《机械控制工程基础 第2版》 课件 王洁 第5-7章 控制系统的误差分析、控制系统的频域分析、控制系统的稳定性

1第5章

控制系统的误差分析5.15.2单击添加标题稳态误差的基本概念稳态偏差的计算5.1稳态误差的基本概念系统的误差：是指被控对象的期望输出信号与实际输出信号之差。xor(t)是期望输出xo(t)是实际输出e(t)为误差，E1(s)误差拉氏变换5.1.1系统的误差与偏差系统的偏差：是指控制系统的输入信号与控制系统的主反馈信号之差。xi(t)是输入信号b(t)为主反馈信号

(t)为偏差5.1.1系统的误差与偏差闭环系统之所以能对输出xo(t)进行自动控制，就在于运用偏差E(s)进行控制。当偏差E(s)不等于零，实际输出与期望输出不同，E(s)起控制作用，力图将实际输出Xo(s)调节到期望输出Xor(s)。当偏差E(s)=0，控制系统无作用，实际输出是期望输出。5.1.1系统的误差与偏差误差信号E1(s)、e(t)与偏差信号E(s)、

(t)的关系：对于单位反馈系统，系统误差与偏差相同:因此，求出偏差E(s)、

(t)，就能求出系统误差E1(s)、e(t)。5.1.2系统的稳态误差与稳态偏差稳态误差定义：系统进入稳态后的误差，只有稳定的系统存在稳态误差。同理，系统稳态偏差为：稳态偏差系统稳态偏差,与系统开环传递函数和输入信号形式有关.5.2.1系统的类型系统开环传递函数:K为系统的开环增益;

i、Tj为各环节的时间常数；

为开环系统中积分环节的个数。系统分类，按

值分：

=0，无积分环节，称为0型系统。

=1，有一个积分环节，称为I型系统。

=2，有两个积分环节，称为II型系统。5.2与输入有关的稳态偏差系统稳态偏差为：一个积分环节，I型系统只与开环放大倍数K、开环传递函数中积分环节个数

有关1.位置无偏系数Kp系统输入为单位阶跃信号：5.2.2静态无偏系数系统稳态偏差为：令：因此，系统稳态偏差：Kp——位置无偏系数0型系统:I型、II型系统:0型系统I、II型系统5.2.2静态无偏系数系统稳态偏差：单位反馈系统对单位阶跃输入的响应曲线2.速度无偏系数Kv系统输入为单位斜坡信号时:5.2.2静态无偏系数系统稳态偏差为：令：因此，系统稳态偏差：Kv—速度无偏系数0型系统:I型系统:0型系统I型系统II型系统:II型系统5.2.2静态无偏系数系统稳态偏差：单位反馈系统对单位斜坡输入的响应曲线3.加速度无偏系数Ka系统输入为单位加速度信号时:5.2.2静态无偏系数系统稳态偏差为：令：因此，系统稳态偏差：Ka—加速度无偏系数0型和I型系统:II型系统:II型系统跟随单位加速度输入信号时的输出波形5.2.2静态无偏系数系统稳态偏差：表5-1在不同输入时不同类型系统中的稳态偏差5.2.2静态无偏系数表5-1概括了0型、I型、II型系统在各种输入量作用下的稳态偏差。对角线上方稳态偏差为无穷大，对角线下方稳态偏差为零。稳态偏差取决于系统结构和输入信号稳态偏差值与系统的开环放大倍数K有关。K值越大，稳态偏差越小；K值越小，稳态偏差越大。对于单位反馈系统，稳态误差与稳态偏差相等。对于非单位反馈系统，可由式

，

将稳态偏差转换为稳态误差。5.2.2静态无偏系数当输入信号是上述典型信号的线性组合：系统稳态偏差是它们分别作用时的稳态偏差之和。例5-1某单位反馈系统开环传递函数

，试分别求出系统对单位阶跃、单位斜坡、单位加速度输入时的稳态偏差。解

位置偏差：速度偏差：加速度偏差：5.2.2静态无偏系数,可知，该系统为II型系统，由位置无偏系数：速度无偏系数：加速度无偏系数：所以，该系统对三种典型输入静态无偏系数和稳态偏差分别为：例5-2已知一个具有单位负反馈的自动跟踪系统（I型系统），系统的开环放大倍数K=600rad/s，系统的最大跟踪速度

max=24rad/s，求系统在最大跟踪速度下的稳态。解

由题意知，系统的输入为恒速度输入，即单位斜坡输入，输入信号为I型系统在单位斜坡输入下的稳态为5.2.2静态无偏系数所以，该系统的稳态偏差为：例5-3已知系统方框图如图5-5所示，当系统输入信号为

时，求系统的稳态偏差。解根据系统方框图，求开环传递函数由传递函数知，系统为II型系统，开环增益将输入信号分解成典型信号叠加形式：因此，系统的总稳态偏差

ss为：5.2.2静态无偏系数习题5-12解：因为5-12系统的开环传递函数为求单位斜坡输入时，系统稳态偏差的K值所以，系统为Ⅰ型系统，开环增益为K/5。在斜坡函数输入时，习题5-14解：

由开环传递函数可知，此系统为Ⅰ型系统，开环增益为100。系统在单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位加速度信号作用下的稳态偏差分别为0、1/K、

5-14某单位负反馈控制系统的开环传递函数为试求当输入为时的稳态偏差。

输入信号是三种典型信号的叠加，即：所以，习题5-95-9控制系统结构图如题图5-12所示，其中扰动信号

。试问：能否选择一个合适的

值，使系统在扰动作用下的稳态偏差为

。N(s)解：由书中式（5-24），可知系统在干扰信号n(t)单独作用下引起的稳态偏差为：所以，本题系统的扰动作用稳态偏差为：由题意可得求得：习题5-9解：由书中式（5-24），可知系统在干扰信号n(t)单独作用下引起的稳态偏差为：5-9控制系统结构图如题图5-12所示，其中扰动信号

。试问：能否选择一个合适的

值，使系统在扰动作用下的稳态偏差为

。N(s)所以，本题系统的扰动作用稳态偏差为：由题意可得求得：22第6章控制系统的频域分析法控制系统的频域分析法频率特性的对数坐标图3频率特性概述1频率特性的极坐标图2最小相位系统54频域性能指标6.1频率特性概述频率特性频率特性的求法求法举例特点和作用6.1.1频率响应频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。当线性系统输入某一频率的正弦波，经过充分长的时间后，系统的输出响应仍是同频率的正弦波;而且输出与输入的正弦幅值之比，以及输出与输入的相位之差，对于一定的系统来说是完全确定的。6.1.2频率特性当不断改变输入谐波频率（由0变化到∞）时，6.1.3频率特性的求法（1）定义法：通过拉氏反变换求系统时间响应。用时间响应的幅值除以输入信号幅值，求幅频特性。用时间响应的相位角减去输入信号的相位角，求相频特性。6.1.3频率特性的求法

例6.1：已知系统的传递函数为求其频率特性。解：因为

所以再取Laplace逆变换并整理，得6.1.3频率特性的求法

例6.1：已知系统的传递函数为求其频率特性。频率特性为

表示为

或6.1.3频率特性的求法

例6.1：已知系统的传递函数为求其频率特性。

系统的幅频特性为

系统的相频特性为系统稳态输出响应为：6.1.3频率特性的求法

例6.1：已知系统的传递函数为求其频率特性。6.1.3频率特性的求法例6.26.1.4频率特性的特点和作用（1）时间响应分析主要用于分析线性系统过渡过程，以获得系统的动态特性；而频率特性分析则通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的稳态特性。（2）在研究系统结构及参数变化对系统性能的影响时，在频域中分析比在时域中分析要容易些。根据频率特性可较方便判别系统稳定性，对系统校正，使系统尽可能达到预期性能指标。（3）若系统在输入信号的同时，在某些频带中有着严重的噪音干扰，则对系统采用频率特性分析法可设计出合适的通频带，以抑制噪音的影响。6.2频率特性的极坐标图极坐标图的概念一个复数可以用复平面上的一个点或一条矢量表示。在直角坐标或极坐标平面上以

为参变量，当

由0→∞时，画出频率特性G(j

)的点的轨迹这个图形就称为频率特性的极坐标图，或称为幅相频特性图，或称为奈奎斯特图这个平面称为G(s)的复平面。6.2频率特性的极坐标图找出

=0及

→∞时G(j

)的位置，以及另外的1、2个点或关键点，再把它们连结起来并标上变化情况，就成为极坐标简图。绘制极坐标简图的主要依据是相频特性，同时参考幅频特性。有时也要利用实频特性和虚频特性。典型环节的Nyquist图比例环节积分环节微分环节惯性环节导前环节振荡环节二阶微分环节延时环节（1）比例环节（2）积分环节（3）微分环节（4）惯性环节（5）一阶微分环节（或称导前环节）（6）振荡环节（6）振荡环节由此，有当λ=0时，即ω=0时，当λ=1时，即ω=ωn

时，当λ=∞时，即ω=∞时，（6）振荡环节由，求得又因为，所以得谐振频率从而可求得谐振峰值（6）振荡环节不同时振荡环节的极坐标图（7）二阶微分环节由于即二阶微分环节的极坐标图（8）延时环节由于即幅频特性相频特性延时环节的极坐标图6.2.3频率特性的极坐标图画法系统Nyquist图的一般作图方法①写出系统幅频特性和相频特性表达式；②分别求出ω=0和ω→∞时的幅值和相位；③观察Nyquist图与实轴的交点，交点可利用Im|G(jω)|=0的关系求出，也可利用关系式∠G(jω)=n*180°（n为整数）求出；6.2.3频率特性的极坐标图画法④观察Nyquist图与虚轴的交点，交点可利用的关系求出，也可以利用关系式求出；⑤必要时画出Nyquist图中间几点；⑥勾画出大致曲线。6.2.3频率特性的极坐标图画法[例6.3]已知系统的传递函数为试绘制开环频率特性极坐标图。【解】系统的频率特性为6.2.3频率特性的极坐标图画法6.2.3频率特性的极坐标图画法

(

)A(

)Re(

)Im(

)0-90°∞-KT-∞∞-180°000在低频段将沿着一条渐近线趋于无穷远点，这条渐近线过点(-KT，j0)，并且平行于虚轴直线。6.2.3频率特性的极坐标图画法6.2.3频率特性的极坐标图画法[例6.4]已知系统的传递函数为试绘制其Nyquist图。【解】系统的频率特性为

6.2.3频率特性的极坐标图画法6.2.3频率特性的极坐标图画法6.3频率特性的对数坐标图绘制方法举例应用一仿真实验举例应用二典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）对数坐标图典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）比例环节惯性环节微分环节积分环节导前环节振荡环节二阶微分环节延时环节典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）(4)惯性环节转角频率典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）(4)惯性环节惯性环节的对数坐标图典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）转角频率：渐近线相交点。一阶微分环节的对数坐标图20dB/dec典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）(6)振荡环节典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）(6)振荡环节振荡环节的对数坐标图典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）（7）二阶微分环节因为即若令则有二阶微分环节的对数坐标图典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）延时环节的对数相频特性即幅频特性和相频特性

（8）延时环节因为典型环节频率特性的对数坐标图（Bode图）对数的相频特性Bode图的绘制方法1）将G(s)化成如下标准形式2）求出G(jω)3）确定各典型环节的转折频率并排序4）确定各典型环节对数幅频特性的渐近线5）根据误差修正渐近线，得出各环节精确曲线6）将环节对数幅频特性叠加（不包括系统总增益K)7）将叠加后的曲线上下移动20lgK，得到对数幅频特性8）做各环节的对数相频特性，然后叠加而得到总的对数相频特性9）有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性应加上-

Bode图的绘制方法例6.5已知某系统的传递函数为画其Bode图。解：1)为了避免绘图时出现错误，应把传递函数化为标准形式（惯性、一阶微分、二阶微分环节的常数项均为1），得上式表明，系统由一个比例环节(K=3亦为系统总增益)、一个一阶微分环节、二个惯性环节串联组成。Bode图的绘制方法2)系统的频率特性为

3)求各环节的转角频率ωT惯性环节1:惯性环节:一阶微分环节:Bode图的绘制方法(4)做各环节的对数幅频特性渐近线，如图所示。(5)对渐近线用误差修正曲线修正（本题省略这一步)。Bode图的绘制方法(7)a’将上移9.5dB（等于20lg3，是系统总增益的分贝数），得系统对数幅频特性a。(8)做各环节的对数相频特性曲线，叠加后得系统的对数相频特性，如图所示。(6)除比例环节外，将各环节的对数幅频特性叠加得折线a’。6.4频域性能指标频率特性的性能曲线（1）零频值A(0)零频值A(0)表示频率趋近于零时，系统输出幅值与输入幅值之比。A(0)越趋近于1，输出幅值越能完全准确地反映输入幅值，系统的稳态误差越小。（2）复现频率

M与复现带宽0-

M若事先规定一个Δ作为反映低频输入信号的允许误差，与A(0)的差第一次达到Δ时的频率值，称为复现频率。0-

M表示复现低频输入信号的带宽，称为复现带宽。6.4频域性能指标系统出现谐振峰值的频率称为谐振频率。在A(0)=1时，Mr与Amax在数值上相同。一般在二阶系统中，选取Mr<1.4，因为当阶跃响应的最大超调量Mp<25%，系统能有较满意的过渡过程。频率特性的性能曲线6.4频域性能指标频率特性的性能曲线一般规定A(ω)由A(0)下降3dB时的频率，即A(ω)由A(0)下降到0.707A(0)时的频率称为系统的截止频率，用ωb表示。6.5最小相位系统6.5最小相位系统本章小结通过学习本章，掌握系统频率特性的概念和解析求法，掌握系统频率特性的极坐标图和对数坐标图的画法82第7章控制系统的稳定性线性系统的稳定性几何稳定性判据3系统稳定性的基本概念及稳定条件1代数稳定性判据24系统的相对稳定性7.1系统稳定性的基本概念及稳定条件系统稳定性定义：系统稳定性是指系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的状态或趋于一个新的平衡状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性；否则，称系统是不稳定的，或不具有稳定性。稳定性是系统固有的特性，只取决于系统结构参数，而与初始条件及外界作用无关。系统稳定性的条件当系统输入为单位脉冲函数

(t)，如果输出xo(t)随着时间的推移

趋于零，即设线性定常系统：闭环传递函数为：系统稳定的充分必要条件：系统的传递函数特征方程：此方程的根称为系统特征根，特征方程的解可表示为：

若所有特征根si的实部

j均为负值，则零输入响应最终将衰减到零即，这样的系统是稳定的；若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随时间的推移而发散，即,系统不稳定。系统稳定的充分必要条件：充要条件：系统特征方程根全部具有负实部；即：如果一个系统的特征根全部落在[s]平面的左半部分，则该系统是稳定的；否则系统是不稳定。（当特征根具有负实部，则此特征根在复平面左侧。）系统的闭环极点中，若有极点实部为零，而其余极点全部位于[s]平面左半部时，称系统为临界稳定状态。当系统处于临界稳定状态时，系统输出信号将出现等幅振荡；在工程中这样的系统通常不能被采用，因为这样的系统参数微小的变化就会导致系统的不稳定。为了判断系统的稳定性，除了直接求出系统特征根外，还有许多其他判断系统稳定性的方法，用这些方法不必解出特征根就能确定系统的稳定性。7.2代数稳定性判据5.2.1劳斯判据其中，所有的系数均为实数。这个方程的根没有正实部的必要(但并非充分)条件为:Routh判据的必要条件：

(1)方程各项系数的符号一致。(2)方程各项系数非0。7.2.1劳斯判据特征方程：首先列出下面的劳斯表其中，前两行中不存在的系数可以填“0”元素b1、b2…c1、c2…e1、e2…f1、g1根据下式计算7.2.1劳斯判据计算bi时，所用二阶行列式是由劳斯表右侧前两行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的。系数b的计算一直进行到其余值为零时止。7.2.1劳斯判据计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二、三行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的;同样，系数c的计算一直进行到其余值为零为止。7.2.1劳斯判据——判定标准劳斯判据判定系统稳定的充分必要条件：若劳斯表中第1列元素的符号没有变化，则系统稳定；若第1列元素有变化，其变化的次数等于该特征方程的根在[s]平面右半部的个数，则系统不稳定。7.2.1劳斯判据例7.1系统的特征方程为用劳斯判据判断系统是否稳定。解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各个参数如下7.2.1劳斯判据第一列元素符号改变，因而系统不稳定。符号改变两次，有两个根在复平面右半部分7.2.1劳斯判据—特例1（1）劳斯表某一行的第一列元素为零，其他项元素均为非零。判定方法：将等于零的那一行第一项元素替换为任意小的正数

；继续计算劳斯表后续行元素如果劳斯表第一列元素符号有变化，其变化次数等于[s]右半平面上特征根个数，表明该系统不稳定。7.2.1劳斯判据—特例1例7.2已知线性系统的特征方程，用劳斯判据判断系统稳定性。解：可以将0元素替换为一小的正数

，继续计算劳斯表。各项系数非零且同号，因此可以进一步用劳斯判据。计算劳斯表为第一列元素中有两次符号改变，系统不稳定7.2.1劳斯判据—特例2（2）劳斯表某一行元素全为零判定方法：第一步，采用0元素行的上一行元素作为系数建立辅助方程计算辅助方程对s的导数用各项系数来代替0元素行用替换后新得到的元素行继续计算劳斯表根据劳斯表中第一列各元素的符号改变情况判断系统的稳定性7.2.1劳斯判据—特例1例7.3已知线性系统的特征方程，用劳斯判据判断系统稳定性。解计算劳斯表为用系数8和0替换原表中

行中的0元素的劳斯表为第一列元素符号没有改变，说明特征方程没有根在[s]右半平面，系统稳定Routh判据的应用——分析系统参数对稳定性的影响引申例题：某机械系统的系统方框图如下图所示，试确定保证系统稳定时，系统参数K1的取值范围-解：系统闭环传递函数为：建立劳斯表：特征方程为：结果：7.2.2赫尔维茨判据系统的传递函数系统的特征方程式7.2.2赫尔维茨判据7.2.2赫尔维茨判据5.2.2赫尔维茨判据例7.6单位负反馈系统的开环传递函数为7.2.2赫尔维茨判据7.3几何稳定性判据劳斯判据建立在已知闭环系统的特征方程为基础，而有些实际系统的特征方程是无法列写的，通过劳斯表仅可以推断出系统是否稳定却无法判断系统稳定的程度。奈奎斯特提出一种用闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)的频域曲线（即奈奎斯特图），不但可以判断稳定性，而且还能够指出稳定的程度。设系统的开环传递函数7.3.1幅角原理奈奎斯特稳定判据需要用到复变函数中的辐角原理，对于复变函数，若在[s]平面上任意选择一条封闭曲线Ls，只要曲线Ls不经过F(s)的极点和零点，则在像平面[F(s)]上的像也为一条封闭曲线，记为LF。若LF绕原点按顺时针转N周，则:N=Z-P其中,Z和P分别为包含在Ls内F(s)的零点和极点的个数。关于幅角原理的说明LFRe

Lsj

7.3.1幅角原理根据复数性质可知，两个复数积的幅角等于它们幅角的和。F(s)的幅角为设F(s)的零点、极点、分布如图7.2(a)所示。7.3.2奈奎斯特稳定性判据1.奈奎斯特路径在[s]的复平面上，以虚轴由-

到+

的直线为左边界，做一个顺时针包围右半面的封闭曲线，以+

为半径从虚轴的正向顺时针转

角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。称封闭曲线为复平面[s]上的奈奎斯特图。L1和L2两段线包围了复平面[s]的右半面。7.3.2奈奎斯特稳定性判据2.用系统闭环传递函数表示的奈奎斯特判据

当已知系统有Z个零点时，系统的传递函数可以表示为

绘制出Ls的由GB(s)映象的曲线绕原点按顺时针转的周数N来判断系统的稳定性，当N=Z时，系统是稳定的；当N<Z时，系统是不稳定的。7.3.2奈奎斯特稳定性判据3.用系统的开环传递函数表示的奈奎斯特判据+-在通常情况下，并不能容易地得到系统闭环传递函数，只能得到闭环系统的开环传递函数，形式为对于上图中的闭环控制系统，其传递函数为系统的特征方程由闭环系统传递函数的分母等于零得出，即系统的特征方程为7.3.2奈奎斯特稳定性判据系统的特征方程：+-设：则：可见，闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)的极点就是GB(s)的零点，而D(s)的零点就是闭环系统GB(s)的极点。因此，可以用D(s)来判别闭环系统的稳定性所以系统稳定的充要条件是：D(s)函数在Ls内有P个极点时，其像曲线绕D(s)像平面原点逆时针转P圈。7.3.2奈奎斯特稳定性判据因此，奈奎斯特稳定判据可表述为：当开环传递函数G(s)H(s)在复平面[s]的右半面内没有极点时，闭环系统的稳定性的充要条件是：G(s)H(s)平面上的映射围线

L不包围（-1，j0）点。

[D(s)]平面和[GH)]平面的奈奎斯特图关系[D]D(s)平面与[GH]平面间的关系是：G(s)H(s)=D(s)-17.3.2奈奎斯特稳定性判据如果G(s)H(s)在[s]的右边面有极点，闭环控制系统稳定的充分必要条件为：当

由-

向+

变化时，开环频率特性G(s)H(s)的奈奎斯特周线Ls的映射围线

L沿逆时针方向包围（-1，j0）点的周数等于G(s)H(s)在复平面[s]的右半面内极点的个数p。因此又可叙述如下：闭环系统稳定的充要条件是，当

由0向+变化时，开环奈奎斯特图应当按逆时针包围（-1，j0）点的p/2周，p是开环传递函数右半平面内极点的个数。7.3.2奈奎斯特稳定性判据例7.7三个闭环系统的开环传递函数为Gk(s)=k/(1+T1s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)(1+T3s)，系统时间常数T1、T2、T3均大于零，系统的奈奎斯特图分别如图7.8所示，根据奈奎斯特稳定判据判定闭环系统的稳定性。解：（1）系统时间常数均大于零，故开环系统在[s]的右半面内没有极点，p=0。（这三个系统均是开环稳定的）（2）当

由0变到+

时，开环奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，（3）根据奈奎斯特稳定判据，无论k取何正值，系统都是稳定的。7.3.2奈奎斯特稳定性判据例7.8系统的开环传递函数分别为Gk(s)=k/s(1+T1s)、Gk(s)=k/s(1+T1s)(1+T2s)，系统时间常数T1、T2均大于零，所对应的系统的奈奎斯特图分别如图7.9所示，根据奈奎斯特稳定判据判定闭环系统的稳定性。解：1）开环传递函数包含积分环节，奈奎斯特曲线不封闭，不能说明开环传递函数的奈奎斯特曲线是否包围（-1，j0）点。2）在奈奎斯特曲线上需画出辅助曲线来判定闭环系统的稳定性。方法是：以原点为圆心，以无穷大为半径作圆，从奈奎斯特曲线的起始端（

=0）沿逆时针方向转过

90°（

是积分环节个数），并与实轴相交，该交点即为奈奎斯特曲线的新起点，使曲线封闭，再进行稳定性判断。7.3.2奈奎斯特稳定性判据原图补充后的图由已知条件得，开环传递函数无正实部极点，即p=0；当

由0→+

变化时，图（a）中开环极坐标图在（-1，j0）点左侧没有穿越负实轴，所以系统闭环稳定。而图（b）中开环极坐标图在（-1，j0）点左侧对负实轴有一次负穿越，所以系统闭环不稳定。7.3.2奈奎斯特稳定性判据关于奈奎斯特判据的几点说明：（1）奈奎斯特判据的证明虽然较复杂，但应用简单。一般系统开环传递函数多为最小相位传递函数，p=0，故只看开环奈奎斯特轨迹是否包围（-1，j0）点，若不包围，系统就稳定。（2）当开环传递函数为非最小相位传递函数，即p0时，先求p，再看开环奈奎斯特图包围点（-1，j0）圈数，若逆时针包围点（-1，j0）p圈，则系统稳定。（3）在p=0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面无极点时，称开环稳定；在p0，即开环传递函数在[s]平面的右半面有极点时，称开环不稳定。(4)开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。(5)开环不稳定而其闭环却能稳定的系统，在实用上有时是不太可靠的。7.3.2奈奎斯特稳定性判据例：7.3.2奈奎斯特稳定性判据方法二：利用穿越的方法注意到，-∞到+∞的像是对称的，故可只画出ω由0到+∞所对应的像轨迹;特别是当包围(-1,j0)点转动的周数比较多时，可引入“穿越”的概念。对于复杂的开环极坐标图，还可以采用开环系统奈奎斯特图中正、负穿越的概念来判别系统稳定性。穿越的概念正穿越：如果开环极坐标图按逆时针方向（从上向下）穿过负实轴，称为正穿越，正穿越时相位增加；负穿越：按顺时针方向（从下向上）穿过负实轴，称为负穿越，负穿越时相位减小。7.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定判据又可以叙述如下：闭环系统稳定的充要条件是：·当

由0向+

变化时，开环频率特性极坐标图在点（-1，j0）左侧正、负穿越负实轴次数之差应为p/2，p是开环传递函数正实部极点的个数。·G(s)H(s)起始于负实轴上，或终止于负实轴时，穿越次数定义为1/2次。·若开环极坐标图在点（-1，j0）左侧负穿越负实轴次数大于正穿越的次数。则闭环系统一定不稳定。7.3.2奈奎斯特稳定性判据（a）图：开环传递函数在复平面的右半面有一个极点，即P=1，因而开环是不稳定的；而开环传递函数的奈奎斯特曲线穿越次数为1/2，闭环系统是稳定的。（b）图：，同样是开环传递函数的奈奎斯特曲线穿越次数为1/2，虽然开环在复平面的右半面没有极点，是稳定的，但闭环系统不稳定。奈奎斯特曲线穿越次数为1/2的情况a）P=1b）P=07.3.2奈奎斯特稳定性判据解：p=2，

由0向变化，奈奎斯特图在点（-1，j0）左侧正负穿越负实轴次数之差是2-1=1=p/2，所以闭环系统稳定。闭环系统的稳定性与系统典型传递环节的参数有关，参数的变化往往会导致系统由稳定转向了不稳定。例7.9已知系统开环传递函数有2个正实部极点，开环极坐标图如图7.14所示，试分析闭环系统是否稳定。开环伯德图判定闭环系统的稳定性通常，要想得到系统的精确极坐标图是比较困难的，而系统的对数坐标图相对容易画出。因此，希望能够利用系统开环伯德图来判别闭环系统的稳定性。由此带来了一个关键的问题：极坐标图中（-1，j0）点左侧正、负穿越负实轴是如何和对数坐标图相对应的？它们之间有什么样的内在关系？开环伯德图判定闭环系统的稳定性根据奈奎斯特稳定性判据，若一个控制系统，其开环是稳定的，闭环系统稳定的充分必要条件是开环奈奎斯特特性图不包围(-1,j0)点。1、伯德图与奈奎斯特图的关系

图中的特性曲线1对应的闭环系统是稳定的，而特性曲线2对应的闭环系统是不稳定的。开环伯德图判定闭环系统的稳定性所以，对应下图特性曲线1(闭环系统是稳定的)在ωc点处：而在ωg点处：开环伯德图判定闭环系统的稳定性由此可知：开环奈奎斯特图上的单位圆与伯德图对数幅频特性的0dB线相对应；单位圆与负实轴的交点与伯德图对数相频特性的-π轴对应。奈奎斯特图B