国开中学数学教学研究第1章至第9章自测练习

第一章自测题1.试述中学数学教学研究的内容。    答：中学数学教学研究对象限定为“中学数学教学”，即现阶段我国普通中学进行的有统一的数学课程标准、有确定的数学教材、由教师和学生共同参与、能产生预期社会效果的教与学的活动。对中学数学教学的研究由来已久，但是还远未形成一门成熟的理论，仅就中学数学教学的本质和如何对它进行研究这样的问题，迄今仍然众说纷纭。一般认为，中学数学教学的研究涵盖教与学两个方面，是教与学的统一。2.试述中学数学教学研究的特点。答：学习和研究一门学科必须掌握它的特点。下面着重介绍几个比较显著的基本特点：1．综合性所谓综合性是指中学数学教学是一门与数学、哲学、教育学、心理学、逻辑学等学科相关联的综合性学科。但中学数学教学不是这些学科的随意拼凑与组合，而是从数学与数学教学的特点出发运用这些学科的原理、结论、思想、观点和方法，来解决中学数学教学本身的问题。研究数学教育、教学必须要有一定的数学修养，而且数学的造诣越高，越能把握数学内部的精髓，正是从这个意义上说，研究数学教学一刻也不能离开数学。但值得指出的是，数学教学不是数学的自然结果，因为数学教学有其自身的规律性。数学学习是一个特殊的认识过程，它当然要受制于一般的认识规律。但是数学学习的对象有其自身的特点（如抽象性、概括性较强，基本上是演绎的体系，知识的前因后果联系比较紧密等），这样，数学学习又有其特殊性。数学教学研究的综合性就是这种一般性与特殊性的高度统一。这种统一不是简单地把特殊性作为一般性的肯定例证，换句话说，不是一般性结论加数学教学方面的例子，而是在一般性理论(教育学、心理学等)指导下，从数学教学的特殊性出发引出适合于数学教学的必要的一些结论，从而充实、丰富一般性结论。中学数学教学研究的综合性特点要求我们：要注意与数学教学密切相关的学科的发展。例如，认知心理学派提出关于数学认知结构的观点；教学论里吸收了许多系统论、信息论与控制论的观点等等，都要引起我们的注意与研究。2．实践性中学数学教学研究主要是探讨中学数学教学的规律。其中有：教学的规律；学生学习的规律；数学教学评价等，以及它们之间的关系，以期更有效地提高中学数学教学质量。中学数学教学研究的实践性表现在以下三个方面：第一，中学数学教学研究要以广泛的实践经验为其背景。实践始终是数学教学研究的源泉，离开了实践，数学教学研究就成为无源之水、无本之木。例如，在概念的教学中，教师总结出许多方法，如揭示概念本质特征的对比、类比及正反例论证的方法；在体系中掌握概念的知识结构与内在联系的方法等。这些都是我们研究概念的教学与学习的丰富背景。离开这些背景，只是从理论到理论的论述，是不能解决教学实际问题的。但是，任何实践经验，都缺乏一定的概括，都带有一定的局限性，它一般是与当时特定的情景、条件联系在一起的，因此，有必要加以提炼、概括，把它们上升为适用范围较广的理论，而这正是数学教学研究的任务之一。第二，数学教学所研究的问题来自于实践。以数学学习和教学为例来说，就有许多悬而未决的问题需要去研究。如数学学习具有怎样的心理规律？数学问题解决的心理机制是什么？如何通过数学教学培养学生的创新意识和实践能力？现代化教学手段对教学内容的选择、教学材料的组织、教学进度的影响，以及对学生学习态度、学习方法的影响等问题，都是当前亟待解决的问题，也是数学教学应该研究的问题。第三，数学教学研究要能指导数学教学实践，并通过实践检验其理论。由于数学教学研究是对中学生学习数学知识、发展数学思维的规律以及数学教学规律的研究，其理论必将对中学教师的教学实践提供依据，指导教师的教学实践，并受中学数学教学实践的检验。3．理论性中学数学教学研究的理论性体现在，数学教学研究要符合数学学习、数学教学的一般规律，符合事物发展的趋势，符合其它学科的一般规律，符合实际。要根据数学教学过程的固有特性和本质规律来揭示数学教学过程，对数学学习、数学教学等方面的问题给予系统的回答。数学教学研究的实践性并不是脱离理论指导的盲目实践。因此，这门学科，不仅具有很强的实践性，同时又是一门理论。4．发展性中学数学教学研究的发展性体现在数学教学研究要跟上时代发展的步伐。由于社会的不断发展，社会对基础教育不断提出新的要求。例如，在教学要求上，由于科学技术的发展，劳动的性质越来越具有智力的成分，再加上科学发展之迅速，不可能使学生在学校学到一辈子受用的知识，主要靠他在毕业后自身去获取知识，于是发展智力、培养自主学习能力的问题就提出来了。时代的发展对教学提出了新的要求，这样，一些旧的教育思想就不太适应了，需要加以革新，使之符合数学教育发展的趋势。又由于教育科学、技术的进步和数学教学研究不断取得新的成果以及教学经验的积累，使得数学教学研究的理论更加丰富。事实上，数学教学研究的4个特点有其各自的作用。综合性是数学教学理论研究的依托，实践性是数学教学研究的出发点与归宿，理论性是数学教学研究的基本要求，发展性是数学教学研究丰富的源泉。4个特点本身也是相关的，没有实践性与发展性就谈不上理论性，实践性、理论性本身就有数学教学研究的因素等。因此，我们应该在数学教学研究的整体下，统一地来考虑这4个特点。3.中学数学教学的研究有哪些重大课题?    答：一般认为，中学数学教学的研究涵盖教与学两个方面，是教与学的统一。这样就涉及到以下诸方面的研究：教什么？学什么？怎么教？怎么学？教得怎样？学得怎样？为什么这样教与学？具体地说，以下课题特别受到重视：第一，关于中学数学课程问题。主要研究中学数学课程目标制定的依据，“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”三个维度课程目标的关系，研究中学数学课程的总体目标和阶段性目标的关系等。第二，关于中学生“学习心理”问题。譬如，研究中学生学习数学的心理特征，研究中学生数学认知结构的形成和发展过程，研究中学生认知发展过程中外界条件的促进作用，研究中学生数学能力的结构及其演变等。第三，关于数学思维和数学能力的问题。包括研究数学思维和数学能力的特点，如何培养学生的创新意识和数学能力，如何发展学生的创造性思维等重要的课题。第四，关于中学数学教学的问题。主要是在一般教学理念下，研究新课程下的数学教学观，数学教学的特点、数学教学设计等重要课题。第五，关于中学数学教学的“教学方法”问题。主要研究诸如启发式教学思想、讲授教学法、发现教学法、自学辅导教学法和计算机辅助教学等各种教学方式，以及这些教学方法如何适应数学特点、如何推进中学数学教学的科学化和现代化等。第六，关于中学数学教学的整体改革问题。譬如，研究国内外数学课程改革情况，研究如何使中学数学课程与教学能适应社会进步和科技发展，研究如何引进先进教学改革的方案等。第七，关于中学数学教学的“评价”问题。譬如，研究如何进行教师评价、学生评价，研究教学评价中如何进行自我评价与相互评价，研究如何使教学评价计量化、科学化等。4.如何理解中学数学教学研究的方法？    答：中学数学教学研究是一门综合的实践性很强的理论学科，其研究方法大致可以归纳为如下4种：1．历史研究方法历史研究方法就是从历史中吸取教育思想的启迪，不是去重复和复制历史；把现实的研究问题放到数学和数学教育历史中看清其历史地位；把历史资料和现实资料加以对比分析，从历史的全局上把握本质。2．理论研究方法数学教学研究是一门实践性很强的理论学科，并不否定理论的研究或思辨性研究，而往往要用思辨性的研究作理论分析，分解出研究问题的构成因素，形成假说；研究各种因素的性质和相互关系；从众多资料中作理论概括，抽出规律，形成理论体系。3．实证研究方法实证研究方法是通过收集资料，进行调查和统计，分析和比较以及剖析典型事例，来研究构成教育问题的基本因素，以把握问题的实质和规律性。常用的方法是观察和调查。比如通过自己的数学教学实践，或通过调查了解有关中学的数学教学工作，可能发现一些有价值的问题，对这些问题进行深入全面的分析，制订解决方案，进行实践，通过解决问题，可能总结出一些规律性的东西，充实数学教育学的内容。4．实验研究方法实验研究方法是依据一定的理论假说，在教育实践中进行，运用必要而又合乎教育情理的控制方法，变革研究对象，探索教育的因果规律的一种科学研究活动。在实验研究中也采用许多实证研究的方法，如观察和调查，但有本质的区别。这就是实验研究中，人为地制造了严密地验证实验假说的系统和环境，即要有严格的控制条件。首先要提出和论证实验课题，作出实验假说。实验课题要明确，要有必要性，假说要简明，要具有可验证性、充分性和无矛盾性。根据实验假说确定实验类型，取样，控制实验条件，进行教学实验；采用研究性谈话、问卷、测试、系统观察与个案研究等方法收集资料；使用经验归纳法、统计分析法等分析处理资料，得出结论，最后写出实验报告或论文。 第二章自测题1、举例说明数学的研究对象和主要特点。答：数学的发展已经过几千年的历程。在学数学、用数学和研究数学的过程中，也许每个人对数学都有自己的理解，然而要准确地回答数学是什么、数学研究什么，并得到公认，似乎还没有人真正做到这一点。人们对数学的认识是随着时代的发展而发展的。1．古代人们对数学的认识古希腊的亚里士多德认为：数学是研究数量的科学。并说“数是一种离散的数量”，“线是一种连续的数量”。研究数及其属性（例如奇偶性、对称性以及比例关系等）的学问叫做算术，研究量及其属性（例如对称、相交、平行等)的学科叫做几何学。2．19世纪以前人们对数学的认识数学史表明，在19世纪以前，古典数学的主要成就是算术、几何学、代数学、微积分。这些数学学科所研究的都是客观事物的空间形式和数量关系。对此，恩格斯曾经概括为:“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。”3．人们对现代数学的认识世纪以来，数学的基本部分——分析学、几何、代数均发生质的变化，它的研究对象已经超出了对数量关系和空间形式最初意义的理解。数学不仅要研究考察现实世界时所产生的概念，而且要研究“思维对象”，比如，在无限维空间中的球和螺线；在逻辑上研究可能的纯粹形式和关系。在这种情况下，数学的对象到底是什么，再度引起人们的思考。例如，布尔巴基学派就认为“数学是研究抽象结构的科学。”他们用结构的观点看待数学，认为最普遍、最基本的数学结构有代数结构、顺序结构、拓扑结构，这是三个母结构，此外还有许多各式各样的子结构，由母结构和某些子结构一起，形成某个数学分支的结构。苏联著名数学家亚历山大洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》一书中指出：“数学以纯粹形态的关系和形式作为自己的对象”。我国数学家丁石孙认为“数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数学关系和结构关系。”。还有不少数学家认为，只要扩充对有关数量关系和空间形式的理解，恩格斯的数学对象观仍然适用于现代数学。目前，《普通高中数学课程标准（实验）》在谈到数学的对象时，就是把恩格斯定义中的“现实世界”去掉了，即“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。”看来这些观点从各个不同的侧面，对数学的对象作了较好的概括，在本质上是不矛盾的。二、数学的特点谈到数学的特点，哲学家、数学家多有表述，一般仍引用《数学——它的内容、方法和意义》中的提法，把数学的特点归结为：高度的抽象性；严谨的逻辑性；应用的广泛性。1．高度的抽象性数学与自然科学相比较，具有更高抽象的程度。任何科学都具有抽象性，“数学以及其他科学都是把物体现象生活的一个方面抽象化”。物理学只保留物理属性而舍弃其他；数学的抽象，则只保留量的关系而舍弃一切质的特点，只保留一定的形式、关系、结构。例如，变速运动中，某一时刻的瞬时速度，这是从物理学中抽象出来的规律，而我们数学的抽象就是从数量关系上抽象：这里已舍去了其物理意义，因而数学的抽象具有高度的抽象性。这种形式、关系和结构已是一种形式化的思想材料，或者是一种抽象结构。例如，世界上本来并没有“二次方程”，它是人们从现实世界数量关系中抽象出来的思想材料。没有抽象，就不会有自然数、方程式和函数，也就没有数学的研究对象。数学的抽象是逐步发展的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。从直接概括现实对象属性的抽象，到拓=扑空间、一般代数系统、算法等高水平的抽象都是从简单到复杂，从具体到抽象这样不断深化的过程，也就是说，数学的抽象不仅表现在广度上，而且表现在不同层次的深度上。2．严谨的逻辑性数学要求逻辑上无懈可击、结论要精确，一般称之为数学具有严谨的逻辑性。（1）数学概念必须严格地加以定义或用公理确定。一个数学概念，没有逻辑上自足的刻画，就不能进一步进行研究。在数学定理的证明中，据以证明的前提，在逻辑上是清楚的，至少原则上如此；定理证明的步骤在逻辑上是完全的，是严格无误的。（2）数学推理、论证必须符合逻辑规则。数学的结论是否正确，一般不能像物理等学科那样，借助于可重复的实验来检验，而主要靠严格的逻辑推理来证明；而且一旦由推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。数学的高度抽象性质预先规定了数学只能用从概念本身出发的推理来证明，数学的概念原则上是逻辑地可以自足的。（3）数学的结论必须明确。正是数学概念的这种确定性以及逻辑本身的普遍意义，使数学的结论具有逻辑的必然性，也就是结论的精确性。从而数学常被称为“神机妙算”，使数学具有高度的预见性。当然，逻辑的严谨性不是绝对的。例如，微积分刚建立时，逻辑上是很不严密的，然而其结论是正确的，获得了惊人的有效应用；直到后来，经过数学家很长时间的努力，才给微积分建立了比较严谨的理论基础。类似微积分这样的事例在数学中还有很多，但这种逻辑上的不严密只能是暂时的，随着人们认识能力的提高而逐步加强。3．应用的广泛性数学的高度抽象性和逻辑的严谨性带来了数学应用的广泛性。正如华罗庚教授所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”数学在日常生活中、在生产技术中的应用已毋庸置疑，科学技术的发展也离不开数学。1994年，王梓坤院士为中国科学院数学物理部作了题为《今日数学及其应用》的报告，对60年代之后数学的应用作了重要补充，并列举了数学在现代科学技术中被广泛应用的有趣故事。例如，第一次世界大战被称为“化学战”；第二次世界大战被称为“原子战”；而在90年代初的海湾战争中，因为数学计算在战争决策中起了重要的作用，因此被称为“数学战”。2、举例说明数学的教育价值。答：所谓数学的教育价值，即数学教育对人的发展的价值。所谓数学的实践价值，是指数学对于认识客观世界、改造客观世界的实践活动所具有的教育作用和意义。任何一门科学其教育价值都是建立在它的实践价值基础之上的，如果一门科学不具备任何方面的实践价值，这种知识对教育来说可以认为是没有多大价值和意义的。正如数学家拉普拉斯所说：“数学是一种手段，而不是目的，是人们为解决科学问题而必须精通的一种工具。”这种工具的作用主要表现在以下三个方面：1．数学是科学的语言任何科学都有自己的语言，这种语言能高度准确地描述科学所固有的特性。不难想见，化学反应方程式的语言何等清晰洗练。它使化学家们不仅能记下化学过程的进行情况，而且能预见到可能产生的结果。尽管这种语言如此重要，但充其量也只能用来解决化学自身中的问题，却不可能将它用到其他方面的知识领域中去。在这方面，数学语言则有不可比拟的优越性，从一定意义来讲，数学是适合于描述不同质的过程的万能语言。在初中代数中，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式。用代数式总能表达一个意思。因此，代数式是数学语言中的词汇或短句。而列方程就是把日常生活语言翻译成代数语言。要想掌握代数这个工具，就要学会认读代数式，会翻译其含义，并且会由代数式展开推理。这是学好代数，以致于学好数学的基本功。数学语言由于其本质上包含着思维的经济性，使得我们可用少量的语言和公式来描述不同质的过程。例如，二次函数 既可描述自由落体运动 ，又可描述物体运动的动能，也可表示半径为r的半圆形铁板的面积还可成为数学发现的有力工具。譬如，

等。好的数学语言本身的符号记法能使你发现即使通过几十个数值例子都不大可能发现的东西：三次方程根与系数的关系。2．数学是计算的工具数值计算是数学的基本功用之一。一门学科从定性的描述到定量的分析，是这门学科达到成熟阶段的重要标志。因此，数学科学的实践价值的一个方面就在于它是计算的工具。天体力学理论依据数学计算和推导，正确地预言了海王星的存在；生物遗传学中的基因理论就是从两两具有不同性状的个体杂交实验中获得了大量实验数据，进行大量计算，并经过数理统计推断分析才提出来的。下面我们来看一段录像，看一看学生是怎样运用数学这个计算的工具来求得圆周率π的？【参考本章教学实例1视频：概率中几何概型的问题】现在，数值计算都可以使用计算器甚至用计算机，还学数学做什么？“实际上，数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术。”比如，计算：靠蛮力计算甚至用计算器都可求得结果，然而观察分母特点进行拆分，原式= ，省时省力又准确。可见，数学教给人们的是计算的艺术。3．数学是科学抽象的工具运用数学的抽象，数学模型的方法，在理想状态下分析最纯粹的过程，是科学研究的重要手段。数学作为科学抽象的工具，在科学史上可以找到无数的事例。【参考本章教学实例2】近、现代的科学成就，如相对论、量子力学、信息论、控制论等，都是因为有了相应的数学为之提供了科学抽象的工具，才使得它们成为了现代科学发展的里程碑。通过数学学科教育，可以使人们熟练地掌握打开科学大门的钥匙。牛顿研究天体力学，中心的物理概念是引力。而引力的作用是完全不能用物理的术语解释。牛顿不给解释，只给出一个显明而有用的数量公式，表明引力是怎样作用的。这就是为什么牛顿在《自然哲学的数学原理》的开端处说：因此，我计划在这里只给出这些力的数学概念，不考虑它们的物理原因的根底。虽然牛顿放弃物理的机械解释而改用数学的描写，甚至使杰出的科学家也感到震惊，曾遭到过惠更斯、莱布尼兹等人的非议。“但是，只有依靠数学的描写（即使完全缺乏物理的了解时也依靠它）才使得牛顿的惊人的贡献成为可能，更不用说后来的发展了。”所谓数学的认识价值，是指学习和掌握数学科学知识及其过程在发展人的认识能力上所具有的教育作用和意义。认识价值是评价一门科学是否具有教育价值的最根本的标准和出发点。数学的认识价值表现为两方面。1．数学是锻炼思维的体操，启迪智慧的钥匙首先，逻辑思维能力是思维能力的核心，数学是培养学生逻辑思维能力最好的、最经济的材料。因此，加里宁说：“数学是锻炼思维的体操。”化学家罗蒙诺索夫说：“至于数学，即使是只不过使人们的思维有条理，也应该学习。”这些话都是至理名言。其次，数学训练思维能力的价值不仅在于严格的逻辑推理，同时数学也是学习合情推理的理想的课堂，学习发现问题、提出问题、分析问题、解决问题思维程序，培养探索解决问题能力的最经济的场地。而数学中包含了很多这种合情推理的材料。【参考本章教学实例3】最后，数学方法的思维功能是数学教育功能最突出的体现。在数学具有价值的内容体系中，数学方法是核心内容，因为数学思维从宏观上看是一种观念形态的策略创造，数学教学的重点就在于培养学生如何用数学的眼光、数学的方法去透视事物；提出数学概念；解决数学问题，而数学方法就是数学思维策略创造的结晶。要学会创造就要从数学思想方法的学习与应用开始。中学数学中的主要数学思想方法，包括转化的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想和建模的思想。【参考本章教学实例4】2．数学是辩证的辅助工具和表现方式数学抽象思维除了它的抽象概括性、简明性和严谨性之外，还有辩证性。数学概念的形成，数学思想的更新，数学方法的演进，处处充满了辩证的逻辑。抽象与具体，理论与实际，量与质，数与形，正与负，常量与变量，连续与离散，有限与无限，精确与模糊等对立的数学概念，在一定条件下实现相互转化，这表明数学中充满了辩证法。人们要认识世界只有形式逻辑思维方式远远不够，还必须用辩证唯物的观点看世界。正像R.E.莫里兹所说：“数学使思维产生活力，并使思维不受偏见、轻信与迷信的影响与干扰。”足见数学对于提高人才素质有重大的教育价值和意义。所谓数学的德育价值，是指数学在形成和发展人的科学世界观、道德色彩和个性品质所具有的教育作用和意义。以往人们对于数学形成和发展学生辩证唯物主义世界观，以及正确、严谨的逻辑思维能力的作用和意义，已经有相当多的讨论了，而数学教育对学生形成和发展道德品质和个性特征所具有的教育作用，在传统数学教育中还没有受到应有的重视。人的毅力、刻苦精神、对真理的追求、对问题的事实求是的态度、协作共事的作风，这些做人的基本准则和一个人的品质，都不是先天铸就的，而是后天通过教育、学习、实践培养锻炼逐步形成并完善的，其中数学学科教育对此具有重要的功能。前苏联数学家、数学教育家A.R.辛钦曾说：“数学课对于培养正确与严密的思维能力方面的作用和意义已经被人们讨论得很多了。相反，关于数学课对于形成学生性格和道德个性几乎还没有被谁谈到过。在通过数学教育形成学生的性格特征中，辛钦着重谈及了4点：真诚、正直、坚韧和勇敢。数学是一门论证科学，其论证的严谨使人诚服，数学的真理性使人坚信不移。数学无声地教育人们尊重事实，服从真理这样一种科学的精神。数学是一门精确的科学，在数学演算中，来不得半点马虎，在数学推理中，更容不得粗心大意。粗枝大叶、敷衍塞责是与数学的严谨性格格不入的，因此数学使人缜密。数学可以造就精力集中、做事认真负责的品质。数学是一门循序渐进、逻辑性很强的抽象科学。学习数学，攻克具有挑战性的问题，会逐渐铸就人们脚踏实地、坚韧勇敢、顽强进取、攀登奋斗的精神。一个人学习数学，工作以后很可能由于长期不接触数学，而“把数学都还给老师了”。但学习数学过程中领悟的数学的精神、思想和方法，作为一种品格力量，却一直发挥着作用，这集中体现了数学的德育价值。所谓数学的美学价值，是指数学在培养发展学生审美情趣和能力方面所具有的教育作用和意义。什么是美？美是心借物的形象来表现情趣，是真与善、规律性与目的性的统一。美又是自由的形式：完好、和谐、鲜明。科学家从自己科学研究实践中已经深刻认识到科学美、数学美的存在与作用。比如，作为一个伟大的科学家，彭加勒对科学美与数学美有强烈的感受：“一个名副其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”这种“伟大的东西”就是与艺术美相提并论的科学美（数学美）。“感受到自然和人类的美，并用美丽的语言讴歌她，这就是诗歌；用美丽的色彩和形态去表现她，这就是绘画；而感受到存在于数与形的美，并以理智引导下的证明去表现她，这就是数学。”哲学家常说，美的就是真的，而数学就是这样一门“既美而又真”的科学。正如英国数学家、哲学家罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至上的美。正像雕刻的美，是一种冷而严厉的美。这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”数学与科学知识之所以给人以美的感受和力量，就在于秩序、和谐、对称、整齐、结构、简洁、奇异，这些都是人们产生美感的客观基础，而数学恰恰集中了美的这些特点，并以纯粹的形式表现出来。1. 和谐美芭蕾舞演员翩翩起舞的时候，要时不时的踮起脚尖，这是为什么呢？原因在于，她在踮起脚尖的时候，肚脐以下的部分和她身高的比，正好是黄金分割比0.618，给人的视觉是一种和谐的美。2. 对称美中国的世博会的中国馆，它给人的一种美是几何图形的对称美。3. 几何图形的美我们知道，著名诗人杜甫，有一非常著名的《绝句》，两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。事实上，杜甫的这首诗惟妙惟肖的描述了一幅立体图画，将几何的点、线、面、体全部融入到诗中。这里面两个黄鹂鸣翠柳中的“两个黄鹂”是点，“一行白鹭上青天”是空间的线，“窗含西岭千秋雪”展现在我们面前的是一个面，“门泊东吴万里船”则是一幅立体的图画。显示了几何图形的美。人们对数学的统一美、简单美、奇异美等的追求，在很大程度上促进了数学的发展。例如射影几何的对偶原理，数学中自然对数的引进都是基于对称美的追求；二进制的建立是对简单美的追求；集合论中的悖论是对奇异美的追求；而公理化方法是数学抽象美的高层次的显示。【参考本章教学实例5】数学家冯·诺伊曼曾指出：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的。”他又说“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的、不受(或近乎不受)经验的影响。”数学家阿达玛则更明确地表示：“若要问及研究工作的未来是否能产生卓有成效的结果，严格地说，我们对此真是一无所知，但审美感是可以告诉我们的，除了美感以外，就看不出有任何东西能够帮助我们去做预见了。”这正是对数学审美创造的深刻体验和精辟概括。马克思认为，社会进步就是人类对美的追求的结晶。数学对自身发展所具有的创造性的审美价值，要求我们在教育过程中必须注意诱导、培养学生的感受数学美的能力，这是数学教育的一个重要目标。到底什么是数学的教育价值？我们可以得到如下的基本认识：数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。美国一位数学家说：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。”波兰技术专家科日艾布斯基认为，人类的最大特征是“具有随着时代的节拍不断进步发展的性质，即具有发明、发现和创意创新的能力。而这种能力正是一切其他生物几乎不具有的、人类独特的本领。”日本数学教育家米山国藏读后深受启发，认为：致力于启发和培养这种特征，乃是人类最大的责任和义务。米山国藏曾在大学和高中的数学教育实践中取得了许多的成绩，并探索过科学精神和文艺的根基与数学的精神和思想的根基之间的密切关系。米山国藏指出：“我历来认为，要启发人类独有的这种最高贵的性能，莫过于妥善利用数学教育。”这个结论是很有说服力的。3、当前我国中学数学教育改革的特点是什么？为什么要进行改革？答：1949年10月中华人民共和国成立，同年11月教育部成立。新中国成立后，为了适应我国社会主义建设的需要，在改革教育的同时，我国的中学数学教育也进行过多次改革和实验，取得了很大的成绩，积累了丰富经验，也遭受了不少挫折，走过了一条曲折的道路。大致经历了7次大的改革，在这7次大的改革中间，还有一些小的变化。第一次，1950年——1953年。建国初期的1950年，原教育部颁布了“中学暂行教学计划（草案）”，规定数学为必修课，包括算术、代数、平面几何、三角、立体几何、大代数和解析几何。采用的教材是东北地区编译的苏联课本。东北地区对苏联教材进行了三年实验，效果尚可。到1952年秋季，在全面学习苏联的口号下，我国各地中学普遍采用了东北编译的苏联中学数学课本。这套教材是分科的，包括算术、代数、平面几何、立体几何和平面三角，不包括解析几何。由于这套教材是完全照搬苏联的，结合我国中学数学教学的实际情况不多，一般的反应不是很好，认为使用这套教材降低了我国中学生的数学水平。这是全面学苏联阶段。第二次，1953年——1957年。1953年，在毛泽东同志关于“所谓教学改革，就是改革教学内容和教学方法，因此应当改编教材”的指示下，1953年10月，原教育部颁布了“中学教学计划（修订草案）”，并责成人民教育出版社立即改编教材，要求以苏联中学课本为蓝本，在总结第一套全国通用课本经验的基础上，结合我国的实际情况，进行改编。1956年，编出了全部的中学数学课本和相应的教学参考书。在内容上与苏联的教材差别不大，仍然没有解析几何，但在形式上改变了苏联教材中课本和习题分开的形式。这套教材使用后，广大中学数学教师普遍反映良好。认为课本的科学性、思想性、系统性都比第一套教材加强了，并且重视理论和实践的结合。从实际中引入概念，以培养学生的辩证唯物主义世界观，重视培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。教材中配备了例题、习题和复习题，较前套教材的课本和习题分开优越得多。第三次，1958年——1961年。1958年5月，中国共产党八大二次会议制订了“鼓足干劲，力争上游，多快好省地建设社会主义”的总路线，全国城乡迅速掀起了“大跃进”的高潮，教育革命也进入了高潮。19589月，中央发布了“关于教育工作的指示”，之后，开始了学制改革试验，主要的实验学制有：小学五年一贯制，中学五年一贯制，中小学七年、九年、十年一贯制，中学四二制、三二制、四年一贯制，等等。在教学内容上，认为旧教材内容陈旧落后，脱离生产劳动。针对这种情况，各省市自编了教材。结合学制的改革，改革数学教学内容。这些教材较1956年教材增加了微积分初步、概率统计初步、解析几何、数理逻辑初步、向量、矩阵和制图。在编排上，反对循环排列，要按直线排列。从各地的实验情况来看，由于增加了许多内容，学生负担太重，学的不牢固，有的内容像蜻蜓点水一带而过。学生根本消化不了，基本训练不够，而且师资培训也跟不上，这样，造成了数学教育的混乱，欲速则不达，反而降低了教学质量。第四次，1961年——1965年。针对当时数学教育的混乱状况，1961年开始整顿。1962年起，人民教育出版社总结教育改革的经验，吸收了学习苏联时的经验，结合我国的实际情况，陆续编出了全日制十二年制的中学数学教材。这套教材分为代数、平面几何、立体几何、平面三角、平面解析几何五科（算术内容下放到小学），1963年起陆续在全国使用。这套教材使用后，当时普遍认为这套教材是建国以来最好的一套教材。和1956年的统编教材相比，增加了平面解析几何，适当加深加宽了数学各科内容。例如，初中几何增加了三角初步知识，高中代数增加了概率初步知识、行列式。增加的内容比较适合我国国情，较大幅度地提高了初中、高中的数学程度。第五次，1966年——1976年。文化大革命期间，一切都搞乱了，教育也一样。第六次，1977年——1999年。1977年9月，原教育部根据邓小平同志的指示，召集人民教育出版社成员，又集中了全国各地一些有经验的教师、教材编写人员，根据精简、增加、渗透的六字方针，1978年编辑出版了全日制十年制统编教材（小学五年，中学五年三二制）。这套教材在内容上：（1）精简了传统的中学数学内容，从传统内容中精选出参加工农业生产和学习现代科学技术所必需的基础知识。删去了传统数学中用处不大的内容。（2）增加微积分以及概率统计、逻辑代数等的初步知识。（3）把集合、对应等思想适当渗透到教材中去。在体系上，把精选出的代数、几何、三角等内容和微积分结合成一门数学课。1983年，原教育部认为，由于我国幅员辽阔，各地经济、文化发展极不平衡，因而在教材上不能搞一刀切，应实行统一性和多样性相结合。于是提出实行两种教学要求，对一般中学实行基本要求。概率初步、微积分初步、二次曲线切线等内容作为选学内容。高考按基本要求命题。1985年，国家教委作了一个指示，为了减轻初中学生的学习负担，对某些内容作了调整。较大的变动是初中代数的二次函数部分内容移到高中学习。现在的教材改革已经侧重在如何适应义务教育上了。除了统编教材以外，另外还有几套较有影响的中学数学实验教材。这些教材在一定程度上反映了时代的要求，现作简要介绍如下：（1）由教委委托，北京师范大学牵头，根据美国加州大学伯克利分校数学系项武义教授的《关于中学实验数学教材的设想》组织编写的《中学数学实验教材》。这套教材的基本结构是：代数、几何分科，初中、高中螺旋上升地安排体系。教学按初一下学期、初二，代数、几何双科并进；初三学函数；高一、高二，代数（包括概率）、几何双科并进，高三学微积分初步的程序安排。这套教材内容有深度，偏重说理，适合于重点中学使用。实验表明，这套教材对于“尖子学生”的知识学习和能力培养是有利的。（2）中国科学院心理研究所卢仲衡教授主持的自学辅导教材。这套教材只有初中部分，影响也比较大，效果也较好。这套教材的基础是程序数学，内容基本上与传统教材一致，但它是以自学为主、辅导为辅的精神来编写的。体现了学生学习的主体性和自觉掌握知识的进程。这套教材在程序教学的基础上作了如下改造：①步子适当，有小到大，从展开到压缩；②把学生自觉置于教师直接指导下，并把教师讲解列入教学环节的组成部分；③把个别教学和集体教学结合起来；④把学生自我检查与教师检查结合起来；自学辅导重点放在自学，放在个别化上，但又兼顾班级授课。由于学生能自己控制进度，不懂可以返过来再学，学懂一点，前进一步，所以这套教材对中、下学生掌握知识特别有利。（3）北京师范大学钟善基教授主持的“五、四、三”初中数学教材。这套教材是为学制从六、三、三过渡到五、四、三，初中实行义务教育做准备的。这套教材的内容基本上和统编教材一致，但在编写上比较注意说理，贯穿数学思维方法和学生数学能力的培养。加强了教材的科学性和趣味性。这套教材的实验开始不久，但随着义务教育的实现，会不断地完善起来的，因而是很有前途的一套教材。（4）华南师范大学教育科学研究所郭思乐同志主持的实验教材。其内容也基本上与统编教材一致，但注重知识的发生过程、推理判断，在这过程中展开学生的思维，发展他们的能力。第七次，1999年至今。改革开放以来，我国广大的数学教育工作者进行了一系列积极的探索和实验，我国的数学教育取得了举世公认的成绩：中小学生学习勤奋，基本功扎实，基础知识和基本技能熟练。1999年12月，教育部组织学科专家，依据《中国基础教育课程改革指导纲要》，对现行《义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》和《全日制普通高级中学数学教学大纲（试用）》进行了修改，并于2000年3月出版了《义务教育全日制初级中学数学教学大纲（修订版）》和《全日制普通高级中学数学教学大纲（修订版）》。新大纲重视对学生创新精神和实践能力的培养；强调数学知识的应用；增加了选修内容；增加了“数学探索性活动”和“研究性课题”等。进入21世纪，我国开始了新一轮的基础教育数学课程改革。2001年7月，中华人民共和国教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，并遵循“先实践，后推广”的思路，于2001年9月，在全国27个省市自治区的38个试验区进行实验（后来扩大到42个实验区），2005年在全国范围内推广。2003年4月，中华人民共和国教育部颁布了《普通高中数学课程标准（实验稿）》，并于2004年9月开始试验。这次课程改革是建国以来规模最大，涉及面最广，将会产生深远影响的一次改革。4、试述当前国际数学教育改革的趋势。答：2．国际数学教育的改革特点分析（1）注重数学应用应用数学的能力与意识，是能适应现代生活的人所必须具有的素质。数学的作用，除了传统的训练思维外，更多的是为社会服务，强调数学在各行各业中的应用。在数学教育中强调数学应用，让学生掌握更多的实用知识，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，是当今国际数学教育的目标之一。例如，在新加坡的中小学数学教育的目标中就提出：“使学生获得必需的数学知识和技能，发展思维方法并应用于生活上将要遇到的数学情境之中。”特别地，英国的“国家数学课程”把“运用和应用数学”专列为目标之一，十分注重解决实际问题与日常生活问题，包括提出问题、设计任务、收集信息、选用数学、运用策略、获得结论、检验和解释结果等。同时，把对这一目标的要求贯彻在其余四项目标与学习大纲中，强调数学知识、技能和理解力的应用。（2）重视问题解决第六届国际数学教育大会上，“问题解决和模型的应用”课题组在其课题报告中阐述：“数学问题一般指对人类具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以直接套用的那类问题。”它主要指非传统的文字应用题、联系生产或生活实际的问题、开放性问题等。问题解决主要指解决上述问题，它要求学生从给出的问题中经过分析，建立数学模型，灵活运用已学过的知识单元、方法或算法来解决。重视问题解决对加强学生应用意识，提高数学修养，培养探索能力起到了重要作用。当今信息社会要求人们随时根据变化了的情况，能利用数学知识对实际问题作出有条理的分析和预测，以供决策和选择。因此，重视问题解决是各国数学教育目标的又一显著特点。美国课程标准把“成为数学问题的解决者”列为学校数学要达到的五个课程目标之一，并在其分项标准中将“作为问题解决的数学”列于首位，可见其被重视的程度。下面列举出美国中学5年级～8年级和9年级～12年级课程标准中此项目标的内容要求。5年级～8年级课程标准1：作为问题解决的数学，要求使学生能够：通过解决问题的探讨去接触和理解数学内容；把数学和非数学问题的情境表述成数学问题；发展和应用各种策略解决问题，强调多步的和非常规问题；根据问题的原始情境来检验和解释答案；概括解决新问题的方法和策略；在有意义地运用数学的过程中获得信心。9年级～12年级课程标准1：作为问题解决的数学，要求学生能够：带着不断增加的自信，运用解题方法去探讨和理解数学内容；应用与数学解题相结合的策略，去解决来自数学内部与外部的问题；认识并用公式表示出来自数学内部与外部情境的问题；把数学模型的程序应用到客观世界的问题情境中。从上面对不同年段的要求可以看出，随着学生在数学上的成熟和对解决数学问题的方法的深化与扩充，对这一目标的要求在不断地提高。英国80年代的《cockcroft报告》提出以数学应用和问题解决为主的数学教育总目标。英国在1992年施行的《英国国家数学课程》中提出的目标是：使用和应用数学。指出“使学生会解决现实生活中的问题”。日本正式将“课题学习”的内容纳入数学教学大纲中，使“问题解决”以法律的形式固定下来。“课题学习”即是以“问题解决”为特征的数学课，以解决智力型的实际问题为主要内容，强调创造性，强调学生自己探索发现，注意培养发散思维。（3）注重数学思想方法要提高学生的数学素养，不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法去解决实际应用问题。这一目标要求在各国的数学教育目的中的体现是十分明确的。在处理中小学数学思想方法上有两种基本作法：其一是通过纯数学知识的学习，逐步使学生理解和掌握数学的思想和方法；其二是通过解决实际问题，使学生在掌握数学内容的同时，形成对人的素质有影响的那些基本思想方法，如试验、猜想、模型化、合情推理、系统分析、优化思想等。（4）注重数学交流数学作为现代文化的重要组成部分，其语言日益成为人们交流的科学语言。交流对数学学习十分重要，交流可以帮助学生在非正式的、直觉的观念与抽象的数学语言之间建立起联系，帮助学生把实物的、图画的、符号的、口头的及心智描绘的数学概念联系起来。学生通过解释、推断对自己的思想进行口头或书面表达时，可以发展和深化对数学的理解。学会数学交流是当今国际数学教育目标共同注重的内容.“使学生能使用数学作为交流的工具”，是新加坡教学大纲规定的四条总目的之一，也是“数学课程目的”中所要培养的“技能”的重点之一。新加坡中小学数学课程的具体目标均有“会使用数学语言、符号和图表形式说明和解释信息”。美国的课程标准提出的五个总目标之第四就是“学会数学交流，会读、写和讨论数学”，并在其分项标准中“作为交流的数学”位居第二。澳大利亚把“学生充分掌握数学表达、数学表示和数学应用的技能，以便应用数学解释有关信息……与他人沟通联系”，作为教育目的之一。纵观各国大纲，数学交流这一要求反映在：(1)数学思想的表达。把自己的思想通过直观的或非直观的、口头的或书面的、普通语言或数学语言的形式表达出来；(2)以听、读、看、模等方式接受来自他人的思想；(3)把数学思想从一种表达方式转换成另一种表达方式，如把一个概念用图画或符号表示出来。（5）注重培养能力各国对在数学教学目的中的能力培养这一要求都很重视，几乎所有的国家都提出“要发展学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力”。例如，在美国的数学课程标准中提出培养推理能力、数学洞察力、解决问题的能力、对数学的欣赏能力及交流问题的能力、理解力等。另外，在不少国家的大纲中明确提出数学可以培养的能力在一般智力结构中占有重要地位，如观察、分析、综合、归纳、概括、想象等能力。在英国的课程目标中提出重视学生的计算能力，学生的机算(计算器和计算机)、心算和估算能力。（6）重视数学美育我们从数学的语言、数学的推理、图形的对称与变换等内容中，都可以体验到数学美。不少国家把美育教育列为数学教育的目的之一。英国16岁～19岁的数学课程总目标提出“发展对数学的美学观与历史的鉴赏力”。新加坡教学大纲中数学课程的基本目标提出“发展学生在解决数学问题上的能力，在问题解决时学生能欣赏到数学美的力量”。前苏联教学大纲中指出“中学数学课要揭示数学内在的和谐性，培养对数学推理的美的感受，数学对学生的美育作出了相当大的贡献”。（7）注重培养自信心以往的教育是把数学作为“筛子”而不是作为“泵”来发展人，致使学生的自信心受到伤害。从数学教育思想的角度出发，不少国家把自信心的培养作为数学教育的一个基本目标，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得自信。【更多】例如，美国数学课程标准的总目标之第二是“对于自己的能力的自信”。在英国国家数学课程的数学成绩目标中提出“学生应自信地运用涉及其它目标的学习大纲所指定的适当的数学内容”。英国关于16岁～19岁的数学课程总目标中提出“发展对数学应用的能力与自信心”。澳大利亚的提法是“使学生获得数学知识、思维方法和运用数学指导日常生活事物的自信心”。新加坡教学大纲中数学课程基本目标中的“态度”是指学习情感方面：“使学生喜欢做数学、欣赏数学美的力量、在运用数学时表现出自信”。这些都体现出对于培养自信心的要求。（8）重视计算器和计算机的使用广泛运用计算器和计算机是当代数学改革的一个趋向，是面向21世纪技术飞速发展和信息时代的需要。计算机和计算器必然要定进课堂。英国的课程目标从水平4开始，每个目标都提到了使用计算器或计算机的要求。例如，在目标3(代数)中水平7要求：“在计算机或计算器上生成各种类型的图象并作出解释”；在水平10要求：“用计算器或计算机研究由迭代法给出的数列的收敛性。”又如在目标4(图形和空间)中水平6要求：“用计算机生成图形并进行图形变换”；水平9要求：“用计算器或计算机生成三角函数并作出解释。”在日本高中数学A、B、C的目标要求中均有对运用计算机的要求，如在前述的《数学C》中，又如在《数学A》中提出“使学生理解……或有关用计算机进行的计算”；在《数学B》中提出“使学生理解向量、复数和复数平面、概率分布以及有关应用计算机的算法”。 第三章自测题1、影响数学课程的因素有哪些？答：影响课程设置的因素是多方面的，既有来自课程内部的因素，又有来自课程外部的一系列因素。这些因素是课程改革、更新、发展的基本依据和必需条件。主要有社会因素、数学因素、学生因素三种。2、社会因素具体从哪些方面制约着中学数学课程的设置？答：①社会生产的需要社会生产的需要是科学技术发展的强大动力，也是课程选择和接受科技成果的主要准则，它制约着课程发展的速度和方法。社会生产的需要越是迫切，越是普遍，课程发展的步子就越大，速度也就越快。在古代的巴比伦、埃及和中国，数学是生活、生产的产物，当时的数学只是一些简单的测量和技术法，人们对数学的需求也仅限于此。因此，数学是作为一种有助于解决各种实际问题的技术而传授给后代的。到了古希腊、罗马时代，由于亚里士多德、柏拉图等古代思想家和哲学家为了思辨的需要，赋予数学以一定的逻辑内容，把数学作为训练学生思维的工具。世纪中叶，第一次技术革命以前，由于社会生产基本上是以自给自足的小农经济为主，生产力的发展水平决定了对数学的需求极为有限，数学课程内容是非常简单的。第一次技术革命后，资本主义大工业代替了手工业生产，促使社会对劳动者的数学知识的要求相当提高，数学课程不仅成了主科，而且内容上相应地有了很大的提高。现在，随着经济适应信息时代的需要，与这些经济活动相关的数学，如比和比例、利息与利率、统计与概率、运筹与优化以及系统分析与决策等，就应成为中小学要学的数学了。即社会的发展需要人们在数学方面具备更高的素养，也对数学课程提出了新的更高的要求。②科学技术的发展科学技术是社会发展的动力，科学技术的发展不仅意味着社会可能提供更多的教育，而且也意味着社会必须提供更多的教育。科学技术的发展在两方面影响着数学课程的设置：一是科学技术越是发展，应用数学的程度越高，人们就越是要通过数学才能掌握其他的科学技术，数学课程就应该反映这一点。二是科学技术的发展直接或间接地影响着数学课程内容的改变。课程的设置只能吸引最有价值的科学成果，而科学技术的发展，最有价值的标准也随之改变了，这是对数学课程内容的直接影响；科学技术的发展，教学手段也随之改变，而教学手段的改变也会引起课程内容的改变，这是对数学课程内容的间接影响。计算器和计算机已经深刻地改变了数学世界。它们不仅影响到什么数学是重要的，而且也影响到如何做数学。【更多】计算器和计算机不仅改变了什么数学重要，而且也改变了数学应当如何教。它们把困难的变得容易，使不可行的变得可行。【更多】新技术使数学更加现实，计算机出现之前，难以完成现实问题所要求的计算，有了计算机计算不再是障碍，只要问题能被学生掌握，就能解出；实验中得到的现实数据可以得到分析处理；表达重要物理现象的方程可以解出；许多精深的概念用计算机更易于理解。③人们生活的变化当前，人们的社会生活发生了很大改变。了解公民的基本数学需求有多种角度，为了避免使这样的研究维度过多、层次太庞杂，下面的研究选择了与老百姓日常生活紧密相连的报刊杂志作为获取数据信息的基本来源。数据信息来自《光明日报》、《工人日报》《农民日报》《参考消息》《中国教育报》《经济日报》《中国证券报》《广州日报》《甘肃日报》等与百姓生活联系密切的报章杂志，这些大众化的报刊具有较宽的覆盖面，因而具有一定的代表性。调查分三个时间段：20世纪90年代初期(1990年6月)、中期(1995年6月)、后期(19996月)，并在每个时间段对上述报刊杂志进行了逐日统计。通过对这3个不同时间段所调查情况的变化趋势进行纵向分析，可以大体上把握20世纪最后10年报刊杂志上反映的数学信息。统计结果表明，与公民生活联系密切的数学信息按出现频率排列，主要包括：大数、百分数、分数、比例、图形及图表、统计、数学术语这几个方面。这些内容所出现的不同领域包括：政治、军事、经济、科技、教育、文化、卫生、体育、生活、金融保险、广告等。根据统计结果，可以得出以下结论：数学的定量化特征越来越多地表现在人们的日常生活中。从调查和最后的统计数据中不难看出，大数和百分数以相当高的比例出现在经济、科技、政治、生活的新闻及广告中，这说明在以商品经济为主和科技日益发展的社会中，信息的传递和交流更多的是定量的，而不是定性的。图形图表，尤其是各种各样的统计图、统计表(如直方图、扇形统计图以及一些形象的统计图)出现较多，它们以清楚、明了、信息量大、对比度强等特点出现在报刊中。从这些频频出现的直方图、扇形统计图、数据统计表中，我们看到，为了了解信息、看懂报纸，统计的基本知识和方法已必不可少。《中国证券报》是一份比较专业化的报纸，在调查的两个不同时间段(1995年和1996年)的结果中，都出现了比较复杂和比较多的数学表达式(主要是代数式)，在此不予列举。调查的其他报纸，在《中国教育报》和《农民日报》中，都有数学表达式出现。这反映了，随着社会的进步，数学在社会生活中的地位和作用愈来愈重要。从调查统计结果中容易看到，与生活相关的报道及广告中的数学内容很多也很丰富。在广告中，这些内容多与保险、房地产、储冒、旅游等行业有关，如方位图、直方图、数学术语、公式等。随着上述各行业的不断发展，不难预计，在未来的社会中，数学必将和人们的日常生活发生越来越密切的关系。3、社会发展对数学课程提出了哪些要求？答：①目的性教育必须为社会主义经济建设服务。这就要求数学课程要有明确的目的性，即要为社会主义经济建设培养各级人才奠定基础，为提高广大劳动者的素质做出贡献。当今社会正由工业社会向信息社会过渡，在信息社会里多数人将从事信息管理和生产工作；社会财富增加要更多地依靠知识；知识更新、技术进步周期和人的职业寿命都在日益缩短，要适应日新月异的社会，必须把劳动者的素质、才能提到极重要的位置，而且要使他们具备终身学习的能力。②实用性数学课程的内容应具有应用的广泛性，可以运用于解决社会生产、社会生活以及其他学科中的大量实际问题；运用于训练人的思维。应该精选现代社会和生活中广泛应用的数学知识作为数学课程的内容。另外，还要考虑其他学科对数学的要求。数学课程还应满足现代科学技术发展的需要，增加应用广泛的数学知识，如计算机初步知识、统计初步知识、离散数学、统计初步等知识。数学不仅是解决实际问题的工具，而且也广泛用来训练人的思维，培养有数学素养的社会成员，要使学生懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学思想方法。③思想性和教育性我们培养的人应该有理想、有道德、有文化、有纪律、热爱社会主义祖国和社会主义事业，具有为国家兴旺发达而艰苦奋斗的精神；应当不断追求新知、实事求是、独立思考、勇于创新，具有辩证唯物主义观点。这就要求数学课程适当介绍中国数学史，以激发学生的民族自豪感。用辩证唯物主义观点来阐述课程内容，有意识地体现数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点；体现运动、变化、相互联系的观点。4、20世纪，数学产生了哪些惊人的变化？答：①集合论成为各个学科的共同基础，纯粹数学转向研究基本的数学结构19世纪末叶，德国数学家康托尔最先创造了一般集合论，经过发展，到20世纪，集合论已成为数学最基本的语言。不管数学所研究的对象如何复杂、抽象，它总是一些元素组成的集合。有了集合论作基础，纯数学转向研究基本的结构，特别是20世纪20年代法国布尔巴基学派的创立，提出了数学建立在3个最基本的结构之上学说，即代数结构、序结构和拓扑结构。20世纪的数学，其研究的特点之一，是把各种各样的结构搞清楚，弄清彼此间的关系，并设法将同构的集合归并在一起，用不同的结构来区分。②数学抽象化的势头越来越大，分科越来越细，内在联系揭露得越来越深20世纪的几何学，以拓扑学的形式进入了新阶段，代数拓扑学和微分拓扑学成了20世纪的“女王”。20世纪的代数学从原先的解代数方程的研究转向群、环、域、理想、模等的研究。20世纪的分析是无限维空间上的微积分，即函数分析，从原来研究数与数之间的函数关系转向了研究函数与函数之间的关系（算子）。③电子计算机进入了数学领域，推进了数学的发展过去认为数学不是实验科学，有了计算机就不同了，很复杂的方程从理论上研究比较困难，但可以利用电子计算机进行数值求解，然后把解画到图上，用静态的图把全过程反映出来，就等于在计算机上做实验。计算机还有一个作用就是用来完成数学上的证明，它影响着纯数学的发展。【打开实例】④数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有了变化数学是一门科学，观察、实验、发现、猜想等实践部分和任何自然科学是一样多的。尝试和错误、假说和调研，以及度量和分类是数学家常用的部分技巧，学校应当教。实验室作业和实习作业对于理解数学是什么及其如何使用不但是适宜而且是必需的。在数学实验室里计算器和计算机是必需的工具。实际数据（科学实验、人口统计、民意测验等的数据）、观察和度量的对象（骰子、方块、球）和作图工具（尺子、细绳、量角器、胶泥、坐标纸）都是必需的。像生物是有机体的科学，物理是物和能的科学一样，数学是模式和秩序的科学。这种表述至少可以回溯到笛卡儿，他把数学称作“序的科学”，后来物理学家斯梯文·温伯格（Steven Weinberg）用它去解释数学预测自然的神奇能力时作了改进。类似地把数学看成“模式与关系”的科学，形成了在《美国大众科学》(Science for All Americans)中表述数学的基础。数学也是一种交流形式，它是自然语言的补充，所以数学不仅是一门科学，而且数学也是一种语言。不仅是自然所说的语言，而且也是商业、贸易的合适语言。数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础。由于计算机和世界范围的数字式交流的支持，商业和工业都越来越依靠不仅是传统的而且是现代数学的分析方法。数学作为商业和科学的语言，是一种每个人都必须学习使用的语言。数学的这些发展和变化，将迅速直接或间接地影响中学数学课程。直接的影响：现代数学的思想、内容和方法直接渗透到中学，成为中学数学课程的一部分。例如，中学数学要学一点数理统计的初步知识，学一点计算机知识和渗透算法思想等。间接的影响：一种教育水平上的变革，必定将引起较低水平的教育的变革，所以高等学校数学课程的改革必定会影响中学数学课程的改革。前面说过，20世纪以来，数学有了惊人的发展，数学的发展史必定影响大学的基础“三高”，即数学分析、以多项式理论和线性方程（组）论、向量空间为基础的高等代数，以及影射几何为主的高等几何。现在的大学数学基础课程除了这“三高”以外，又加入了泛涵分析、抽象代数、拓扑学的“新三高”，而且有一种后者逐渐代替前者的趋势。又如，以连续为主的数学受到了以离散为主的数学的冲击，在大学不仅要学连续数学，而且还要学离散数学，这两者的比例还将有所变化。教育具有连续性，大学数学课程的变革，势必要求中学数学课程作相应的变革。总之，无论是过去、现在，还是将来，学科本身的发展必定要对该科课程的设置产生影响。4、数学科学的发展对数学课程提出了哪些要求？答：①应对代数、几何、分析和概率统计的基础部分进行恰当的整合数学研究对象是现实世界的数量关系和空间形式。基础数学的对象是数、空间、函数，相应的是代数、几何、分析等学科，它们是各成体系，但又密切联系的。现代数学中出现了许多综合性数学分支，都是在它们的基础上产生并发展起来的，研究的思想方法也是它们的思想方法的综合运用。代数、几何、分析在相邻学科和解决各种实际问题中都有广泛应用，所以中学数学课程应当是它们恰当配合的整体。所以，中学数学课程应当是代数、几何、分析和概率统计这4科的基础部分恰当配合的整体。②适当地增加数据处理﹑算法﹑优化﹑离散数学等内容现代社会，数据处理﹑预测风险已经成为信息社会中一个合格公民所必备的基本素质。统计与概率由于它既有极其广泛的应用，又是唯一培养学生从随机（或统计）角度观察世界的数学内容，因此被很多国家的教材所采用，而我国却将它仅仅列为“代数”中的一个单元，并且由于种种原因得不到重视。这种状况应该得到切实的改观。另一些受到广泛重视的是与计算机科学密切联系的内容——算法﹑离散数学﹑优化等。其实1986年ICMC在科威特讨论“90年代学校数学”时就建议数学课程中要引进与计算机科学有关联的离散数学的概念；要重新强调算法，并让学生去比较解决同一问题的不同算法的效率。我国也有许多数学家大力呼吁应在义务教育阶段渗透算法﹑离散数学﹑优化思想等方面的内容。③重视数学的应用如前所述，20世纪下半叶数学的一个最大进展是它的广泛应用，数学的价值观因此发生了深刻的变化。这一变化必将对数学教育产生这样的影响，最直接的一个结论就是数学教育要重视应用意识和应用能力的培养。其实，培养学生的数学应用意识和应用能力，能帮助学生对数学的内容﹑思想和方法有一个直观生动而深刻的理解，它有助于学生正确认识数学乃至科学的发展道路，了解数学用以分析问题和解决问题的思维方式，可以使学生真正懂得数学究竟是什么。数学是很有用的，但有用之处并不仅仅在于它的哪一条公式有用﹑哪一条定理有用，而是整个数学会提供给学生们很重要的一种思想方法，这种思想方法不但对于具体的学科有很大的作用，而且对今后做一切工作都会有用。因此，我们的数学课程和教学应该为学生提供大量的机会，使他们在解决实践问题的过程中逐步形成数学应用的意识和初步的应用能力。数学教育要有助于学生建立对数学全面﹑正确的认识，使学生具有适应生活和社会的能力，使他们能亲身运用所学的知识和思想方法去思考和处理问题。同时，我们还应该认识到，从知识的掌握到知识的应用不是一件简单的﹑自然而然就能实现的事情，必须经过充分的﹑有意识的训练。④突出数学思想和方法数学对国家的贡献不仅在于国富，而且在于民强。除了能解决实际问题之外，数学还提供了某些普遍适用并且强有力的思考方式，包括直观判断﹑归纳类比﹑抽象化﹑逻辑分析﹑建立模型﹑将纷繁的现象系统化（公理化方法）﹑运用数据进行推断﹑最优化等。用这些方式思考问题，可以使人们更好地了解周围的世界；使人们具有科学的精神﹑创新的本领；使人们充满自信和坚韧。数学教育不仅要培养学生的应用意识，而且要使学生学会数学地思考问题。数学在培养学生思维方面，更重要的是培养学生这种思维思考方式，并将它应用于日常生活和工作。很多思想家用这种思维方式研究科学和社会问题，获得了巨大的成功。运用这种思维方式，对于一个现代社会的公民来说，同样是十分重要的。现代数学进行着不同领域的思想、方法的相互渗透。许多曾经认为没有任何共同之处的数学分支，现在已建立在共同的统一的思想基础上了。数学思想和方法把数学科学联结成一个统一的有结构的整体。所以，我们应该突出数学思想和数学方法。5、学生的身心发展对数学课程的影响体现在哪些方面？答：课程教材的直接服务对象是学生，学生主要是通过教材来获取知识的。因此，学生也是影响课程设置的重要因素。从课程设置的角度来说，学生的身心发展对数学课程的影响包括以下4个方面：①已有的知识水平“影响学习最重要的因素是学生已经知道的东西。”在设计课程时，需要仔细地考虑学习是否具有与学习新任务相联系的概念和技能。学习的顺利进行受背景知识的强烈影响，因此，学生的知识水平影响课程的设置。根据奥苏伯尔的学习理论，学习者产生有意义的接受学习必须具备两个条件：第一，学习者必须具有有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。如果学生企图理解学习材料，有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么有意义学习就不会发生。第二，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义。通过把新的数学概念和原理与已有的数学知识相联系，学生就能把新内容同化到原有的认知结构中去。为了保证有意义学习，教师必须帮助学生建立他们自己的认知结构与数学学科结构之间的联系。使得每一个新的数学概念或原理都与学习者原有认知结构中相应的数学概念和原理相联系。教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么。教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。因此，课程设计的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么，怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。即学生的知识水平是影响课程的设置的一个因素。②学生在数学学习中认知、情感发展的阶段性特点虽然不同的个体，其认知发展、情感和意志要素不完全相同，但相同年龄的学生却有着整体上的一致性，而不同年龄段的学生在整体上有比较明显的差异。具体说来：小学低年级至中年级的学生更多地关注“有趣、好玩、新奇”的事物。因此，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排都应当充分考虑到学生的实际生活背景和趣味性（玩具、故事等），使他们感觉到学习数学是一件有意思的事情，从而愿意接近数学。小学中年级至高年级的学生开始对“有用”的数学感兴趣。此时，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排更应当关注数学在学生的学习（其他学科）和生活中的应用（现实的、具体的问题解决），使他们感觉到数学就在自己身边，而且学数学是有用的、必要的（长知识、长本领），从而愿意并且想学数学。小学高年级至初中的学生开始有比较强烈的自我和自我发展的意识。因此对与自己的直观经验相冲突的想象，对“有挑战性”的任务很感兴趣。这使得我们在学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排上除了关注数学的用处以外，也应当设法给学生经历“做数学”的机会（探究性问题、开放性问题），使他们能够在这些活动中表现自我、发展自我，从而感觉到数学学习是很重要的活动，并且初步形成“我能够而且应当学会数学地思考”。可见，处于不同发展阶段的儿童，其思维水平、思维方式与思维特征有显著的差异，而处于同一发展阶段的儿童则具有较为明显的一致性，这种匹配性是客观存在的，而且其发展又主要通过学习活动来实现。与此相适应，学生有效的数学学习也应当经历不同的阶段性。处于每一发展阶段的学生应当有适合他们自己思维水平和思维方式的学习素材，应当经历对他们来说有意义的学习活动。课程教材是学生学习的依据。因此，在安排数学课程时，应考虑各年龄段的学生思维发展水平，既不要超出学生的思维发展水平，又不要迁就学生的接受能力。“新数学”中，把知识体系抽象化和形式化，超出了学生的思维发展水平，这样的课程是达不到课程目标的。同样，课程过于简单、容易，也难达到课程目标。③学生的认识兴趣学生的认识兴趣在学习中是一个很有效的因素，它能大大地促进学习。如果学生对学习内容不感兴趣，那么就很难做出持久的努力，去学好数学。所以，要让学生学好数学，首先要激发学生的学习兴趣。正像科学史家贝弗里奇在《科学研究的艺术》艺术中所说的那样：“从事研究的人必须对科学有兴趣，科学必须成为他生活的一部分，视它为粮食和爱好。”而激发学生兴趣的最有效的办法就是对于学习材料本身感兴趣。因此，课程的设置要考虑学生的认识兴趣，加强趣味性，激发学生学习数学的兴趣。④学生的认识特点对学生学习的理解有变化。学习不是一种被动地吸取知识，并通过反复练习，强化储存知识的过程，而是学生利用原有知识处理每项新的任务，同化新知识，并构建他们自己的意义，再者，一些思想、概念在记忆里不是孤立的，而是有组织的并且和他过去用的自然语言及遇到过的情况相联系。这种对学习的积极的、构造性的观点必须在教数学的途径中反映出来。教学实践和试验表明，学生的认识结构有其固有的特点。关于这一点，曾有人作过如下调查。【打开实例】因此，如果课程内容和编写顺序符合学生的认知特点的话，无疑能促进学习。当然，怎样的课程才是符合学生的认知特点的，学生的认知具体有哪些特点，等等，都是有待研究的问题。7.简述你对义务教育数学课程的理念、目标和内容的理解。答：2001年7月，中华人民共和国教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（以下简称《标准》），提出的数学课程理念是：1．数学课程数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性、普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。2．课程内容课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。课程内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。3．教学活动教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。【更多】数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯、掌握有效的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教