兴奋地凑在一起讨论，穿梭在此起彼伏的讨论声中。但是课堂效率低下，时间难以把控，部分学生进行完后开始讨论无关内容，难有真正的思考与探讨。具体问题主要是不能准确的把握变化规律，即刻板地认为就是自变量，只能自变量，不能作为因变量或者在表达式中是四个字母均为变量；在操作阶段仅仅进行简单的模仿，而不能理解活动的意义；对函数概念本质把握不到位，只记得“自发性概念”典型的主要有认为函数就是解析式或者图像，当出现不能画出图像或列出解析式的函数式的情况时，就难以判断。2.过程阶段易出现的典型问题过程阶段需要学生能够把函数概念的形成看做一个对象。在这个阶段，学生需要掌握函数的三要素的意义及应用，这个阶段，函数只是两个数集之间的对应关系，还没能转化成可操作的“实体”及“对象”。具体问题主要有不能正确判断函数相同与否，常常忽略函数的定义域，随意约分；对函数的理解较单一，往往只会用解析式或只用函数图像表示；对活动阶段的某个原型记忆过于深刻，在带入其他函数时也通过原型的属性来分析新函数。3.图式阶段易出现的典型问题经历了活动和过程两个阶段后，学生的大脑中已经建立了函数的初步图式，包括函数概念的形成过程，严谨的符号及定义等。需要进一步的建立与其他概念的关系。达到高层次的图示。易出现的问题主要有：当函数整体作为对象参与运算时，仍将函数看作单独的个体，如时，分别对和进行运算，不能先确定定义域；解题思路混乱，都一榔头西一棒子，把所有能算的都列出来，主要是因为学生头脑中还没有形成完整的条理清楚的知识结构，知识点是离散的。二．教学建议（1）坚持螺旋式上升的原则，“过程”和“对象”两个阶段多次反复以实现过渡。（2）树立建构主义的教学观，遵循学生的认知水平，精心设计教学活动。（3）强调有意义学习，在理解的基础上进行学习，建立与其他知识之间的联系。（4）培养学生的数学思维能力。三．研究的不足本人能力有限，对APOS理论的研究深度不足，有很多问题存在不足：选取实验样本过小，只采访了几位老师及实习时的两个班的学生，存在误差；教学经验不够，存在有自己能力不足导致成绩偏差的可能。附录1教案对照常规教学设计：一、教师先给出映射的定义，并用画图的方法加深理解。在给出的图中，集合A与集合B之间既有“一一对应”，又有“一对多”，还可以同时“一一对应”和“一对多”（都满足映射的条件，以比较直观的方式对映射的概念进行了说明）。但对应还有许多其他的情况，如A、B之间有元素没有对应，“多对一”，或者是A中有元素没有对应同时出现“多对一”的情况，都不能算作映射。函数概念：设A，B是两个非空数集，是到的一个映射，那么映射就叫作到的函数。函数的三要素：定义域、值域、对应关系。练习:判断以下哪些是函数：；；；实验班教学设计：Action：对具体的函数进行操作，如；；；；……Progress：将操作加工为函数过程：；再对其他函数进行归纳如，……进行归纳，得出其他的函数也可以记为一个过程：；Object：此时将函数看做一个完整的对象，对函数整体进行运算，如在中两个函数都是作为整体来进行运算。Scheme：此时学生已经形成了函数的心理图示，包含了定义，定义域、值域以及对应法则等，甚至可以与其他图示进行联系。具体教案：一．复习初中函数知识：师：在初中时我们已经学习过函数的知识了，那么，现在还能记得是怎么定义的吗？生：回答初中函数的概念；师：那么，是函数吗？呢，呢？思考一下；生：学生进行思考及讨论，给出答案，同时开始思考变量之间的依赖关系。创设情境：下图曲线是某天上午9：00至下午3:00的上海证券交易所的股票指数情况，你能从图中得到什么信息？股票指数是时间的函数吗？是一个函数吗？（设计意图：如果用运动变化的观点来看待，显然难以解释这个函数