初中数学解答题综合训练50题含完整答案

初中数学解答题综合训练50题含完整答案

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一、解答题

1.问题探究

（1）请在图①、图②各作两条直线，使它们将正方形与半。O的面积三等分;

（2）如图③，在矩形ABCZ）中，A8=3,8c=4,请在图③中过顶点A作两条直线，使

它们将矩形A8CO的面积三等分，并说明理由；

问题解决

（3）位于宝鸡市凤翔区的机场将计划于2024年建成通航.如图④，在机场旁边有一块

平行四边形4BCD空地，其中AB=AC=IOO米，BC=120米，根据视觉效果和花期特

点，机场设计部门想在这块空地上种上等面积的三种不同的花，要求从入口点A处修两

条笔直的小路（小路面积忽略不计）方便旅客赏花，两条小路将这块空地的面积三等

分.那么设计部门能否实现自己的想法？若能实现，请通过计算，画图说明；若不能,

图①

2.如图，四边形ABC。是平行四边形，ND4G45。，以线段AC为直径的圆与AB和

AO的延长线分别交于点E和尸.过点8作4c的垂线，垂足为求证：E,H,尸三

点共线.

3.如图，已知△A8C的三个顶点均在格点上，求/8AC的余弦值.

4.已知矩形48C。的边A8=21,BC=T9,r是给定的小于1的正实数.

⑴在矩形ABCO内任意放入114个直径为1的圆.证明：在矩形4BCO内一定还可以

放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点(也不在某个圆的内部)；

⑵在矩形A8C。内任意放入95个单位正方形(边长为1的正方形).证明：在矩形ABCO

内一定还可以放入一个直径为，的圆，它和这95个正方形都没有交点(也不在某个正

方形的内部).

5.将1,2,3,…，16这16个数分成8组(％4)，(《，打)，…，(/，5)，若

22

M-用+…+|q-可=62.求(q-4)?+(a2-b2)+»--+(ai-b8)的最小值.

必要时可以利用排序不等式(又称排序原理)：设凡4/«…《当，其"%«…为两

组实数，ZiKZzS.Yz,是yKy2K…K”的任一排列，则

XX,+占L।W用4+&Zz+…x"z“<XV+电刈+….

6.若一个三位数f=人(其中。，4c不全相等且都不为0),重新排列各数位上的数

字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为

T(t).例如，357的差数7(357)=753—357=396.

(1)7(384)=；

⑵已知一个三位数^(其中的差数丁«记)=792,且各数位上的数字之和为

一个完全平方数，求这个三位数：

(3)若一个三位数正(其中a,b都不为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得

到一个新数前被4除余1,再将新数个位数字移到百位得到另一个新数丽被4除余

2,则称原数为4的“闺蜜数”.例如：因为612=4x153,261=4x65+1,126=4x31+2,

所以612是4的一个闺蜜数.求所有小于500的4的“闺蜜数常,并求丁«)的最大值.

7.一个多位数N(NNIO)乘以11,得到一个新的数，我们把这个新数的首位和末位上的

数字去掉后剩下的数叫做多位数N的“留守数”，如果两个多位数的“留守数”的数字相同

或之和相等，我们称这两个多位数为“挛生数(ID：721x11=231,67x11=737,A21

和67的“留守数”均为3(3=3),所以21和67是“李生数”；再如：:36x11=396,

108x11=1188,，36的留守数是9,108的“留守数”的数字之和为9,9=1+8,所以36

和108是“李生数”.

(1)42的“留守数”是_；42与2021_“挛生数”(填“是”或“不是

(2)如果两个两位数M和N是“挛生数”(MNN),其中M=10«+)，N=10c+d,且

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3a+b=l\(a>b)tc+dvlO其中〃，c均为1到9之间的整数，b,d均为。到9之间

的整数，求出所有符合条件的两位数N.

8.【阅读】下列是多项式9-6x+5因式分解的过程：

X2-6X+5=X2-6X+9+5-9=(X-3)2-4=(X-3+2)(X-3-2)=(A:-1)(X-5).请利用上

述方法解决下列问题.

【应用】

(1)因式分解：Y+8X-9;

(2)若笛>5,试比较/一44-5与0的大小关系；

(3)【灵活应用】若/+〃一2a-8〃+17=0,求4+8的值.

9.某商场经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价100元，售价比进价多40%,乙种

商品每件售价160元，售价比进价多

(1)求每件甲种商品的售价和每件乙种商品的进价；

(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，花去11120元，求该商场购进乙种商品

多少件？

(3)春节期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠活动：

①不超过2000元，不优惠：

②超过2000元且不超过2500元，九折优惠；

③超过2500元，八折优惠.

按照上述优惠条件，忧忧第一天只购买乙种商品一次性付款1760元，第二天只购买甲

种商品一次性付款2016元，那么这两天忧忧在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？

10.因式分解：

(l)2(x2+6x+l)'+5(x2+1)(X24-6X4-1)+2(X2+1)"

⑵丁(尸2)3+月2一刈3+22(%-»

II.在平面直角坐标系中，抛物线y=3谓-10ar+c•分别交x轴于点4、8(4左B右)、

交y轴于点C且O8=OC=6.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为3连接BC,过点尸

作BC的垂线交x轴于点D,连接。，设△BC。的面积为S,求S与，的函数关系式(不

要求写出，的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，线段8的垂直平分线交第二象限抛物线于点区连

接E。、EC、ED,且NEOC=45。，点N在第一象限内，连接0MDN〃EC,点、G在

DE上,连接NG,点M在BV上，NM=EG,在NG上截取N〃=NM,连接MH并延长

交CD于点、F,过点H作//KJ_FM交EO于点K,连接尸K,若NFKG=NHKD,GK=

2MM求点G的坐标.

12.已知如图AABC是锐角三隹形，分别以边AB、AC为边向外作△A3。和AACE,

△A3。和AACE均为等边三角形，且BE和CO交于点F,连接AF.

(1)求证：AACD-AEB；

(2)求出NCFE的度数；

(3)求证：ZAFB=ZBFC=ZAFC.

13.先阅读后解题.

己知m2+2fn+n2-6n+10=0,求m和m的值.

解：把等式的左边分解因式：(冽2+2〃[+1)+(〃2-6〃+9)=0.

即(7M+1)2+(w-3)2=0.

因为(机+1)2>0,(〃-3)2>0.

所以〃?+1=0,n-3=0即m=-I,n=-3.

利用以上解法，解下列问题：

(1)已知：/-4%+)N+2y+5=0,求x和y的值.

(2)已知。，。，c是的三边长，满足〃2+/=]2a+8b-52且"BC为等腰三角形,

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求c.

14.人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系.若两个不同的自然

数的所有其因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数”.例

如：18的正因数有1、2、3、6、9、18,它的真因数之和为1+2+3+6+9=21；51的

正因数有1、3、17、51,它的真因数之和为1+3+17=21,所以称18和51为“亲和数”.又

如要找8的亲和数，需先找出8的真因数之和为1+2+4=7,而7=1+3+3,所以8的

亲和数为Ix3x3=9,数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)

都是1的数为“两头蛇数例如：121、1351等.

(1)10的真因数之和为：

(2)求证：一个四位的“两头蛇数”而与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能

被7整除；

(3)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”，能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两

头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数

15.先化简，再求值：6ab-{-2b2-2[a2+2a-4(y+ab-2)]-3ia2+2b2')}-4(ab+

—a2-b),其中。、“满足(a+b-3)2+(ab+4)2=0.

4

16.如图，等边△AOA,点C是边AO所在直线上的动点，点。是x轴上的动点，在矩

形COE/中，8=6,DE=6,则。尸的最小值是多少？

17.解方程组1+二1+"产=34

(x4-2)2+(y+3)2+(x+2)(y+3)=741

18.如图1,直线〃：丫=履与直线〃：相交于点A(4.3),直线〃：y=

・gx+b与x轴交于点8,点E为线段AB上一动点，过点E作E尸〃)，轴交直线//于点

F,连接BF.

(1)求左、力的值；

(2)如图2,若点尸坐标为(8,6),NOPE的角平分线交x轴于点M.

①求线段OM的长；

②点N在直线〃的上方，当△OFN和△0尸例全等时，直接写出点N的坐标.

19.如图，已知尺/AABC和RiACDE,ZACB=ZCDE=9(r,RCAB=NCED,4C=8,

BC=6,点。在边AB上，射线CE交射线84于点尸.

(1)如图，当点尸在边AB上时，联结4E.

①求证：AE//BC；

②若砂=gb,求80的长；

(2)设直线AE与直线C。交于点尸，若△尸CE为等腰三角形，求M的长.

20.如图，在中,ZBAC=90°,ZABC=40°f将△ABC绕A点顺时针旋转得

到aAOE,使。点落在BC边上.

(1)求NBA。的度数；

(2)求证：A、D、B、E四点共圆.

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E

21.如图，在矩形4BC£)中，AB=6,AD=S,点E,尸分别是边CO,8c上的动点,

且NAFE=90。

(1)证明：AABFsAFCE；

(2)当OE取何值时，NAEO最大.

22.如图，在平面直角坐标系中，4(2,0),8(0,2),。(4,0),0(3,2),P是以AOB

外部第一象限内的一动点，且/8以=135。，则2"+尸。的最小值是多少？

23.在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数次(a,b,。依次是这个数的

百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数,bac、力ca、ca%与cba的和N,

把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数茄？若N=3194,请你当魔

术师，求出该三位数次.

24.如图，在ZkAB。中，AB=AD,以48为直径的圆交A。于点M,交8。于点0,延

长A0至点C,使OC=AO,连结CO,BC.

(1)求证：四边形A4CO是菱形；

(2)若AM=3,80=45,求cos/OAB.

25.如图，在等腰R/AABC中，ZE4C=90°,ADLBC,垂足为。，点E为AC边上一

点，连接七。并延长至尸，使£D=H>,以防为底边作等腰心△£<；〃.

(1)如图1,若NA0E=3O。，AE=4,求CE的长；

(2)如图2,连接防，OG,点”为防的中点，连接。M,过。作0〃_LAC,垂足

为H,连接AG交。〃于点N,求证：DM=NG；

(3)如图3,点K为平面内不与点。重合的任意一点，连接K£),将KD绕点。顺时针

旋转90。得到K'。，连接KA,KB,直线K&与直线协交于点尸，以为直线8c上一

动点，连接47并在47的右侧作C7)'_L4y且CD=A",连接AC',。为2?C边上

一点，CD=3CQ,AB=\2yf2.当取到最小值时，直线CP与直线BC交于

点S,请直接写出△BPS的面积.

26.如图，在AABC中，ZACB=120°,AC=bC=2,点Z)是48边上的一个动点，连

接8,将△BCO绕点C顺时针旋转至“CE,连接OE,求△?1£花面积的最大值.

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A

27.如图所示，ACA.BC,ADLBD，试证明：A、B、C、。在同一圆上.

28.小明遇到这样一个问题：

如图1,在锐角AABC中，AD,BE,CF分别为AABC的高，求证：?AFE?ACB.

小明是这样思考问题的：如图2,以SC为直径作半圆O。，则点尸，E在上，

4FE+NBCE=180。，所以？A庄?ACB.

(1)请回答：若NABC=40。，则NAEF的度数是

(2)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3,在锐角AABC中，AD,BE,CF

分别为AABC的高，求证：NBDF=NCDE.

29.己知，如图，四边形A8co中，ZA=90°,AB=56,8C=8,8=6,AD=5.试

判断点A,B,C,。是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，

请说明理由.

30.直线y=H+攵与％轴交于A,与y轴交于。点，直线的解析式为y=X+Z,

k

与x轴交于B.

（1）如图1,求点4的横坐标；

（2）如图2,。为BC延长线上一点，过。作x轴垂线于点E,连接CE,若CO=C4,

设AACE的面积为S,求S与k的函数关系式；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接0。交4c于点尸，将△CDF沿CF翻折得到AFCG,

直线尸6交。£于点K,若3NACE—NCTO=45。，求点K的坐标.

图1图2图3

31.某公司推出一款电子产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单

价X（元/个）之间满足次函数关系.销售单价、口销售量、口销售利润的几组对应值

如表:

销售单价X（元/个）60657()75

日销售量y（个）1801308030

日销售利润卬（元）180019501600750

注：日销售利润=口销售量X（销售单价-成本单价）

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）该产品的成本价是元/个，求日销售利润W的最大值；

（3）直接写出单价X满足什么条件时，销售利润不低于1920元.

32.某班期中考试结束后，语文、数学、英语获得90分以上的学生人数分别是22人、

18人、20人，其中语文和数学两科都获得90分以上的学生人数有3人，语文和英语两

科都获得90分以上的学生人数有9人，数学和英语两科都获得90分以上的学生人数有

7人，并且语文、数学、英语三科都没有获得90分以上的学生人数有5人.问这个班

最少有几个学生？最多有几个学生.

33.某年级语文、数学、英语三门课程，期中考试成绩统计如下：至少一门课上90分

的有200人，语文上90分的有122人，数学上90分的有82人，英语上90分的有90

人,语文与数学两科上90分的有48人，数学与英语两科上90分的有28人，英语与语

文两科上90分的有23人，问语文、数学和英语三科都上90分的有几人？

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34.从1到100的正整数中能祓3整除或能被5整除的正整数共有多少个？

35.20人分为2组，每组10人，并且每组选出正、副组长各一人，共有多少种不同的

方法？

36.(1)6本书分给2个人，每人3本，有多少种不同的分法？

(2)6本书分成2堆，每堆3本，有多少种不同的分法？

(3)6本书分成3堆，每堆的书本数分别是3,2,1,有多少种不同的分法？

(4)6本书分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？

37.(1)从10本不同的书中取3本书，分别送给3位朋友，每人恰好一本，共有多少

种不同的方法？

(2)从10本不同的书中任取3本书送给1位朋友，共有多少种不同的方法？

38.利用123,4,5,6共可组成

(1)多少个数字不重复的三位数？

(2)多少个数字不重复的三位偶数？

(3)多少个数字不重复的4的倍数？

39.360可以被多少个不同的正整数整除(包括1和360在内)？

40.在平面直角坐标系中，以原点为中心"为半径的圆的内部共有多少个格点？(格

点指的横坐标和纵坐标都为整数的点)

41.解方程：^3x-5-s[x+2=\.

42.如图，在ZkABC中，D是边BC上一点,且

(1)请判断直线AC是否是。。的切线，并说明理由；

⑵若CD=2,CA=4,求弦AB的长.

43.如图，菱形ABCD,NABC=120。，点E为平面内一点，连接4E.

(1)如图I,点七在5c的延长线上，将AE绕点A顺时针旋转60。得AF,连接E尸交AB

延长线于点从若NAM=15。，HF=4,求4E的长；

(2)如图2,点石在CA的延长线上，将AE绕点4逆时针旋转60。得4凡点M为CE的

中点，连接BM,证明：FM=£BM；

(3)如图3,将48沿4S翻折得4E(NR4EV120。)，连OE交AS于点S,当OS取得最

大值时，连接了。，若AT=3,AO=6,求70-77?的最大值.

44.对于平面直角坐标系直万中的线段AB,给出如下定义：线段AB上所有的点到x轴

的距离的最大值叫线段AA的界值，记作叫人如图，线段A8上所有的点到x轴的最大

距离是3,则线段4B的界值%=3.

⑴若4(-1,-2),B(2,0),线段48的界值叫"=,线段48关于直线丁=2

对称后得到线段CO,线段CO的界值卬⑺为;

(2)若七(-1,加)，F(2,机+2),线段所关于直线丁=2对称后得到线段G”：

①当加＜0时，用含血的式子表示

②当叱;〃=3时，加的值为；

③当34%〃W5时，直接写出/的取值范围.

45.如图1,“8C中，AC=BC=4,N4CB=90。，过点。任作一条直线8,将线段

BC沿直线C。翻折得线段CE,直线AE交直线CD于点凡直线BE交直线CO于G点.

试卷第12页，共14页

(1)小智同学通过思考推得当点E在A8上方时，的角度是不变的，请按小智的思

路帮助小智完成以下推理过程:

9：AC=BC=EC,

B、E三点在以C为圆心以4c为半径的圆上，

•••NAEB=N4CB,(填写数量关系)

・•・ZAEB=°.

⑵如图2,连接5F,求证A、8、尸、C四点共圆；

(3)线段AE最大值为，若取3C的中点M,则线段M尸的最小值为.

46.如果一个整数P能分解成两个两位数的乘积，且这两个两位数各数位上的数字之和

相等，把这样的整数P称为“最美数”，把这样的分解称为“最美分解”.

例如：因为448=32x14,3+2=1+4,所以448是“最美数”；

又例如：因为391=23x17,2+3#1+7,所以391不是“最美数”

⑴判断286(填“是”或“不是”)“最美数”；

⑵若一个，最美数”P进行“最美分解"P=Ax8,证明：A+2B能被3整除；

(3)把一个“最美数”P进行“最美分解"，即。=4><8.其中A=10a+3,B=lOc+d,

(1<«<5,0<b<9,14cW3,0<t/<5,a,b,c,d为整数).若A+25为完全平

方数，求所有满足条件的整数P.

47.已知：数轴上A,8两点表示的有理数为小b,且(a-4与M+2|互为相反数.

(1)A,B各表示哪一个有理数？

⑵点C在数轴上表示的数是c,且与A,8两点的距离和为11,求数c的值.

(3)小蚂蚁甲以1个单位长度/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的一颗饭粒

爬去，3秒后位于点A的小蚂蚁乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向

饭粒，小蚂蚁甲到达后背着饭粒立即返回，与小蚂蚁乙在数轴上。点相遇，则点。表

示的有理数是什么？从出发到此时，小蚂蚁甲共用去多少时间？

48.在等边AABC中，。是边AC上一动点，连接8£),将BO绕点。顺时针旋转120。，

得到。石，连接CE.

(1)如图1,当B、A、E三点共线时，连接AE,若A8=2,求CE的长；

(2)如图2,取CE的中点尸，连接。尸，猜想AO与。尸存在的数量关系，并证明你

的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BE、M交于G点.若G尸=。尸，请直接写出当凄

BE

的值.

49.已知A-2B=la2-lab,B=-a2-6ab+l.

⑴求A；

(2)已知(a+1)2+步・2|=0,求A的值.

50.如图，AB=BC,ZABC=/BCE=a,点。是8c上一点，与座相交于点凡

£NBFD=a.

(1)求证：△BFDsZVAHD；

(2)求证：AD=BE\

(3)若点。是BC中点，连接尸C,求证：FC平分NDFE.

试卷第14页，共14页

参考答案：

1.(1)见解析；(2)见解析；(3)设计部门能实现自己想法，理由见解析

【解析】

【分析】

⑴分别作AD、边的三等分点，再分别过三等分点作直线即可；作圆心角为60。的扇形即

可；

(2)首先求得矩形48CO的面积，再根据三等分面积及三角形面积公式，即可求得8P,DQ

的长，即可作出；

(3)过A作AF±CD,根据勾股定理可求得AE的长，再根据矩形的面积可求得

A凡再根据三等分面积及三角形面积公式，即可求得BP,OQ的长，即可作出.

【详解】

解：(1)如图:

图②

如图：设过点A的直线分别交BC、CD于P、Q,使直线AP、AQ把矩形面积三等分

图③

SMBP=SXQ=；S矩=4

ix3x«P=4,gx4xOQ=4

Q

BP=-DQ=2

3f

Q

・••当3P=余DQ=2时，将矩形面积三等分.

（3）设计部门能实现自己想法.

如图：过A作AE_L8C,AFLCD

答案第1页，共79页

图④

\AB=AC

BE=-BC=60

2

:.AE=>JAB2-BE2=V1OO2-6O2=80

SmARrn=BCAE=120x80=96(M)

SpqABco=CDAF=100xAF=9600

，A尸=96

设过点A的直线分别交BC,CO于P,Q

使直线AP,4Q把平行四边形ABC。的面积三等分

则S^ABP=S^ADQ=1x9600=3200

.,.gBPAE=goQAF=3200

1^Px80=1x96xDQ=3200

2()0

.-.BP=80,DQ=—

OfV)

二.当P8=80m,OQ=茅m直线AP,AQ把平行四边形48co面积三等分.

【点睛】

本题考查了等分面积问题，勾股定理，找到三等分点，画出三等分线是解决本题的关键.

2.见解析

【解析】

【分析】

如图：证明尸，A,B,。四点共圆.可得NCBE二NAPC.①，证明C,E,B,〃四点

共圆，可得NC”E=NC8E.②，证明C,”,尸，P四点共圆，可得

由①代换可得NC//E+NCH尸=180。.可得结论；

【详解】

如图，延长8〃与直线AO相交于点尸，连接C尸.

答案第2页，共79页

因为ND4C=45。，BP1AC,

所以/94=45。.

又NBC4=ZZMC=45。，

所以N6P4=N8C4,于是尸，A.B,C四点共圆.

所以NC8E=NAPC.①

连接CE,由AC为圆直径，得《*90。=/训,

所以C,E,B,”四点共圆，

于是NCHE=NCBE.②

连接CF,由4C为圆直径，得NCFP=90。=NCHP,

所以C,H,尸，尸四点共圆，

于是NAPC=18()。一NCH/L③

由②，①，③，ZCHE=ZCBE=ZAPC=180°-ZCHF,

所以ZCHE+NCHF=180°.

所以£,”,产三点共线.

【点睛】

本题考查了圆内接罩边形的判断及性质，难度较大，解题的关键是构造圆内接四边形.

3.运

5

【解析】

【分析】

先作辅助线8O_LAC于点D,AE_CB交CB的延长线于点E,然后根据等积法即可求得8。

的长，即可求得相应的角的三角函数值.

【详解】

答案第3页，共79页

解：作BQ_LAC于点。，作4E_LC8交C8的延长线于点E,

由图可得,

BC=2,AE=3,AC=3&,AB==\Ao,

BCAEACBD

9：SAABC=

22

.2'3_3丘BD

••1—

22

解得，BD=近，

*»AD=>JAB2-BD2=J10-2=2收,

AD2>/2_2>/5

cosZ.BAC

~ABVio5-

【点睛】

本题考查解直角三角形，解答本题的关键作B£>_LAC于点。，作AE1CB交C8的延长线于

点、E,构造直角三角形，根据SM8C两种表示法，求出80的长度，进而求解.

4.(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)将矩形48CO的每条边向内缩进g得到矩形AqCA，再把直径为1的小圆缩小为一

点。进行考虑，将原直径为1的圆扩大，即以原圆心为圆心，直径为2作114个新的圆，

计算可得114个新圆的面积和小于矩形。的面积，即可证明在矩形ABC。内一定还可

以放入一个直径为广的圆，它和这114个圆都没有交点(也不在某个圆的内部)；

(2)将矩形A3。的每条边向内缩进g得到矩形A用GA，再把直径为1的小圆缩小为一

点。进行考虑，把每个小正方形加框，即在小正方形的每条边的外部和一个长和宽分别为1

和g的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧，计算此时95个加框图形的面积

总和小于矩形A4GA的面积，即可证明在矩形A5CO内一定还可以放入一个直径为广的圆,

答案第4页，共79页

它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）.

（1）

解：将矩形A8C。的每条边向内缩进得到一个长和宽分别为20和18的矩形A4GA（如

图1所示），则矩形4由6。的面积为20x18=360.对矩形ABCO内任意放入的114个直径

为1的圆，分别以这114个圆的圆心为圆心，直径为2作114个新的圆（如图2所示）.因为

这114个新圆的面积和等于114x1x12=114万＜114x3.15=359.1小于矩形的面积.

所以在矩形A4GA内，一定存在一点0,它在这114个新的圆的外部.因为点。到矩形

A8CD每条边的距离都大于且点。到每个旧圆圆心的距离都大于I,所以以点。为圆心,

直径为〃的圆一定在矩形A8CD内，且与矩形内原有的114个直径为1的个圆都没有交点，

也不在某个圆的内部.

所以在矩形4BCD内一定还可以放入一个直径为一的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在

某个圆的内部）.

图1图2

（2）

将矩形A5C。的每条边向内缩进得到一个长和宽分别为20和18的矩形A与GA，则矩

形44GA的面积为20x18=360.对矩形A8CD内任意放入的95个单位正方形，将这95

个单位小正方形的每一个都加一个框：在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1

和g的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧（如图3所示）.

图3

答案第5页，共79页

因为这95个加框的图形的面积和等于950+?卜95(3+亍卜359.8125小于矩形

A/iCA的面积.所以在矩形A8GA内，一定存在一点0,它在这95个加框的图形的外

部.因为点。到矩形A3CO每条边的距离都大于g,且点0到每个单位正方形的边上的点的

距离都大于所以以点。为圆心，直径为，的圆一定在矩形A6CO内，且与矩形内原有的

95个单位正方形都没有交点，也不在某个正方形的内部.

所以在矩形48CD内一定还可以放入一个直径为广的圆，它和这95个正方形都没有交点(也

不在某个正方形的内部).

【点睛】

本题主要考查了用创新性数学思维解决实际问题，解题关键是使用"缩''、"放”的构思作为证

题技巧.

5.482

【解析】

【分析】

先根据题意设出一组实数，按照题干信息得出4+/+…+6=37,根据排序不等式，当伉，

外,…，”从小到大排列时，+…+6〃的值最大，S的值最小，然后分类进行讨

论，得出结果即可.

【详解】

由对称性，不妨设i=l,2,8,且4<生<…</，

则62=k-R+loj-R+…+|%-勾=佃一4…

=(4+&+…+火+伪+8+…+々)-2(q+4+…+仆)

=(1+2+…+16)—2(q+/+…+勾)=136—2(4+%+…+4),

...%+a2+…+/=37,

,/>1,%之2,…，^>8,

:.%+/+，一"-1+2H---F8=36,

若田之8,则---1"%+仆之1+24---F6+8+9=38>37,不符合要求，

答案第6页，共79页

w

于是q=1,q=2,6=3,q=4,a5=5,«6=6,%=7,仆=9,R,比，…,优是8,

10,11,12,13,14,15,16的一个排列，且4>9,

=S=（4-4）-+（々2一4）+…+（4-bj

=储+a2+,,,+4）+（"+区+…+%-2（3+地+…+她）

=（F+2?+…+16~）—2（q4+a力2+…+a8a）.

根据排序不等式，当4，b2t仄从小到大排列时，4[+〃24+~+/々的值最大，S的

值最小.

•当4，”2，…,与从小到大排歹】时，S——4）2+（%—4）2+…+（%—4）2

=（1-8『+（2-10）2+（3-11）2+（4-12）2+（5-13）2+（6-14）2+（7-15『+（9-16）2=482,

*,•（4一4）~+（%-打）~*,--->■（4-88）~的最小值为482.

或：・"+22+...+162=史幽但竺%496,

6

当伪，b2t〃从小到大排列时，

岫+她+…+她=1x8+2x10+3x11+4x12+5x13+6x14+7x15+9x16=507,

S=（“一4）?+（q一a）2+…+（%—A）?=1496—2x507=482.

・••（?4）3（%仇）3'（仆4）2的最小值为482.

【点睛】

本题主要考查力数列最小值计算，根据题干信息得出规律是解决本题得关键.

6.（1）495

（2）916

（3）693

【解析】

【分析】

（1）根据新定义直接计算，即可得出答案；

答案第7页，共79页

（2）由一个三位数标（其中的差数7（布）=792,可得。=9,再根据三位数而

（其中a>b>l）的各数位上的数字之和为一个完全平方数，可得6=16-9-1=6,依此即可

求解；

（3）由一个三位数而（其中。、b都不为0）能被4整除，可得人=1或3或5或7或9,

再根据将新数个位数字移到百位得到另一个新数两被4除余2并且av5,可得。=2,从

而得到所有小于500的4的“闺蜜数"，进一步求得了（，）的最大值.

（1）

7（384）=843-348=495,

故答案为：495；

（2）

•・•一个三位数（其中〃">1）的差数7（£记）=792

T（a\b\=ab\-\ba

=100«+10Z?+l-100-10^-6/

=99。-99

=792,

a=9,

，一个三位数M的各位数字之和为9+1+6=6+10,

*：a>b>\t

l<b<9，

・・・ll<b+10<19,

・・,各数位上的数字之和为一个完全平方数，

:•b=6,

••a\b=916，

即这个三位数为916；

（3）

•・•三位数而被4除余I,

，力=1或3或5或7或9,

V将新数个位数字移到百位得到另一个新数两被4除余2并且a<5,

答案第8页，共79页

・・•。=2,

.•.所有小于500的4的“闺蜜数”，是212,232,252,272,292,

了。)的最大值是922—229=693.

【点睛】

本题考查了完全平方数，本题主要应用“差数”“闺蜜数”的定义和整数性质，先将三位“差数”

进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数.这是解答数学竞赛题的一种常用方法.

7.(1)6,不是

(2)N取值为14、23、41

【解析】

【分析】

(1)根据“留守数'’和“享生数”的概念直接计算即可得出结果：

211

(2)根据初+方=11以及b的取值范围得出从而得出。可取1、2、3,然后根

据M和N是“李生数”可得c+d取值，从而得出N.

(1)

解：-.-42x11=462,

•.42的“留守数”是6；

•.­2021x11=22231,

2021的“留守数”是2+2+3=7,

•••42与2021不是“挛生数”；

(2)

解：•.•3a+6=U(a>3且b为0到9之间的整数，

:.b=[\-3a,即OWU-%49,

211

—KaK—，即a可取1、23,

33

­.•Mxll=(10tz+Z>)x(10+l)=1006i+10(«+/?)+Z>,

•.•Nxll=(10c+d)(10+l)=100c+10(c+d)+d且c+d<10,

「.i当a=l时，匕=11-3。=11-3=8不符合题意，舍去；

正当。=2时，6=11-初=11-6=5不符合题意，舍去；

答案第9页，共79页

沆当。=3时，/?=11-3«=11-9=2,A/xl1=100x3+10x(3+2)+2=352,则加的“留守数”

是5,

••・M和N是“挛生数”(M丰N),

:.c+d=5f

①取c=l,则d=4,A^xl1=100x1+10x(1+4)+4=154,N=14；

②取c=2,则d=3,Nxll=100x2+10x(2+3)+3=253,N=23：

③取c=3,则d=2,A^xl1=100x3+10x(3+2)+2=352,N=35=M,不合题意，舍弃：

④取c=4,则d=l,/Vxl1=100x4+10x(4+1)+1=451,N=41；

综上所述，N的取值为14、23、41.

【点睛】

本题考查了数字变化类规律.读懂题意，弄明白“留守数”和“挛生数''的概念是解题的关键.

8.⑴(x+9)(x-l)

(2),f-4工-5>0

(3)5

【解析】

【分析】

(1)先配方，然后利用平方差公式因式分解即可；

(2)先配方，然后利用平方差公式因式分解，根据条件得出x+l>0,x-5>0即可；

(3)先列用配方法化为偶次方的和为0,根据偶次方非负性质，得出々-1=0,6-4=0解一

元一次方程即可.

(1)

解：f+8X-9=X2+8X+16-9-16=(X+4)2-25=(X+4+5)(X+4-5)=(X+9)(X-1),

(2)

解:x2-4x-5=x2-4x+4-5-4=(x-2)2-9=(x-2+3)(x-2-3)=(x+l)(x-5),,/x>5,

Ax+l>0,x-5>0,

.\(x+l)(x-5)>0,

答案第10页，共79页

.,.x2-4x-5>0;

(3)

22

解：-a+b-2a-8b+\7=Of

〃2―2°+1+〃-泌+16=(a-Ip+p-4)2=0,

V(a-l)2>0,(Z?-4)2>0,

：.a-\=O,。-4=0,

\a=1,b=4,

:.a+b=5.

【点睛】

本题考查配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，半负数性质，代数式的

值，掌握配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，非负数性质，代数式的

值是解题关键.

9.(1)每件甲种商品的售价是140元，乙种商品的进价是128元

(2)该商场购进乙种商品40件

(3)这两天忧忧在该商场购买甲乙两种商品一共27或29件

【解析】

【分析】

(1)由甲的售价比进价多40%,乙的售价比进价多!，分别计算甲的售价，乙的进价即可

解题；

<2)设乙种商品x件，根据购进甲、乙两种商品共100件，花去11120元，列方程、解方

程即可解题；

(3)分两种情况讨论.

(1)

解:甲售价：100x(1+40%)=140(元)

乙进价：160+[1+£)=128(元)

答：每件甲种商品的售价是140元，乙种商品的进价是128元.

(2)

设乙种商品x件,

答案第11页，共79页

100x(100-x)+128x=11120

x=40

答：该商场购进乙种商品40件.

(3)

第一天：1760-160=11(件)

第二天：2016+90%+140=16(件)或2016+80%+140=18(件)

11+16=27(件)或11+18=29(件)

答：这两天忧忧在该商场购买甲乙两种商品一共27或29件.

【点睛】

本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

10.(1)9(A:2+4A-+1)(X+1)2

(2)(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)

【解析】

【分析】

(1)先将d+6x+l和炉+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因

式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；

(2)原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0,

故原式含有因子x-几又因为原式是关于x,y,z的轮换对称式，故原式还含因子)t,

又因为原式为X,)，，2的五次式，因此可以设-(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3

=(-v-y)(y-2)(2-x)[A(x24-/4-z2)4-B(A7+jz+zx)],利用待定系数法即可求解.

(1)

解：2(x2+6x+l)~+5(x2+l)(x2+6x+l)+2(x2+1)'

=(2x2+12x+2+x2+l)(x2+6x+l+2x2+2)

=9(X24-4X+1)(X2+2X+1)

=9(x2+4X+1)(X+1)2

(2)

解:当”=y时，原式等于o,故原式含有因子x-y,

答案第12页，共79页

又因为原式是关于-y,z的轮换对称式，故原式还含因子尸；，

又四为原式为X，y,Z的五次式，故可设X‘(y-Z)3十

=(X_y)(y_Z)(Z_X)[A(12+y2+22)+33+了2+2^)]

令x=_l,y=OtZ=1得2A—B=-1,

令x=0,y=l,z=2得5A+2B=2,

解得A=0,B=l,

J?flUx2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx).

【点睛】

本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方

法因式分解是解题的关键.

II.(1)产-力+如+6；(2)5=-2尸+：+36；(3)G(--,-)

848455

【解析】

【分析】

(1)待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)分类讨论，过点P作尸轴于点。，①当点。在“轴正半轴时，②当点。在x轴负半

轴时，求得30=—%2