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文档简介

第五讲函数的单调性和最值

【基础知识】

I.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

设函数>=次龙)的定义域为A,区间如果取区间M中任

意两个值X”九2,改变量Ar=X2—第>0,则当

定义△y=/te)—/Ui)>0时,就称

△\=心2)一面)<0时,就称函数y

函数y=*x)在区间M上是增

=«x)在区间M上是减函数

函数

如)

图象:贝阳);屁)

O1~~*

O\x""£*

描述t

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单

调性,区间M称为单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意xG/,都有/U)WM;(3)对于任意xe/,都有心)2怠

条件

(2)存在x()e/,使得加o)=M(4)存在次£/,使得/U))=M

结论M为最大值M为最小值

【考点剖析】

考点一确定函数的单调性(区间)

【典例1-1】(2021•陕西高三其他模拟(理))已知/(X)是定义在R上的奇函数,且在(75,0)上单调递

增,若/(—1)=/(2)=1,则下列不等式错误的是()

D.仙一1

A.B.C./(3)>1

【答案】D

【详解】

根据题意可得函数/(X)在(0,+8)上为增函数,

由/(-1)=7(2)=1可得/(I)=/(-2)=-1,

对A,由/(X)在(YQ,0)上为增函数,且/.(-2)=-1,

所以--2)=-1,故A正确;

对B,由=/(1)=-1,故B正确;

对C,由函数/(X)在(0,+8)上为增函数,所以/(3)>/⑵=1,故C正确;

对D,由函数在(0,+8)上为增函数,所以/Q卜/⑴=一1,故D错误.

故选:D

【典例1-2】(2021•云南丽江市•高一期末)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+00)上单调递增,且/(2)=0,

则不等式小/(幻〉0的解集为()

A.(—co,—2)U(2,+oo)B.(—2,0)U(0,2)

C.(―2,0)U(2,+©D.(-00,-2)u(0,2)

【答案】C

【详解】

义在R上的偶函数/(x)在[0,+8)上单调递增,且/(2)=0,

所以/(x)在(F,0)上单调递减,且/(-2)=0,

“⑴〉。叱[x3>0〉。或[尻x<0)<。’

故x>2或-2<x<0,

故选:C

【跟踪训练1】(2021•安徽池州市•池州一中高三其他模拟(理))若定义在/?上的奇函数f(x)在((),+")

上单调递增,且/(2)=0,则不等式4"(x—1)40的解集为()

A.(F,T]U[3,M)B.U[t3]

C.[-l,0]U[l,3]D.[-1,0]U[3,-KX))

【答案】C

【详解】

因为犷(x-l)<0,

x<0x>0

叫.“1)20或

/(i)wo'

因为f(x)在(0,+e)上单调递增,且/'(2)=0,

x>0x>0

所以=>l<x<3,

<0<x-l<2

因为f(x)在R上为奇函数,

所以/(X)在(F,0)上单调递增,且/(—2)=0,

x<0x<0

叫/(x-1)20-1Kx<0,

综上:不等式的解集为[―1,O]U[L3].

故选:C.

【跟踪训练2】(2021•全国高考真题(文))下列函数中是增函数的为()

A./(x)=-xB./(x)=pc./'(x)=fD.f(x)=&

【答案】D

【详解】

对于A,/(x)=T为R上的减函数,不合题意,舍.

对于B,〃x)=K)

为/?上的减函数,不合题意,舍.

13/

对于C,f在(-00,0)为减函数,不合题意,舍.

对于D,/(x)=正为R上的增函数,符合题意,

故选:D.

x2+2xx20

【跟踪训练3】(2021.江西高三其他模拟(文))已知函数/(x)=<2一’则不等式

-X+2x,x<0,

/(3x+2)</(x_4)的解集为()

A.(-oo,-3)B.(一8,一

C.(-<»,-1)D.(-oo,l)

【答案】A

【详解】

易得函数/(x)在R上单调递增,

则由/(3x+2)</(x-4)可得3x+2<x—4,解得x<—3,

故不等式的解集为(—,-3).

故选:A.

考点二求函数的最值

【典例2-1】(2021.江苏高三专题练习)函数y=a*(。>0,且awl)在1,2]上最大值与最小值的差为

2,则。=()

A.—1或2B.2C.-D.一

24

【答案】B

【详解】

根据题意,a>0,且awl,由y=优的单调性,可知其在[1,2]k是单调递增函数或单调递减函数,总是

在%=1和2时一,取得两个最值,即卜一/卜2,即a—/=2或/_“=2,

当方程a—1=2成立,即02-4+2=(),判别式△=一3<0,该方程无实数解:

当方程片一。=2成立,即/一〃一2=0,解得a=2(。=一1舍去),

故选:B.

【典例2-2】(2020•上海高三一模)设x>0,y〉0,若2x+—=1,则上的()

yX

A.最小值为8B.最大值为8

C.最小值为2D.最大值为2

【答案】A

【详解】

因为x>0,y>0,所以2>0,

X

因为2x+'=l,所以y=—J—,x^-,

y'\-2x2

2_]_]_]

贝ijxx(l-2x)-2x2+x(1丫1,

-2Ix——4)+-8

故当x=,时,上最小,=8,

4X1工人in

故选:A.

【跟踪训练1】(2020•全国高三专题练习)己知函数/(x)=x+JF■工(。>0)的最小值为2,则实数“=

()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【详解】

山2*-。20得xNlog?。,故函数/(x)的定义域为[kga,”),

易知函数/(x)在[log?上单调递增,

所以/(xlm=/(log2a)=log2a+N*a_a=log2a=2,

解得。=4

故选:B.

【跟踪训练2】(2020•广东揭阳市•高三期中)已知基函数Hx)=k的图象过点(3,1),则函数g(x)=(2x—

1成外在区间g,2]上的最小值是()

2

A.-1B.0C.-2D.

2

【答案】A

【详解】

由题设3"=-^a=-1,

3

1

故g(x)=(2x-l)xT=2一!在2

3-上单调递增,

则当x时取最小值=2-3=7

故选:A

【跟踪训练3】(2020.河北邢台市.高三其他模拟(理))函数/(幻=馆卜2—1)—联工-1)在[2,9]上的最

大值为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】

函数/(x)=1g(》2-1)一lg(x-l)=lg(x+l),

函数在区间[2,9]上是增函数,

所以函数的最大值为:/(9)=lg(9+l)=l.

考点三函数单调性的应用

【典例3-1】(2021•全国高三其他模拟(理))已知函数/(x)=|g—3x+l,且/(/)+/(3。-4)>2,

则实数〃的取值范围是()

A.(-4,1)B.(-3,2)C.(0,5)D.(-1,4)

【答案】A

【详解】

2V-1

解:令g(x)=-------3x,则/(x)=g(x)+l,

2+1

V/(a2)+/(3a-4)>2,

•••g(a2)+g(3a-4)〉0,

2~x-l(2'-1、

:g(T)=^77-3(-x)=-——-3x=-g(x),

乙II1乙ILJ

g(x)是K匕的奇函数,

二g(/)+g(3a—4)>0uj'化为g(/)>g(4一3。),

21c,/、22In2c16In2c八

y.zx2-12g(x)=^--3=21n2x---------3<——3<0

又日,八

・队g(x)=-2--"--+--l---3x=1----2--A--+--1----3x,(2+1)2A+]—+c2/2

所以g@)在/?上是减函数,

・,.Q2<4-3Q,解得,Tvavl,

故选:A.

【典例3-2】(2021•四川遂宁市•高三三模(文))已知函数/(%)=2-*-4',若

25

a=0.3~0,&=log0250.3,c=log032.5,则()

A./(*)</(«)<./(c)

B./(c)</(/?)<./(a)

C./(c)</(«)</W

D./(«)</(/?)</(€)

【答案】D

【详解】

解:y=2-x是R上的减函数,y=—4,是R上的减函数,

.•./(x)=2-*—4'是R上的减函数,

-025

­1•O.3>0.3°=1.0=log()251<log()250.3<log0250.25=1,log()32.5<log(x3l=0,

:.a>b>c,

,/(a)</(0)</©.

故选:D.

【跟踪训练1】(2021.全国高三其他模拟(理))已知函数/(x)的定义域为R,45)=4,/(x+3)是

偶函数,任意为,马w[3,”)满足J则不等式〃3x-l)<4的解集为()

X]一工2

A.B.1-OO,|')U(2,+8)

C.(2,3)D.f|,2j

【答案】D

【详解】

因为/(x+3)是偶函数,所以/(x)的图像关于直线x=3对称,

则/(5)=川)=4,

因为任意玉,々e[3,满足/(,)―/(々)>0,

'MF

所以“X)在[3,M)上单调递增,在(-0),3)上单调递减,

故/(3%-1)<4等价于l<3x—l<5,解得:<x<2.

故选:D

【跟踪训练2】(2021.山西运城市.高三二模(理))下列函数中,图象关于原点对称且在定义域上单调递

增的是()

A./(x)=sinx-2%B./(%)=ln(x-1)+ln(x+1)

ex+e~xex-l

C..以x)==一D.=-

【答案】D

【详解】

A选项中,r(x)=cosx-2W0,则函数是单调递减函数,不符合题意:B选项中,定义域为xw(l,+8)

不关于原点对称,不符合题意;C选项中,因为/(—幻=)=/(力,所以函数/(x)是偶函数,图象

ex-\ex-1

关于y轴对称,不符合题意;选项中,函数_-=-/(),所以函数为奇函数,图

DA-XI1I1x

x-12

像关于原点对称,又因为/(x)=^e~-=1-——,由复合函数同增异减可判断其在定义域上单调递增,

e'+1e*+1

满足题意.

故选:D.

【跟踪训练3】(2021•浙江高三专题练习)设/(x)是定义在[—2,2]上的奇函数,且在[—2,2]上单调递减,

【答案】D

【详解】

因为/(%)是[—2,2]上的奇函数,

所以由J(2x_;)+/(l_x)N0得/(2》一;卜/"_1),

—2«2x—<2

4

73

又因为/(X)在[—2,2]上单调递减,所以卜24龙一142,解得一可《彳〈一“

2x——<x-1

4

因为g(x)=x—:在(—,0)单调递增,

774207

8-------=----

所以g(x)=在A上的最小值为8_756-

【真题演练】

I.(2020.海南高考真题)若定义在R的奇函数段)在(一8,0)单调递减,且火2)=0,则满足4Xx-l)N0的

x的取值范围是(

A.[-l,l]U[3,+«>)B.[-3,-l]U[O,lJ

C.[-1,O]U[1,4W)D.[-l,O]u[l,3]

【答案】D

【详解】

因为定义在R上的奇函数f(x)在(-8,0)上单调递减,且/(2)=0,

所以/(x)在(0,+8)上也是单调递减,且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当XG(-OO,-2)U(0,2)时,/(%)>0,当彳6(一2,0)0(2,+8)时,/(%)<0,

所以由4(》一1)20可得:

x<0f%>0

*一,c或〈八,八或%=0

一21W0OVx—142

解得-IWXWO或1WXW3,

所以满足对'(x-DNO的x的取值范围是[一

故选:D.

2.(2021・北京高考真题)己知/(x)是定义在上的函数,那么“函数/(x)在[0,1]上单调递增”是“函数

f(x)在上的最大值为了⑴”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

若函数“X)在[0』上单调递增,则/(x)在[0,1]上的最大值为了⑴,

若“X)在[0,1]上的最大值为"1),

(I、?

比如-.,

但〃x)=为减函数,在-,1为增函数,

故/(x)在[0,1]上的最大值为f(l)推不出/(X)在[0,1]上单调递增,

故'函数/(尤)在[0』上单调递增”是“在[0,1]上的最大值为“1)”的充分不必要条件,

故选:A.

3.(2020•全国高考真题(文))已知函数/U)=sinx+」一,则()

sin冗

A.火x)的最小值为2B.1幻的图象关于y轴对称

C.y(x)的图象关于直线%=打对称D.4》)的图象关于直线x=1对称

【答案】D

【详解】

・.・sinx可以为负,所以A错;

Qsin"0.•.尤#k兀(keZ)Q/(-%)=-sinx一一—=-f(x)/W关于原点对称;

sinx

Qf(17r-x)=-sinx———w/(x),f(兀-x)=sinx+—=f(x),故B错;

sinxsinx

rr

・•・/(x)关于直线X=]对称,故c错,D时

4.(2021•全国高考真题(文))下列函数中是增函数的为()

A./(%)=-%B./(X)=—IC./(x)=x2D.于⑻=Nx

【答案】D

【详解】

对于A,/(%)=-%为R上的减函数,不合题意,舍.

对于B,/(x)=-为R上的减函数,不合题意,舍.

对于c,/(x)=%2在(-00,0)为减函数,不合题意,舍.

对于D,/(尤)=取为R上的增函数,符合题意,

故选:D.

5.(2012.上海高考真题(理))已知函数/*)=*-&(。为常数).若,I礴在区间口,+oo)上是增函数,则

a的取值范围是.

【答案】(-8,1]

【详解】

令修K'磷=1穿一碱I,则巽礴=加威力山丁底数例故舞向增且毓礴增,

由教蹴的图象知g(x)在[。,+8)卜.递增,

所以,真辘在区间[1,+8)上是增函数时,好1.则。的取值范围是(-8,1].

【过关检测】

1.函数/(外=一/+2(1-机口+3在区间(-0。,4]上单调递增,则”的取值范围是()

A.[-3,+00)B.

C.(—8,5]D.(—oo,—3]

【答案】D

【详解】

解:函数/。)=一/+2(1-m)x+3的图像的对称轴为x=—也5=1-加,

—2

因为函数/。)=一/+2(1-m)x+3在区间(3,4]上单调递增,

所以1—加24,解得加W—3,

所以加的取值范围为(—8,—3],

故选:D

2.设/(久)为定义在R上的奇函数,当X20时,/(x)=10g2(x+l)+公2-。+1(。为常数),则不等式

/(3x+5)>—2的解集为()

A.(-oo,-1)B.(―1,+oo)C.(-00,—2)D.(—2,+00)

【答案】D

【详解】

解:•♦•/(X)为定义在R上的奇函数,

2

因为当x..O时,f(x)=log2(x+1)+ax-a+1,

所以/(0)=1—。=0,

故。=1,7意)=1(^2。+1)+/在[0,”)上单调递增,根据奇函数的性质可知/(力在R上单调递增,

因为/(1)=2,所以/(一==一2,

由不等式/(3x+5)>—2=/(—1)可得,3x+5>—1,解可得,x>-2,

故解集为(-2,收)

故选:。.

3.己知定义域为R的偶函数y=/(x)-3x在[0,+8)单调递增,若/(〃?)+30f(1-机)+6烧,则实数小

的取值范围是()

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.[—,+oo)D.(-oo,—]

【答案】D

【详解】

解:设g(x)=/(x)-3x,由题意可知函数g(x)为偶函数,并且在[0,y)单调递增,

由/(m)+3</(I-w)+6m,得f(m)-3m</(I-m)-3(1-m),即g(ni)<g(l-m),

所以g(同)Wg(|l-叫),

因为g(x)在[0,+00)单调递增,

所以|同4|1一同,两边平方得加24(1一加)2,

解得m<—,

2

所以实数m的取值范围是(-8,;

故选:D

4.已知偶函数利x)在区间(-8,0]上是减函数,则下列不等式一定成立的是()

A./(2)>/(-3)B./(-2)</(1)

C./(-1)>/(2)D./(-1)</(2)

【答案】D

【详解】

因为偶函数yMx)在区间(-8,0J上是减函数,

所以./U)在(0,+oo)上是增函数,

对于4,3)^(3),0<2<3,所以/(2)<f(3)^-3),故A错误;

对于8,负-2)寸(2),2>1>0,所以火-2)守(2)>f(l),故B错误;

对于C。,7-1月(1),0<1<2,所以大-1月,(1)勺'(2),故C错误,。正确.

故选:D.

5.已知函数/(©=怆仅/+1)+/-1,则满足〃log3X)+/[log31k2的X的取值范围是()

A.(0,3]B.[O,;)U[3,+8)C.[3,+o>)D.I,3

【答案】D

【详解】

因为/8)=馆(9/+1)+》2—1,

所以,/"(—*)=lg(9f+l)+x2_i=/(x),即为偶函数,

当x20时,/(%)单调递增,且/(1)=1,

/(•og3x)+f42可得/(log?x)+/(-log3x)<2,BP2/(log3x)<2,

所以70og3X)Wl,即〃log3X)W/⑴.

所以|log3M41,解得

故选:D.

6.已知函数,(x)满足/(t)=-/(%),且对任意的e[0,+oo),x羊电,都有

—/㈤>2,/⑴=2020,则满足不等式2020)>2(%—1011)的x的取值范围是()

X?一Xj

A.(2021,4W)B.(2020,+oo)C.(1011,+8)D.(1010,4W)

【答案】A

【详解】

/(X,)—/(X)

根据题意可知,—~—V->2

%一百

可转化为[/(动一2可-[/(%)-2旬〉0

尤2一百

所以/(x)—2x在[0,+◎上是增函数,X/(-%)=-/(%),

所以/(x)-2x为奇函数,所以/(x)—2x在R上为增函数,

因为/(x—2020)>2(x-1011),/(I)=2020,

所以/(x-2020)-2(x-2020)>/(I)-2,

所以x-2020>1,

解得x>2021,

即x的取值范围是(2021,+s).

7.己知函数/(幻=/一;可,则/(x)/(x+2)40的解集为()

A.[-3,1]B.[-1,1]C.[-3,-1]D.[-3,+00)

【答案】A

【详解】

显然,函数/(x)是定义域为R的偶函数.

当xe[0,+o))时,f(x)=^-^x,所以f(x)是减函数,且/⑴=0:

所以当xe(fo,0)时,/(x)是增函数,且7(—1)=0.

因此,当xW-l或xNl时、/(%)<0;当一14x41时,/W>0.

/U)<0fW>0

所以,/(%)/(%+2)<0<=>

/U+2)>0/(%+2)<0

X<-1^U>1

<=><或<

-I<x+2<1x+24—+221

o-3<x<-l^-l<x<l<»-3<x<1.

故/UW+2)<0的解集为[-3,1].

8.设二次函数/(6=/+依+〃,若存在实数。,对任意xe1,2,使得不等式|/(x)|<x成立,则实

数人的取值范围是()

19/z19、

ABC----

4—44D.k34,

7/

由题意,对于任意xe1,2,都有成立,

所以x+2+q<1即-i<x+2+a<i对于任意xe-,2恒成立,

xx1_2

b「1-

所以只需g(x)=x+—-,2的最大值与最小值的差小于2即可,

•X乙

当6"时,g(x)在1,2上单调递减,

则;+=解得不合题意;

当匕V;时,g(x)在1,2上单调递增,

则g(2)_g[;)=_'|(b_l)<2,所以be1.;,;;

当;<8<4时,g(x)在;,加上单调递减,在[技2]上单调递增,

42

g(2)-g(扬)=2-}-——2\[b<2

则《门、,所以武

g[5J-g(\[b)=耳+2b~<2Ml

综上,be

故选:D.

设是定义在上的偶函数,且当时,若对任意的均有

9.RxWO/(x)=log4(3-x),x«O,b+l],

/(x+M>/(2x),则实数人的最大值是()

23

A.--B.--C.0D.1

34

【答案】B

【详解】

因为x«0时,"x)=log4(3-x)为单调递减函数,

又因为函数/(x)为偶函数,

所以当x〉0时,/(x)为单调递增函数,

所以2/(2%),

则,+可?|2才,即|x+q22x,

由区间的定义可知6>-l,x+bZ0,即

由于x最大值为匕+1,故匕Nx显然不恒成立;

若A+xvO,所以

b13

即xW——,所以力+1W——b,解得b<一一,

334

3

故b的最大值为.

4

故选:B

10.已知函数/(x)=4'+"(AeR)为定义在R上的偶函数,当xe[0,+8)时,函数

g(x)=/'(x)-。的最小值为1,贝ija=()

A.3B.-1C.1D.2

【答案】D

【详解】

解:由题意知/(一x)=/(%),得4-'+H4'=4"+H4T,整理得(攵一1乂4*-47)=0,所以攵=1,所

以/(力=4'+爰'g(x)=4'+(-a(2'一?=卜_?一"(2、一/)+2,

令“=2"-5*,则+2.易知〃=2、—w在[0,+oo)上是增函数,所以“20.

因为g(x)在[0,+8)上的最小值是1.所以M")在[°,”)上的最小值是1,

当“20时,=力('|')一

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