数字信号处理（第2版）课件 钱玲第6、7章-FIR数字滤波器设计、数字信号处理系统的实现

第6章FIR数字滤波器设计16.1线性相位FIR数字滤波器的特性6.2窗函数设计法6.3

频率采样设计法6.4FIR数字滤波器的等波纹设计6.5FIR滤波器与IIR滤波器的比较6.5用Matlab函数设计FIR数字滤波器第6章FIR数字滤波器设计2优点：①很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号理、数据传输等系统中非常重要；②极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；③任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；④无反馈运算，运算误差小。缺点：①因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；②无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。6.1线性相位FIR数字滤波器的特性36.1.1线性相位特性6.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数6.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性6.1线性相位FIR数字滤波器的特性4

因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示FIR数字滤波器的差分方程描述对应的系统函数6.1.1线性相位特性51.线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即式中

为常数通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为FIR滤波器的频响特性为6.1.1线性相位特性6式中，H(

)是正或负的实函数，称为幅度函数（amplitudefunction）；

(

)是滤波器的相位函数(6.1-3)将

(

)=

代入（6.1-3）式得(6.1-4)(6.1-5)式（6.1-5）中，等式两边实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等，从而得到6.1.1线性相位特性7将上式两边交叉相乘，应用三角函数的恒等关系(6.1-6)满足上式的条件是(6.1-7)此时滤波器的单位脉冲响应将偶对称于中点

。

6.1.1线性相位特性82.线性相位+附加的相位(6.1-8)式中，β为一常数，上式的群时延依然是常数

。(6.1-9)可以得到类似的解为(6.1-10)此时滤波器的单位脉冲响应将奇对称于中点

。

6.1.1线性相位特性9

偶对称线性相位特性

奇对称6.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数10FIR滤波器为了得到线性相位特性，需要滤波器的单位脉冲响应满足偶对称或奇对称，同时滤波器的长度N可以为偶数或奇数，不同的组合可以得到4种类型的FIR线性相位滤波器。1.类型1——h[n]偶对称，N为奇数其单位脉冲响应满足：6.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数相位函数为幅度函数为因为对于呈偶对称，则对于是偶对称。故：116.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数122.类型2——h[n]偶对称，N为偶数其单位脉冲响应满足：相位函数为6.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数幅度函数为因为对于呈奇对称，则对于是奇对称。而且当时，，则H(z)在z=

1处必然有一个零点，136.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数143.类型3——h[n]奇对称，N为奇数其单位脉冲响应满足：相位函数为，中间项必然为零6.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数幅度函数为对于是奇对称。而且当时，，则H(z)在z=

1

处必然有零点，因为对于呈奇对称，上式可以表示为156.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数164.类型4——h[n]奇对称，N为偶数其单位脉冲响应满足：相位函数为6.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数幅度函数为对于是奇对称。而且当时，，则H(z)在z=1

处必然有零点，176.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数类型1:h[n]偶对称、N为奇数，四种滤波器都可设计；类型2:h[n]偶对称、N为偶数，可设计低、带通滤波器，不

能设计高通和带阻；类型3:h[n]奇对称、N为奇数，只能设计带通滤波器，

其它

滤波器都不能设计；类型4:h[n]奇对称、N为偶数，可设计高、带通滤波器，不

能设计低通和带阻。186.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数类型1类型2h[n]h[n]h[n]a[n]b[n]196.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数类型3类型4h[n]h[n]d[n]c[n]206.1.2线性相位FIR滤波器的幅度函数例6.1-1N=5,h

[0]=h[1]=h

[3]=h

[4]=

1/2,h

[2]=2，求幅度函数H(ω)。解:

Ｎ为奇数,并且h[n]满足偶对称关系a[0]=h

[2]=2a[1]=2h

[3]=

1a

[2]=2h

[4]=

1H(ω)=2

cosω

cos2ω

=2

(cosω+cos2ω)216.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性将代入式得到

由该式可看出，若z=zi是H(z)的零点，则z=z-1i也一定是H(z)的零点。由于h[n]是实数，H(z)的零点还必须共轭成对，所以z=z*i

及z=1/z*也必是零点。226.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成四出现，这种共轭对共有四种①既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，zi,z*I,1/zi,1/z*i②在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，zi,z*i图（b）236.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性③不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点,zi,1/zi图（c）④又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或zi=-1图(d)246.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于类型2滤波器（h[n]偶对称，N为偶数），。

即

是的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必有单根；类型3滤波器，h[n]奇对称，N为奇数，因所以z=1，z=-1都是H(z)的单根；类型4滤波器，

h[n]奇对称，N为偶数，H(0)=0，所以z=1是H(z)的单根。所以，h[n]奇对称→H(0)=0N为偶数→H(π)=0线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。256.2窗函数设计法（时间窗口法）266.2.1窗函数设计法的基本原理6.2.2几种常用的窗函数6.2窗函数设计法（时间窗口法）27

如果希望得到的滤波器的理想频率响应为，那么FIR滤波器的设计就在于寻找一个实际频响特性去逼近，逼近方法有三种：窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）最优化设计（等波纹逼近）窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，使实际滤波器的h[n]逼近理想的单位脉冲响应序列hd[n]。6.2.1窗函数设计法的基本原理

28

一般来说，理想频响是分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd[n]往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h

[n]是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd[n]

。最简单的办法是直接截取一段hd[n]代替h

[n]。这种截取可以形象地想象为h

[n]是通过一个“窗口”所看到的一段hd[n]，因此，h

[n]也可表达为h

[n]和一个“窗函数”的乘积，即hd[n]可以从理想频响通过IDTFT变换获得h

[n]=

hd[n]

w[n]式中w

[n]称为窗函数6.2.1窗函数设计法的基本原理

29窗函数法设计的基本步骤（1）构造希望逼近的滤波器频响特性以低通线性相位FIR滤波器设计为例（2）求出hd[n]：对进行IDTFT得到（3）加窗得到FIR滤波器的单位脉冲响应h

[n]h

[n]=

hd[n]w[n]（6.2-3）6.2.1窗函数设计法的基本原理

302.窗函数法设计的性能分析式（6.2-3）表示，的逼近误差必然与窗函数直接相关。所以逼近误差实质上就是加窗的影响，窗函数的类型和长度都会影响逼近误差。设窗函数为矩形窗函数，即wR[n]=RN[n]（6.2-4）（6.2-5）矩形窗频谱的线性相位中幅度函数6.2.1窗函数设计法的基本原理

31N矩形窗幅度函数的主瓣宽度为，但旁瓣电平较高，第一旁瓣电平为-13.5dB。（6.2-9）6.2.1窗函数设计法的基本原理

32卷积过程分析如下：① 当

=0时的幅度函数H(0)，根据（6.2-9）式，此时幅度函数应该是Hd(θ)与WR(-θ)两个函数乘积的积分，就是WR(-θ)在-

c到

c一段内的积分面积；（6.2-9）②

当

=

c时的幅度函数H(

c)，此时幅度函数应该是Hd(θ)与WR(

-θ)的一半重叠，因此H(

c)/H(0)=0.56.2.1窗函数设计法的基本原理

33③

当

=

c-2π/N时，WR(

-θ)的主瓣在Hd(θ)的通带

c之内，而右边具有负面积的第一旁瓣已全部移出通带，因此卷积结果最大值，即H(

c-2π/N)为最大值，幅度函数出现正肩峰；（6.2-9）④ 当

=

c+2π/N时，WR(

-θ)的全部主瓣在Hd(θ)的通带

c之外，而通带内第一旁瓣起着主导作用，使得负值的面积大于正值的面积，因此H(

c+2π/N)为最小值，幅度函数出现负肩峰；6.2.1窗函数设计法的基本原理

34⑤ 当

>

c+2π/N时，频率

继续增加，

WR(

-θ)左边旁瓣与通带相乘部分的幅度越来越小，因此,

c+2π/N<

≤π区间，

H(

)的值就在零值附近波动，而且波动幅度越来越小。由图6.2-2（e）可看出，

H(

)是对Hd(

)的逼近，它可能在个别频率点上取零值，但不在一个区间上恒为零，这也是可实现性的要求。H(

)相对Hd(

)的逼近误差是波动的，通带和阻带的最大波动误差相等，即，相当于（6.2-10）这个最大波动误差是矩形窗固有的，与窗函数长度N无关，这是吉布斯现象，N增加时，主瓣宽度变小，幅度的波动起伏振荡变密。6.2.1窗函数设计法的基本原理

35理想低通滤波器的单位脉冲响应截短后，对幅度函数产生的主要影响：① 理想滤波器的Hd(

)在通带截止频率

c处的间断点变成了连续曲线，从而使H

(

)出现一个过渡带，其宽度取决于窗函数的主瓣宽度，对于矩形窗WR(

)其主瓣宽度等于4π/N

。② 由于窗函数旁瓣的作用，使幅度函数出现波动。旁瓣所包围的面积越大，幅度函数的波动越大。过渡带：通带边界频率

p和带阻边界频率

s通过数值计算，可以得到矩形窗设计时的过渡带为：（6.2-11）6.2.2窗函数设计法的基本原理

363.窗函数法设计的其他滤波器对于其他类型滤波器，只需修改和的表达式，选择窗长度和加窗过程是一致的，表6.2-1标准理想滤波器的设计公式（适合矩形窗）6.2.2几种常用的窗函数37为了加大阻带衰减，只能改善窗函数的形状。一般希望窗函数满足两项要求：①窗函数幅度函数的主瓣尽可能地窄，以获得较窄的过渡带；②尽量减少幅度函数的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。但是这两项要求是不能同时得到满足，往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制。需要设计可用的窗函数，其幅度函数旁瓣电平要较小，而主瓣就会加宽。这样窗函数在边沿处（n=0和n=N

1附近）比矩形窗变化要平滑而缓慢，以减小由陡峭的边缘所引起的旁瓣分量，使阻带衰减增大，但主瓣宽度会比矩形窗的要宽，这就造成滤波器幅度函数过渡带的加宽。6.2.2几种常用的窗函数381.常用的固定窗函数（1）矩形窗（Rectangular）（2）三角窗（Bartlett）窗主瓣宽度为

6.2.2几种常用的窗函数39（3）汉宁（Hann）窗,又称升余弦窗当N>>1时，幅度函数近似为这三部分之和，使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍。主瓣宽度为6.2.2几种常用的窗函数40（4）哈明（Hamming）窗,又称改进的升余弦窗当N>>1时，幅度函数近似为它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在主瓣内。主瓣宽度为6.2.2几种常用的窗函数41（5）布莱克曼（Blackman）窗,又称二阶升余弦窗当N>>1时，幅度函数近似为主瓣宽度为增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，是矩形窗主瓣的三倍，增加N可减少过渡带。几种窗函数时域序列包络形状6.2.2几种常用的窗函数42图6.2-5四种窗函数的归一化幅度谱（N=49）6.2.2几种常用的窗函数43图6.2-6四种窗口在同一指标下设计FIR低通滤波器的幅频特性（N=49，

c=0.4

）6.2.2几种常用的窗函数44表6.2-2几个窗函数的性能参数窗函数主瓣宽度过渡带旁瓣峰值衰减/dB阻带最小衰减/dB矩形4

/N1.8

/N-13-21三角8

/N4.2

/N-26-25汉宁8

/N6.2

/N-31-44哈明8

/N6.6

/N-41-53布莱克曼12

/N11

/N-57-742.可变窗函数--凯泽（Kaiser）窗凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。式中I0(x)是零阶贝塞尔函数，形状参数β可自由选择，决定主瓣宽度与旁瓣衰减。β越大，w[n]窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取4<β<9。6.2.2几种常用的窗函数45图6.2-7凯泽窗（a）凯泽窗函数（b）凯泽窗频谱当n=(N

1)/2时,凯泽窗处于最大值1。β=5.44接近哈明，β=8.5

接近布莱克曼，β=0为矩形。图6.2-7(a)给出了β=4.5和β=8.5两种情况下的凯泽窗函数时域序列的包络图，图6.2-7(b)

给出了β=4.5和β=8.5两种情况下的凯泽窗函数的归一化幅度谱。6.2.2几种常用的窗函数46凯泽窗设计有经验公式可供使用，给出过渡带△

，阻带衰减

s(dB),则可求凯泽窗FIR滤波器的阶数N和参数β，即例6.2-1用凯泽窗设计一个FIR低通滤波器，其性能指标为：解：根据上述滤波器的性能指标可知：滤波器通带与阻带的波动均为:（6.2-17）（6.2-18）6.2.2几种常用的窗函数47滤波器的过渡带为：滤波器的截止频率为：

设计理想低通滤波器的频响特性为：理想低通滤波器的单位脉冲响应为：实际低通滤波器的单位脉冲响为：6.2.2几种常用的窗函数48例（补充）用窗函数设计线性相位高通FIRDF，要求通带边界频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。

解：（1）选择窗函数因为阻带最小衰减，可选择汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗。这里选择汉宁窗根据过渡带宽高通，N为奇数，N=256.2.2几种常用的窗函数49

（2）期望理想滤波器（3）确定期望滤波器的单位脉冲响应6.2.2几种常用的窗函数50

全通滤波器低通滤波器（4）加窗6.2.2几种常用的窗函数51

6.3频率采样设计法526.3.1频率采样法设计原理6.3.2频率采样法的设计步骤6.3频率采样设计法53工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。基本思想使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。内插公式频率采样法则是从频域出发，对理想滤波器的频响特性

进行采样，然后利用采样值来实现FIR数字滤波器的设计。6.3.1频率采样法设计原理54将理想滤波特性经单位圆上的N等分采样后得到频域采样值：单位脉冲响应：其系统函数为：令

（6.3-4）（6.3-1）6.3.1频率采样法设计原理55

（6.3-4）在z平面单位圆上，即，可以得到频响特性可以表示为：（6.3-5）其中

(

)是内插函数（6.3-6）由式(6.3-5)可以看出，在各频率采样点上，实际滤波器的频响特性与理想滤波器频响特性的数值严格相等。但是，在采样点之间的频响特性则是由各采样点的加权内插函数叠加形成的，因而存在一定的逼近误差。6.3.1频率采样法设计原理56

误差大小则取决于理想频响特性的曲线形状和采样点的密度。理想频响特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小。反之，如果采样点之间的理想频响特性变化越迅速，则内插值与理想值的误差就越大。因此，在理想频响特性的不连续点附近会形成振荡特性。采样点数愈多，即采样频率越高，误差越小。图6.3-1频率采样的逼近效果从图中可以看出，其一，由频率采样法设计所得的频响特性在采样点之间出现了起伏振荡；其二，在通带和阻带之间不连续处，变化较剧烈，出现肩峰。但在通带和阻带之间有过渡带时，变化比较缓慢，对的逼近较好。6.3.2频率采样法的设计步骤57

频率采样法设计数字滤波器的步骤：(1)首先根据理想滤波器的性能指标，计算在通带、阻带中的采样点数，确定所设计滤波器单位脉冲响应h[n]的对称性(奇、偶)；(2)根据单位脉冲响应h[n]的对称性，计算各采样的幅度值和相位值；(3)利用理想滤波器的频率采样值Hd[k]=H

[k]ej(k)

，通过傅里叶逆变换IDFT，求所设计滤波器的单位脉冲响应h[n]，即h[n]=IDFT[Hd[k]]；(4)利用DTFT变换，求滤波器的频响特性H

(ej

)=DTFT[h[n]]，检验是否满足设计要求，若不满足，可以在通带和阻带交界处安排一个或几个不等于零的采样过渡点，重复(1)，(2)，(3)步骤计算处理，直到满足设计要求为止。6.3.2频率采样法的设计步骤58

1.类型1，h[n]=

h[N

1

n]

，N为奇数滤波器的幅度函数是偶对称的，相位函数幅度及相位的采样分别为2.类型2，

h[n]=

h[N

1

n]

，N为偶数滤波器的幅度函数是奇对称的，相位函数幅度及相位的采样分别为6.3.2频率采样法的设计步骤59

3.类型3，

h[n]=

h[N

1

n]

，N为奇数幅度及相位的采样分别为4.类型4，

h[n]=

h[N

1

n]

，N为偶数滤波器的幅度函数是奇对称的，相位函数幅度及相位的采样分别为滤波器的幅度函数是偶对称的，相位函数6.3.2频率采样法的设计步骤60例6.3-1用频率采样法设计一个线性相位FIR数字低通滤波器。要求单位脉冲响应满足h[n]=

h[N

1

n]

，理想滤波器幅频特性为要求截止频率，采样点数。解：（1）确定截止频率所处的位置因为采样点数33，采样间隔，则，

,即截频率位于第6个采样与第7个采样之间，取（2）确定各采样点的幅度和相位大小6.3.2频率采样法的设计步骤61

（3）利用IDFT求FIR数字滤波器的单位脉冲响应

(4)最后计算所设计FIR数字滤波频率响应6.3.2频率采样法的设计步骤62为了改善滤波器的频响特性，可以在通带和阻带交界处安排一个或几个在0到1之间的采样值。首先，在k=8和k=26处，增设H[k]=0.5，这等效于加宽过渡带增至4π/33。重新计算出的如图6.3-2(b),其阻带最小衰减约为-30dB。6.3.2频率采样法的设计步骤63为了进一步增加阻带衰减，又不增加过渡带带宽，可以增加采样点数。例如，用65点进行采样，在k=14和k=52处，插进优化采样值H[k]=0.6，在k=15和k=51处，插进优化采样值H[k]=0.1，过渡带宽为6π/65，并没有增加，而阻带最小衰减可达-60dB以上。见图6.3-2(c)。所付出的代价是提高了滤波器的阶数，因而运算量也随之增加。需要说明，在总的采样点不变的前提下，过渡带的采样值不同直接影响到滤波器的频响特性。在图6.3-2(b)中，过渡带采样点取0.5并非最优值。如果采样最优的过渡带采样点取0.3904，最小阻带衰减可以提高10dB。例6.3-1所设计的滤波器为类型1线性相位FIR滤波器。6.3.2频率采样法的设计步骤64

例6.3-2用频率采样法设计一个线性相位FIR带通滤波器，设N=32，理想滤波器幅频特性为解:

N=32为偶数，按类型2线性相位FIR滤波器设计频率间隔为，求得6.3.2频率采样法的设计步骤65

根据上面设计可以得到带通滤波器的频率特性如图6.3-3所示。6.3.2频率采样法的设计步骤66

小结：频率采样设计法优点：①

直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；②

适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；缺点：截止频率难以控制。

因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板；充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。6.4FIR数字滤波器的等波纹设计67FIR滤波器设计的本质是寻找一种长度为N的单位脉冲响应h[n]，使h[n]的频响特性与希望逼近的片段恒定常数滤波器频响特性的误差满足指标要求。窗函数和频率采样设计方法，逼近误差在整个频域分布极不均匀，如果在误差最大的频段刚好达到指标，但是在误差最小的频段则远远优于指标，从而造成资源浪费。

等波纹最佳一致逼近法使最大误差最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳一致逼近法设计的滤波器的幅频特性在通带和阻带都是等波纹的，这就是等波纹的含义，最佳一致逼近指在滤波器长度给定条件下使波纹幅度最小。由于这种设计法使误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。指标相同时这种设计方法使滤波器阶数最低；阶数相同时，该设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带衰减最

小，阻带衰减最大。68

6.4.1等波纹最佳一致设计的基本思想

最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有①最小均方误差准则②最大误差最小化准则。（1）

均方误差最小化准则，若以E(ejω)表示逼近误差，则

均方误差为69

6.4.1等波纹最佳一致设计的基本思想

均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h[n]逼近理想的hd[n]，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗706.4.1等波纹最佳一致设计的基本思想可以证明，这是一个最小均方误差。所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大，或者说误差分布不均匀。（2）

最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）表示希望逼近的幅度函数；表示实际设计的滤波器幅度函数；称为误差加权函数，用来控制不同频段(一般指通带和阻带)的逼近精度。取值越大，表示相应频段逼近精度越高。等波纹最佳一致逼近法就是在通带和阻带以|E(

)|的最大值最小化为准则，求解滤波器脉冲响应h[n]。把通带和阻带称为逼近(或研究)区域，把过渡带称为无关区域。应当注意，设计过程中无关区宽度不能为零，即不能是理想幅度函数。71

6.4.1等波纹最佳一致设计的基本思想某滤波器的参数：等波纹滤波器幅频特性72

6.4.1等波纹最佳一致设计的基本思想设希望逼近滤波器的通带和阻带分别为[0,

/4]和[5

/16，

]，对4种不同的性能指标参数，等波纹最佳一致逼近的增益响应曲线分别如图(a)、(b)、(c)和(d)所示。N=33,W[1,10]；(b)N=33,W[10,1]；(c)N=33,W[1,1]；(d)N=63,W[1,1]误差加权函数W(

)和滤波器阶数N对逼近精度的影响73

6.4.2remez函数与remezord函数remez函数与remezord函数是Matlab工具箱函数的库函数，编程时可以直接调用，下面简单说明其调用方法。1．remez函数功能：采用remez算法实现线性相位FIR数字滤波器的等波纹最佳一致逼近设计。调用格式：hn=remez(N,f,m,w,’ftype’)返回单位脉冲响应向量hn。调用参数含义如下：N：FIRDF阶数，设计结果hn长度为N+1；f、m：给出希望逼近的幅特性。f为边界频率向量，0≤f≤1，要求f为单调增向量。

调用参数f和m含义图解w为误差加权向量，其长度为f的一半。ftype用于指定滤波器类型。74

6.4.2remez函数与remezord函数2．remezord函数

功能：用于估算FIR数字滤波器的等波纹最佳一致逼近设计的最低阶数N，误差加权向量w，归一化边界频率向量fo，从而使滤波器在满足指标的前提下，滤波器阶数最低。其返回参数作为remez函数的调用参数。调用格式：[N，fo，mo，w]=remezord(f，m，rip，Fs)参数说明：

返回参数作为remez函数的调用参数，Fs为采样频率，省略时默认为2Hz。解：调用remezord和remez函数求解。首先要根据性能指标确定remezord函数的调用参数，再直接写程序调用remezord和remez函数得到滤波器的脉冲响应h[n]。75

6.4.2remez函数与remezord函数76

6.4.2remez函数与remezord函数用上述参数可以设计带通滤波器，如图6.4-4所示中，N

1=23，即h[n]长度为24，显示了h[n]序列和增益响应曲线。等波纹最佳一致逼近设计方法可以使滤波器阶数大大降低。例题可以看出，h[n]满足偶对称条件，所以必然具有严格线性相位特性。77

FIRIIR性能严格线性相位，但成本高，运算量大，信号延时也较大存储单元少，运算量小，经济高效设计结果可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）只能得到幅频特性，相频特性未知（一大缺点），如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题有稳定性问题阶数高

结构非递归递归结构设计工具只有计算程序可循可借助于AF的设计成果快速算法可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法6.5FIR滤波器与IIR滤波器的比较78

6.6用Matlab函数设计FIR数字滤波器例6.6-1已知FIR滤波器的单位脉冲响应为：，画出该滤波器的频响特性，零极点分布图。解：根据滤波器的单位脉冲响应可知，其h[n]具有对称性，并且长度为12，所以该滤波器是类型2线性相位滤波器。b=[2,1,-1,3,5,-4,-4,5,3,-1,1,2];n=0:length(b)-1;a=[1];th=0:0.05:2*pi;[H,w]=freqz(b,a);zerophase(b,a,512,'whole');G=tf(b,a);subplot(1,4,1);stem(n,b);xlabel('n');ylabel('h[n]');title('单位脉冲响应');subplot(1,4,2);plot(w/pi,abs(H));xlabel('\omega/\pi');ylabel('(dB)');title('滤波器幅频特性');subplot(1,4,3);plot(w/pi,angle(H)/pi);xlabel('\omega/\pi');ylabel('(rad/\pi)');title('滤波器相频特性');subplot(1,4,4);pzmap(G);holdon;;title('滤波器零极点分布图');x=cos(th);y=sin(th);plot(x,y,':');%画单位圆6.6用Matlab函数设计FIR数字滤波器例6.6-3设计具有任意频率响应的FIR滤波器。本例设计一个“多段滤波器”，它有三个频带，各自具有不同的理想幅度和不同的误差波动，设计参数为：频带1：，理想幅度为0.3；频带2：，理想幅度为0.7；频带3：，理想幅度为1。画出滤波器的幅频特性。解：Matlab提供两个窗函数设计FIR滤波器的函数。fir1可以设计标准频率响应的滤波器；fir2可以设计任意频率响应的多带滤波器。本例利用fir2函数设计FIR滤波器，使用的窗函数为Hamming缺省值，fpts=[00.30.40.650.751];mval=[0.30.30.70.71.01.0];b=fir2(100,fpts,mval);[h,omega]=freqz(b,1,512);plot(omega/pi,abs(h));xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('滤波器幅频特性');gridon;滤波器的幅频特性呈现多带特点，该滤波器不属于标准的低通、高通等滤波特性。

796.6用Matlab函数设计FIR数字滤波器例6.6-4用等波纹切比雪夫法，设计一个线性相位数字带通滤波器，设N=36，三段不同频带的加权值分别为1，2和0.5，边界频率如下:解：在窗函数设计中，不能精确指定通带与阻带频率，并且通带与阻带区间上误差不是均匀分布。靠近边缘处误差大；反之，远离边缘处误差小。等波纹切比雪夫设计法是通带与阻带上误差均匀分布，因而可以得到较低阶数的滤波器。f=[00.20.30.60.71];m=[001100];N=36;W=[120.5];b=remez(N-1,f,m,W);[h,omega]=freqz(b,1,512);%UsingHammingWindowsubplot(1,2,1);plot(omega/pi,abs(h));xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('滤波器幅频特性');axis([0101.1]);gridon;subplot(1,2,2);plot(omega/pi,20*log10(abs(h)));xlabel('\omega/\pi');ylabel('(dB)');itle('滤波器增益响应');axis([01-701]);gridon;806.6用Matlab函数设计FIR数字滤波器f=[00.20.30.60.71];m=[001100];N=36;W=[120.5];b=remez(N-1,f,m,W);[h,omega]=freqz(b,1,512);%UsingHammingWindowsubplot(1,2,1);plot(omega/pi,abs(h));xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('滤波器幅频特性');axis([0101.1]);gridon;subplot(1,2,2);plot(omega/pi,20*log10(abs(h)));xlabel('\omega/\pi');ylabel('(dB)');itle('滤波器增益响应');axis([01-701]);gridon;由于权系数不同，滤波器高频段误差较大。81小结线性相位FIR滤波器线性相位滤波器的条件4种类型线性相位滤波器的特性窗函数设计FIR滤波器设计步骤窗函数类型与特性频率响应设计FIR滤波器设计原理设计步骤822024/10/28dsp-chap7-201883第7章

数字信号处理系统的实现7.4数字滤波器的系数量化效应7.3输入信号的量化误差7.2数的表示与量化误差7.1数字滤波器结构7.6FFT实现中的量化效应7.5数字滤波器的运算量化效应7.7用Matlab分析数字信号处理系统与量化效应2024/10/28dsp-chap7-201884学习目标：熟练应用系统框图或信号流图描述数字信号处理的过程

（a）IIR数字滤波器的三种结构：直接型，级联型和并联型；

（b）FIR数字滤波器的结构：直接型，级联型，线性相位型，

频率取样型，频域快速卷积型；第7章

数字信号处理系统的实现2.了解数字信号处理中有限字长造成的影响和效应

（a）数的二进制表示法；

（b）A/D转换器的量化误差及量化效应统计分析；（c）数字滤波器系数量化所产生的误差及统计分析模型；（d）数字滤波器实现时的运算量化误差及统计分析模型；

极限环效应（e）FFT实现中的误差分析2024/10/28dsp-chap7-201885数字滤波器可以用差分方程、单位脉冲响应和系统函数来描述，但对于研究系统的实现，即它的运算结构来说，用方框图（或信号流图）表示最为直接。7.1数字滤波器结构E1(z1)x[n]x[n1]单位延时器x1[n]

x2[n]x1[n]+x2[n]加法器x[n]aax[n]数乘器X(z)Y(z)=z

1X(z)z

1X(z)Y(z)=aX(z)aX1(z)Y(z)=X1(z)+X2(z)X2(z)2024/10/28dsp-chap7-201886例1某离散系统的信号流图如下图所示，分析系统的系统函数，

并求解其冲激响应。7.1数字滤波器结构z1Y(z)W(z)z1z1423X(z)53Y(z)解：W(z)=X(z)

(3z1+5z2+3z3)W(z)Y(z)=(2z2+4z3)W(z)如果收敛域：2024/10/28dsp-chap7-201887IIR数字滤波器：其冲激响应h[n]是无限长度序列

；

或者系统函数H(z)至少有一个非零的极点。7.1.2IIR数字滤波器结构IIR数字滤波器的结构主要有三种形式：直接型，级联型，并联型。2024/10/28dsp-chap7-2018887.1.2IIR数字滤波器结构1、IIR数字滤波器的直接I型结构（设M=N）图7.1-3直接I型结构方框图

b0x[n]

z

1

b1

z

1

b2

z

1bM

1++++

bM++

z

1

a1y[n]+

z

1

a2

z

1+

aN

1

aN图7.1-4直接I型信号流图aNy[n]a1z

1z

1z

1a2aN

1x[n]b0b1z

1z

1z

1b2bM

1bM特点：需要M+N个延时器

（存储器）2024/10/28dsp-chap7-2018897.1.2IIR数字滤波器结构2、IIR数字滤波器的直接II型结构（设M=N）直接II性结构x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bN

1bNa2aN

1aNW(z)特点：需要max（M，N）

个延时器（存储器）2024/10/28dsp-chap7-2018907.1.2IIR数字滤波器结构3、转置型结构流图将方框图或信号流图中所有支路方向颠倒成反向，且输入输出的位置互相调换一下，得到系统的转置流图。以前述的直接II型为例：图7.1-6转置的直接II型信号流图

x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1aN2024/10/28dsp-chap7-2018917.1.2IIR数字滤波器结构3、转置型结构流图直接I、II型结构都称为直接型结构。其优点是简单直观。缺点是：系数ai和bi对滤波器性能（零点和极点）的控制关系不直接，也就是说，当系数ai中有一个发生变化，则所有极点位置都会变化，系数bi对零点的影响也是如此。而且阶数N越大，影响也越大。所以高阶的IIR滤波器一般会采用级联或并联结构以减小上述影响。2024/10/28dsp-chap7-2018927.1.2IIR数字滤波器结构4、IIR数字滤波器的级联型结构图7.1-7级联型的二阶基本节Hi(z)1

1i

1iz

1z

1

2i

2i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A图7.1-8IIR数字滤波器的级联型结构2024/10/28dsp-chap7-2018937.1.2IIR数字滤波器结构5、IIR数字滤波器的并联型结构r0ir1i

1iz

1z

1

2iAigiz

1

y[n]

x[n]

C0图7.1-9IIR数字滤波器的并联型结构H1(z)

H2(z)

HP(z)

2024/10/28dsp-chap7-2018947.1.2IIR数字滤波器结构例7.1-1分别画出下式所描述系统的直接II型、并联型和级联型结构。解：(1)直接II型，如右图所示120.75z

1z

10.125x[n]y[n]1(2)并联型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

251882024/10/28dsp-chap7-2018957.1.2IIR数字滤波器结构(2)并联型，也可以将上式的并联型变换一下：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

2526

4(3)级联型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1注意：（a）级联和并联的子系统阶数必须低于整个系统的阶数；

（b）级联和并联子系统的各项系数必须为实数。2024/10/28dsp-chap7-201896FIR数字滤波器：其冲激响应h[n]是有限长度序列，

通常取0

n

N

1

；

从而其系统函数H(z)的极点全是0。7.1.3FIR数字滤波器结构另外，如果FIR数字滤波器的单位冲激响应满足对称或反对称特性，即h[n]=

h[N

1

n]，则FIR滤波器的相位响应具有线性特点。直接型，级联型，线性相位型，快速卷积型，频率取样型。所以，FIR滤波器一般具有如下结构：2024/10/28dsp-chap7-2018971、IIR数字滤波器的直接I型结构（设M=N）

h[0]x[n]

z

1

h[1]

z

1h[2]

z

1h[N2]++++

h[N1]y[n]y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]7.1.3FIR数字滤波器结构y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]2024/10/28dsp-chap7-2018982、FIR数字滤波器的级联型结构

1iz

1z

1

2i

0i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A7.1.3FIR数字滤波器结构图7.1-16FIR滤波器的级联型结构x[n]

01z

1z

1z

1

11

21z

1

02

12

22y[n]

z

1z

1

2L

1L

0L2024/10/28dsp-chap7-2018993、FIR线性相位数字滤波器的线性相位性结构7.1.3FIR数字滤波器结构h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1当N为奇数时，当N为偶数时，2024/10/28dsp-chap7-20181003、FIR线性相位数字滤波器的线性相位性结构7.1.3FIR数字滤波器结构h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1当N为奇数时，当N为偶数时，x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(a)z

1z

1z

1h[1]h[2]h[(N

1)/2]h[(N

3)/2]

1

1

1x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(b)z

1z

1z

1h[1]h[2]

1

1

1z

1

1h[(N/2)2]h[(N/2)1]2024/10/28dsp-chap7-20181014、FIR数字滤波器的快速卷积型结构7.1.3FIR数字滤波器结构假设输入信号x[n]长度为N1，如果取N

N1+N2

1，并假设x[n]和h[n]的N点DFT分别为X[k]和H[k]，则根据DFT的圆周卷积定理，有y[n]

Y[k]=H[k]X[k]也即：

y[n]=IDFT[H[k]X[k]]x[n]0

n

N1

1补零N点DFTh[n]0

n

N2

1he[n]0

n

N

1H[k]0

k

N

1

N点IDFTy[n]0

n

N1+N2

2补零N点DFTxe[n]0

n

N

1X[k]0

k

N

1H[k]X[k]0

k

N

12024/10/28dsp-chap7-20181025、FIR数字滤波器的频率采样型结构7.1.3FIR数字滤波器结构设h[n]的N点DFT为H[k]，则图7.1-18FIR滤波器的频率采样型结构x[n]y[n]

z

NH[N

1]z

1WN

(N

1)H[1]z

1WN

1H[0]z

1WN01/N（a）原理：2024/10/28dsp-chap7-20181035、FIR数字滤波器的频率采样型结构7.1.3FIR数字滤波器结构（b）特点：（1）Hc(z)是一个由N节延时单元组成的梳状滤波器，它在单位圆上有N个等分的零点，而一阶滤波器Hk(z)在单位圆上有一个对应的极点；（2）系数H[k]和WN

k都是复数，增加了运算的复杂性；（3）所有谐振器的极点都在单位圆上，由于量化效应的影响，系统的稳定性不能保证。2024/10/28dsp-chap7-20181045、FIR数字滤波器的频率采样型结构7.1.3FIR数字滤波器结构（c）修正的频率采样型结构：当N为偶数时，当N为奇数时，其中：r0k=2Re[H[k]]，r1k=

2Re[rH[k]WNk]2024/10/28dsp-chap7-2018105例7.1-2已知FIR滤波器的系统函数为：

H(z)=(1+0.5z

1)(1+2z

1)(1

0.25z

1)(1

4z

1)

分别画出它的直接型、级联型、线性相位型和频率采样型结构。解：(1)直接型，如右图所示(2)级联型（一阶节级联）：7.1.3FIR数字滤波器结构H(z)=1

1.75z

1

8.625z

2

1.75z

3+z

4x[n]z

1y[n]

z

1z

1z

1

1.75

8.625

1.75(a)

x[n]z

1z

10.52y[n]

z

1

4z

1

0.25(b-1)2024/10/28dsp-chap7-2018106(2)级联型，也可以将上式的级联型变换为二阶节的级联：H(z)=(1+2.5z

1+z

2)(1

4.25z

1+z

2)----线性相位7.1.3FIR数字滤波器结构(b-2)x[n]z

1z

1z

12.5z

1

4.25y[n]

(3)线性相位型结构：：H(z)=(1+z

4)

1.75(z

1+z

3)

8.625z

2(c)x[n]z

1z

1

y[n]

z

1

1.75

8.625

z

12024/10/28dsp-chap7-2018107(4)频率采样型结构：取H(z)的8等分点采样值为：H[k]={

10.125，j11.10，10.625，

j6.15，

3.125，j6.15，10.625，

j11.10}，0

k

77.1.3FIR数字滤波器结构设修正半径r=1（即不修正极点位置）y[n]

x[n]

z

81/821.251.414

115.695

8.696z

1z

1

1z

1z

1

1

3.125z

1

10.125z

1

1.414

1z

1z

12024/10/28dsp-chap7-2018108数的记录与表示：7.2数的表示与量化误差如：123.456=1102+2101+3100+4101+5102+6103日常记数法：十进制，包含十个不同的数码0，1，2，…，9；基：10；高位低位整数小数（尾数）权位数字信号处理中：二进制，包含二个不同的数码0，1；基：2；如：11001.1101=124+123+022+021+120

+121+122+023+124为缩短二进制表示的长度或快速读写二进制数：八进制，十六进制如：11001.1101=（31.64）8=（1A.E）162024/10/28dsp-chap7-20181091.定点二进制数：小数点位置固定不动7.2.1二进制数的表示再如：（11001.1101）2=（25.8125）10，用定点小数（二进制）表示：（25.8125/32）10=（0.806640625）10=（0.110011101）2但为了运算方便，通常定点制都把数

a限制在

1之间，即

1<a<1。这时，小数点固定在分数的第一位二进码之前，而整数位定义为“符号位”，代表数的正负(“0”表示正数，“1”表示负数)，小数部分称为“尾数”。如：（0.101）2=（0.625）10定点数有三种编码方式：（1）原码：也称“符号-幅度码”；（2）补码：也称“2的补码”；（3）反码：也称“1的补码”；三种编码对于正数来说，完全相同；但是对于负数，则有不同的表示。例：（

0.625）10=（

1.101）2原=（

1.011）2补=（

1.010）2反2024/10/28dsp-chap7-20181101.定点二进制数：小数点位置固定不动7.2.1二进制数的表示特点：定点数做加减法运算其结果可能或超出

1的范围，称为“溢出”。定点数做乘法运算不会造成溢出，但是字长却要增加一倍，一般在定点乘法运算以后需要对尾数做截尾或舍入处理，以保证字长不变，但是这样处理后会带来截尾误差或舍入误差。2.浮点二进制数：x=M

2c，M是它的尾数部分，2c是它的指数部分，c是阶数，称为“阶码”。尾数和阶码都用带符号的定点数表示，通常M的范围是0.5

|M|<1特点：浮点数做加减法运算：需要对阶，然后再做加减；其动态范围很大，不会出现“溢出”。浮点数做乘法运算时：阶码相加，尾数相乘但不论做加减或乘法运算，都存在尾数的截尾或舍入处理而带来误差的问题。2024/10/28dsp-chap7-20181111.截尾误差7.2.2定点制的量化误差当定点系统采取截尾处理时，对于正数，三种码的表示法是相同的，因而量化的影响也是相同的。设

x是(b1+1)位的正数：即其十进制的数值为：截尾后字长为b位，显然b<b1，对x截尾后的量化值用QT[x]表示为截尾的量化误差用ET表示，为当

i=0，i=b+1，b+2，

，b1时，取等号，即ET=0当

i=1，i=b+1，b+2，

，b1时，误差达到最大值，即2024/10/28dsp-chap7-20181121.截尾误差7.2.2定点制的量化误差对于负数，三种码的表示法各不相同，因而量化产生的误差也各不相同。设

x是(b1+1)位的负数。（a）负数原码：截尾的量化误差用ET表示，为令q=2

b，它是(b+1)位(含符号位)字长正数的最小值，这个值称为“量化宽度”或“量化阶”。定点正数的截尾误差为：

q<ET

0定点负数原码的截尾误差为：

0

ET<q2024/10/28dsp-chap7-20181131.截尾误差7.2.2定点制的量化误差对于负数，三种码的表示法各不相同，因而量化产生的误差也各不相同。设

x是(b1+1)位的负数。（b）负数反码：截尾的量化误差用ET表示，为定点负数反码的截尾误差为：

0

ET<q2024/10/28dsp-chap7-20181141.截尾误差7.2.2定点制的量化误差对于负数，三种码的表示法各不相同，因而量化产生的误差也各不相同。设

x是(b1+1)位的负数。（c）负数补码：截尾的量化误差用ET表示，为定点负数反码的截尾误差为：

q<ET

0归结起来，定点表示法的截尾误差为：正数及负数补码的截尾误差为负数，其范围：

q<ET

0；负数原码与负数反码的截尾误差为正数，其范围：0

ET<q。2024/10/28dsp-chap7-20181152.舍入误差7.2.2定点制的量化误差对字长为(b1+1)位的定点数作舍入处理时，是通过对尾数的第(b+1)位加1，然后截取到b位实现的。舍入之后的量化间距为q=2

b，即两个数间最小非零差是q。无论是原码、反码还是补码，其误差总是在

q/2之间。以QR[x]表示对x作舍入处理，ER表示舍入误差，则有

q/2<ER

q/2例7.2-1

若寄存器字长b=2的数字系统，当经过运算处理后字长增加到b1=4。现有运算后的三个数：

负数原码x1B=1.1001，负数反码x2反=1.1010，和负数补码x3补=1.1010（1）若采用截尾处理，分别求出上述三数所引起的误差；（2）若采用舍入处理，分别求出上述三数所引起的误