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文档简介
第五讲函数的单调性和最值
【基础知识】
I.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
设函数>=次龙)的定义域为A,区间如果取区间M中任
意两个值X”九2,改变量Ar=X2—第>0,则当
定义△y=/te)—/Ui)>0时,就称
△\=心2)一面)<0时,就称函数y
函数y=*x)在区间M上是增
=«x)在区间M上是减函数
函数
如)
图象:贝阳);屁)
O1~~*
O\x""£*
描述t
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单
调性,区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足
(1)对于任意xG/,都有/U)WM;(3)对于任意xe/,都有心)2怠
条件
(2)存在x()e/,使得加o)=M(4)存在次£/,使得/U))=M
结论M为最大值M为最小值
【考点剖析】
考点一确定函数的单调性(区间)
【典例1-1】(2021•陕西高三其他模拟(理))已知/(X)是定义在R上的奇函数,且在(75,0)上单调递
增,若/(—1)=/(2)=1,则下列不等式错误的是()
D.仙一1
A.B.C./(3)>1
【答案】D
【详解】
根据题意可得函数/(X)在(0,+8)上为增函数,
由/(-1)=7(2)=1可得/(I)=/(-2)=-1,
对A,由/(X)在(YQ,0)上为增函数,且/.(-2)=-1,
所以--2)=-1,故A正确;
对B,由=/(1)=-1,故B正确;
对C,由函数/(X)在(0,+8)上为增函数,所以/(3)>/⑵=1,故C正确;
对D,由函数在(0,+8)上为增函数,所以/Q卜/⑴=一1,故D错误.
故选:D
【典例1-2】(2021•云南丽江市•高一期末)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+00)上单调递增,且/(2)=0,
则不等式小/(幻〉0的解集为()
A.(—co,—2)U(2,+oo)B.(—2,0)U(0,2)
C.(―2,0)U(2,+©D.(-00,-2)u(0,2)
【答案】C
【详解】
义在R上的偶函数/(x)在[0,+8)上单调递增,且/(2)=0,
所以/(x)在(F,0)上单调递减,且/(-2)=0,
“⑴〉。叱[x3>0〉。或[尻x<0)<。’
故x>2或-2<x<0,
故选:C
【跟踪训练1】(2021•安徽池州市•池州一中高三其他模拟(理))若定义在/?上的奇函数f(x)在((),+")
上单调递增,且/(2)=0,则不等式4"(x—1)40的解集为()
A.(F,T]U[3,M)B.U[t3]
C.[-l,0]U[l,3]D.[-1,0]U[3,-KX))
【答案】C
【详解】
因为犷(x-l)<0,
x<0x>0
叫.“1)20或
/(i)wo'
因为f(x)在(0,+e)上单调递增,且/'(2)=0,
x>0x>0
所以=>l<x<3,
<0<x-l<2
因为f(x)在R上为奇函数,
所以/(X)在(F,0)上单调递增,且/(—2)=0,
x<0x<0
叫/(x-1)20-1Kx<0,
综上:不等式的解集为[―1,O]U[L3].
故选:C.
【跟踪训练2】(2021•全国高考真题(文))下列函数中是增函数的为()
A./(x)=-xB./(x)=pc./'(x)=fD.f(x)=&
【答案】D
【详解】
对于A,/(x)=T为R上的减函数,不合题意,舍.
对于B,〃x)=K)
为/?上的减函数,不合题意,舍.
13/
对于C,f在(-00,0)为减函数,不合题意,舍.
对于D,/(x)=正为R上的增函数,符合题意,
故选:D.
x2+2xx20
【跟踪训练3】(2021.江西高三其他模拟(文))已知函数/(x)=<2一’则不等式
-X+2x,x<0,
/(3x+2)</(x_4)的解集为()
A.(-oo,-3)B.(一8,一
C.(-<»,-1)D.(-oo,l)
【答案】A
【详解】
易得函数/(x)在R上单调递增,
则由/(3x+2)</(x-4)可得3x+2<x—4,解得x<—3,
故不等式的解集为(—,-3).
故选:A.
考点二求函数的最值
【典例2-1】(2021.江苏高三专题练习)函数y=a*(。>0,且awl)在1,2]上最大值与最小值的差为
2,则。=()
A.—1或2B.2C.-D.一
24
【答案】B
【详解】
根据题意,a>0,且awl,由y=优的单调性,可知其在[1,2]k是单调递增函数或单调递减函数,总是
在%=1和2时一,取得两个最值,即卜一/卜2,即a—/=2或/_“=2,
当方程a—1=2成立,即02-4+2=(),判别式△=一3<0,该方程无实数解:
当方程片一。=2成立,即/一〃一2=0,解得a=2(。=一1舍去),
故选:B.
【典例2-2】(2020•上海高三一模)设x>0,y〉0,若2x+—=1,则上的()
yX
A.最小值为8B.最大值为8
C.最小值为2D.最大值为2
【答案】A
【详解】
因为x>0,y>0,所以2>0,
X
因为2x+'=l,所以y=—J—,x^-,
y'\-2x2
2_]_]_]
贝ijxx(l-2x)-2x2+x(1丫1,
-2Ix——4)+-8
故当x=,时,上最小,=8,
4X1工人in
故选:A.
【跟踪训练1】(2020•全国高三专题练习)己知函数/(x)=x+JF■工(。>0)的最小值为2,则实数“=
()
A.2B.4C.8D.16
【答案】B
【详解】
山2*-。20得xNlog?。,故函数/(x)的定义域为[kga,”),
易知函数/(x)在[log?上单调递增,
所以/(xlm=/(log2a)=log2a+N*a_a=log2a=2,
解得。=4
故选:B.
【跟踪训练2】(2020•广东揭阳市•高三期中)已知基函数Hx)=k的图象过点(3,1),则函数g(x)=(2x—
1成外在区间g,2]上的最小值是()
2
A.-1B.0C.-2D.
2
【答案】A
【详解】
由题设3"=-^a=-1,
3
1
故g(x)=(2x-l)xT=2一!在2
3-上单调递增,
则当x时取最小值=2-3=7
故选:A
【跟踪训练3】(2020.河北邢台市.高三其他模拟(理))函数/(幻=馆卜2—1)—联工-1)在[2,9]上的最
大值为()
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【详解】
函数/(x)=1g(》2-1)一lg(x-l)=lg(x+l),
函数在区间[2,9]上是增函数,
所以函数的最大值为:/(9)=lg(9+l)=l.
考点三函数单调性的应用
【典例3-1】(2021•全国高三其他模拟(理))已知函数/(x)=|g—3x+l,且/(/)+/(3。-4)>2,
则实数〃的取值范围是()
A.(-4,1)B.(-3,2)C.(0,5)D.(-1,4)
【答案】A
【详解】
2V-1
解:令g(x)=-------3x,则/(x)=g(x)+l,
2+1
V/(a2)+/(3a-4)>2,
•••g(a2)+g(3a-4)〉0,
2~x-l(2'-1、
:g(T)=^77-3(-x)=-——-3x=-g(x),
乙II1乙ILJ
g(x)是K匕的奇函数,
二g(/)+g(3a—4)>0uj'化为g(/)>g(4一3。),
21c,/、22In2c16In2c八
y.zx2-12g(x)=^--3=21n2x---------3<——3<0
又日,八
・队g(x)=-2--"--+--l---3x=1----2--A--+--1----3x,(2+1)2A+]—+c2/2
所以g@)在/?上是减函数,
・,.Q2<4-3Q,解得,Tvavl,
故选:A.
【典例3-2】(2021•四川遂宁市•高三三模(文))已知函数/(%)=2-*-4',若
25
a=0.3~0,&=log0250.3,c=log032.5,则()
A./(*)</(«)<./(c)
B./(c)</(/?)<./(a)
C./(c)</(«)</W
D./(«)</(/?)</(€)
【答案】D
【详解】
解:y=2-x是R上的减函数,y=—4,是R上的减函数,
.•./(x)=2-*—4'是R上的减函数,
-025
1•O.3>0.3°=1.0=log()251<log()250.3<log0250.25=1,log()32.5<log(x3l=0,
:.a>b>c,
,/(a)</(0)</©.
故选:D.
【跟踪训练1】(2021.全国高三其他模拟(理))已知函数/(x)的定义域为R,45)=4,/(x+3)是
偶函数,任意为,马w[3,”)满足J则不等式〃3x-l)<4的解集为()
X]一工2
A.B.1-OO,|')U(2,+8)
C.(2,3)D.f|,2j
【答案】D
【详解】
因为/(x+3)是偶函数,所以/(x)的图像关于直线x=3对称,
则/(5)=川)=4,
因为任意玉,々e[3,满足/(,)―/(々)>0,
'MF
所以“X)在[3,M)上单调递增,在(-0),3)上单调递减,
故/(3%-1)<4等价于l<3x—l<5,解得:<x<2.
故选:D
【跟踪训练2】(2021.山西运城市.高三二模(理))下列函数中,图象关于原点对称且在定义域上单调递
增的是()
A./(x)=sinx-2%B./(%)=ln(x-1)+ln(x+1)
ex+e~xex-l
C..以x)==一D.=-
【答案】D
【详解】
A选项中,r(x)=cosx-2W0,则函数是单调递减函数,不符合题意:B选项中,定义域为xw(l,+8)
不关于原点对称,不符合题意;C选项中,因为/(—幻=)=/(力,所以函数/(x)是偶函数,图象
ex-\ex-1
关于y轴对称,不符合题意;选项中,函数_-=-/(),所以函数为奇函数,图
DA-XI1I1x
x-12
像关于原点对称,又因为/(x)=^e~-=1-——,由复合函数同增异减可判断其在定义域上单调递增,
e'+1e*+1
满足题意.
故选:D.
【跟踪训练3】(2021•浙江高三专题练习)设/(x)是定义在[—2,2]上的奇函数,且在[—2,2]上单调递减,
【答案】D
【详解】
因为/(%)是[—2,2]上的奇函数,
所以由J(2x_;)+/(l_x)N0得/(2》一;卜/"_1),
—2«2x—<2
4
73
又因为/(X)在[—2,2]上单调递减,所以卜24龙一142,解得一可《彳〈一“
2x——<x-1
4
因为g(x)=x—:在(—,0)单调递增,
774207
8-------=----
所以g(x)=在A上的最小值为8_756-
【真题演练】
I.(2020.海南高考真题)若定义在R的奇函数段)在(一8,0)单调递减,且火2)=0,则满足4Xx-l)N0的
x的取值范围是(
A.[-l,l]U[3,+«>)B.[-3,-l]U[O,lJ
C.[-1,O]U[1,4W)D.[-l,O]u[l,3]
【答案】D
【详解】
因为定义在R上的奇函数f(x)在(-8,0)上单调递减,且/(2)=0,
所以/(x)在(0,+8)上也是单调递减,且/(-2)=0,/(0)=0,
所以当XG(-OO,-2)U(0,2)时,/(%)>0,当彳6(一2,0)0(2,+8)时,/(%)<0,
所以由4(》一1)20可得:
x<0f%>0
*一,c或〈八,八或%=0
一21W0OVx—142
解得-IWXWO或1WXW3,
所以满足对'(x-DNO的x的取值范围是[一
故选:D.
2.(2021・北京高考真题)己知/(x)是定义在上的函数,那么“函数/(x)在[0,1]上单调递增”是“函数
f(x)在上的最大值为了⑴”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若函数“X)在[0』上单调递增,则/(x)在[0,1]上的最大值为了⑴,
若“X)在[0,1]上的最大值为"1),
(I、?
比如-.,
但〃x)=为减函数,在-,1为增函数,
故/(x)在[0,1]上的最大值为f(l)推不出/(X)在[0,1]上单调递增,
故'函数/(尤)在[0』上单调递增”是“在[0,1]上的最大值为“1)”的充分不必要条件,
故选:A.
3.(2020•全国高考真题(文))已知函数/U)=sinx+」一,则()
sin冗
A.火x)的最小值为2B.1幻的图象关于y轴对称
C.y(x)的图象关于直线%=打对称D.4》)的图象关于直线x=1对称
【答案】D
【详解】
・.・sinx可以为负,所以A错;
Qsin"0.•.尤#k兀(keZ)Q/(-%)=-sinx一一—=-f(x)/W关于原点对称;
sinx
Qf(17r-x)=-sinx———w/(x),f(兀-x)=sinx+—=f(x),故B错;
sinxsinx
rr
・•・/(x)关于直线X=]对称,故c错,D时
4.(2021•全国高考真题(文))下列函数中是增函数的为()
A./(%)=-%B./(X)=—IC./(x)=x2D.于⑻=Nx
【答案】D
【详解】
对于A,/(%)=-%为R上的减函数,不合题意,舍.
对于B,/(x)=-为R上的减函数,不合题意,舍.
对于c,/(x)=%2在(-00,0)为减函数,不合题意,舍.
对于D,/(尤)=取为R上的增函数,符合题意,
故选:D.
5.(2012.上海高考真题(理))已知函数/*)=*-&(。为常数).若,I礴在区间口,+oo)上是增函数,则
a的取值范围是.
【答案】(-8,1]
【详解】
令修K'磷=1穿一碱I,则巽礴=加威力山丁底数例故舞向增且毓礴增,
由教蹴的图象知g(x)在[。,+8)卜.递增,
所以,真辘在区间[1,+8)上是增函数时,好1.则。的取值范围是(-8,1].
【过关检测】
1.函数/(外=一/+2(1-机口+3在区间(-0。,4]上单调递增,则”的取值范围是()
A.[-3,+00)B.
C.(—8,5]D.(—oo,—3]
【答案】D
【详解】
解:函数/。)=一/+2(1-m)x+3的图像的对称轴为x=—也5=1-加,
—2
因为函数/。)=一/+2(1-m)x+3在区间(3,4]上单调递增,
所以1—加24,解得加W—3,
所以加的取值范围为(—8,—3],
故选:D
2.设/(久)为定义在R上的奇函数,当X20时,/(x)=10g2(x+l)+公2-。+1(。为常数),则不等式
/(3x+5)>—2的解集为()
A.(-oo,-1)B.(―1,+oo)C.(-00,—2)D.(—2,+00)
【答案】D
【详解】
解:•♦•/(X)为定义在R上的奇函数,
2
因为当x..O时,f(x)=log2(x+1)+ax-a+1,
所以/(0)=1—。=0,
故。=1,7意)=1(^2。+1)+/在[0,”)上单调递增,根据奇函数的性质可知/(力在R上单调递增,
因为/(1)=2,所以/(一==一2,
由不等式/(3x+5)>—2=/(—1)可得,3x+5>—1,解可得,x>-2,
故解集为(-2,收)
故选:。.
3.己知定义域为R的偶函数y=/(x)-3x在[0,+8)单调递增,若/(〃?)+30f(1-机)+6烧,则实数小
的取值范围是()
A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.[—,+oo)D.(-oo,—]
【答案】D
【详解】
解:设g(x)=/(x)-3x,由题意可知函数g(x)为偶函数,并且在[0,y)单调递增,
由/(m)+3</(I-w)+6m,得f(m)-3m</(I-m)-3(1-m),即g(ni)<g(l-m),
所以g(同)Wg(|l-叫),
因为g(x)在[0,+00)单调递增,
所以|同4|1一同,两边平方得加24(1一加)2,
解得m<—,
2
所以实数m的取值范围是(-8,;
故选:D
4.已知偶函数利x)在区间(-8,0]上是减函数,则下列不等式一定成立的是()
A./(2)>/(-3)B./(-2)</(1)
C./(-1)>/(2)D./(-1)</(2)
【答案】D
【详解】
因为偶函数yMx)在区间(-8,0J上是减函数,
所以./U)在(0,+oo)上是增函数,
对于4,3)^(3),0<2<3,所以/(2)<f(3)^-3),故A错误;
对于8,负-2)寸(2),2>1>0,所以火-2)守(2)>f(l),故B错误;
对于C。,7-1月(1),0<1<2,所以大-1月,(1)勺'(2),故C错误,。正确.
故选:D.
5.已知函数/(©=怆仅/+1)+/-1,则满足〃log3X)+/[log31k2的X的取值范围是()
A.(0,3]B.[O,;)U[3,+8)C.[3,+o>)D.I,3
【答案】D
【详解】
因为/8)=馆(9/+1)+》2—1,
所以,/"(—*)=lg(9f+l)+x2_i=/(x),即为偶函数,
当x20时,/(%)单调递增,且/(1)=1,
/(•og3x)+f42可得/(log?x)+/(-log3x)<2,BP2/(log3x)<2,
所以70og3X)Wl,即〃log3X)W/⑴.
所以|log3M41,解得
故选:D.
6.已知函数,(x)满足/(t)=-/(%),且对任意的e[0,+oo),x羊电,都有
—/㈤>2,/⑴=2020,则满足不等式2020)>2(%—1011)的x的取值范围是()
X?一Xj
A.(2021,4W)B.(2020,+oo)C.(1011,+8)D.(1010,4W)
【答案】A
【详解】
/(X,)—/(X)
根据题意可知,—~—V->2
%一百
可转化为[/(动一2可-[/(%)-2旬〉0
尤2一百
所以/(x)—2x在[0,+◎上是增函数,X/(-%)=-/(%),
所以/(x)-2x为奇函数,所以/(x)—2x在R上为增函数,
因为/(x—2020)>2(x-1011),/(I)=2020,
所以/(x-2020)-2(x-2020)>/(I)-2,
所以x-2020>1,
解得x>2021,
即x的取值范围是(2021,+s).
7.己知函数/(幻=/一;可,则/(x)/(x+2)40的解集为()
A.[-3,1]B.[-1,1]C.[-3,-1]D.[-3,+00)
【答案】A
【详解】
显然,函数/(x)是定义域为R的偶函数.
当xe[0,+o))时,f(x)=^-^x,所以f(x)是减函数,且/⑴=0:
所以当xe(fo,0)时,/(x)是增函数,且7(—1)=0.
因此,当xW-l或xNl时、/(%)<0;当一14x41时,/W>0.
/U)<0fW>0
所以,/(%)/(%+2)<0<=>
/U+2)>0/(%+2)<0
X<-1^U>1
<=><或<
-I<x+2<1x+24—+221
o-3<x<-l^-l<x<l<»-3<x<1.
故/UW+2)<0的解集为[-3,1].
8.设二次函数/(6=/+依+〃,若存在实数。,对任意xe1,2,使得不等式|/(x)|<x成立,则实
数人的取值范围是()
19/z19、
ABC----
4—44D.k34,
7/
由题意,对于任意xe1,2,都有成立,
所以x+2+q<1即-i<x+2+a<i对于任意xe-,2恒成立,
xx1_2
b「1-
所以只需g(x)=x+—-,2的最大值与最小值的差小于2即可,
•X乙
当6"时,g(x)在1,2上单调递减,
则;+=解得不合题意;
当匕V;时,g(x)在1,2上单调递增,
则g(2)_g[;)=_'|(b_l)<2,所以be1.;,;;
当;<8<4时,g(x)在;,加上单调递减,在[技2]上单调递增,
42
g(2)-g(扬)=2-}-——2\[b<2
则《门、,所以武
g[5J-g(\[b)=耳+2b~<2Ml
综上,be
故选:D.
设是定义在上的偶函数,且当时,若对任意的均有
9.RxWO/(x)=log4(3-x),x«O,b+l],
/(x+M>/(2x),则实数人的最大值是()
23
A.--B.--C.0D.1
34
【答案】B
【详解】
因为x«0时,"x)=log4(3-x)为单调递减函数,
又因为函数/(x)为偶函数,
所以当x〉0时,/(x)为单调递增函数,
所以2/(2%),
则,+可?|2才,即|x+q22x,
由区间的定义可知6>-l,x+bZ0,即
由于x最大值为匕+1,故匕Nx显然不恒成立;
若A+xvO,所以
b13
即xW——,所以力+1W——b,解得b<一一,
334
3
故b的最大值为.
4
故选:B
10.已知函数/(x)=4'+"(AeR)为定义在R上的偶函数,当xe[0,+8)时,函数
g(x)=/'(x)-。的最小值为1,贝ija=()
A.3B.-1C.1D.2
【答案】D
【详解】
解:由题意知/(一x)=/(%),得4-'+H4'=4"+H4T,整理得(攵一1乂4*-47)=0,所以攵=1,所
以/(力=4'+爰'g(x)=4'+(-a(2'一?=卜_?一"(2、一/)+2,
令“=2"-5*,则+2.易知〃=2、—w在[0,+oo)上是增函数,所以“20.
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