2024年高考数学解答题专项训练十（60题）附答案解析

备战2024年高考数学解答题专项训练(60题)附答案解析

1.已知函数/(X)和g(x)的图象关于原点对称，且/(x)=2x4-1.

(1)解关于x的不等式g(x)>|x-1|；

(2)如果对VxG/?,不等式|^(x)|-c>|x-1|恒成立，求实数c的取值范围.

2.已知函数/(%)=2ax+bx-1-21nx(a6R).

(I)当b=0时，讨论函数/(x)的单调区间：

(II)当x>y>e-1时,求证：ex\n(y+1)>eyln(x+1).

3.已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a

(1)当Q=0时，解不等式/(x)>g(x)；

4.如图，将宽和长都分别为x,y(x<y)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为

正.(注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上,且两矩形长所在的直线互相垂直

的图形)，

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)当x,y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出具最小值.

5.已知函数f(x)=x+-alnx{aER).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)讨论/(X)在［l,e］上的零点个数.

—%2,%v0

“4_"丫2'%丫>n在(-8,+8)上是增函数，

{于十ax-/nu

(1)求实数a的值；

(2)若函数g［x)=/(x)-kx有三个零点，求实数k的取值范围.

7.已知函数/•(%)=|2%|+|2%-3|.

(1)解不等式/(X)<5；

(2)若Bx0G[t+oo),使/(%0)+m<x0+—成立，求实数m的取值范围.

8.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-3|.

(I)解不等式：f(x)>2;

(II)若函数f(x)的最大值为m,正实数a,b满足a+2b=m,证明：^+J>|

9.已知函数/(%)=i%3—4-c(b,cGR)

(1)若函数f(x)在点(1J(1))处的切线方程为y=2x+1,求瓦c的值；

(2)若b=l,函数f(x)在区间(0,2)内有唯一零点，求c的取值范围；

(3)若对任意的xlfx2e[-14],均有1/,(%!)-/(%2)1<5，求b的取值范围.

QX_

10.已知QWR,函数/(%)=今二^.

1k72x+a

(1)求a的值，使得/(X)为奇函数；

(2)若aN0且/(x)<与对任意xeR都成立，求a的取值范围.

11.今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气污染

情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数/(X)与时刻X(时)的函数关系为：/(%)=

I】og25(%+1)-可+2a+Lxe[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且aw(0，1).

(1)若Q=/,求一夭中哪个时刻该市的空气污染指数最低；

(2)规定每天中/(%)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过

3,则调节参数a应控制在什么范围内？

12.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生

产牛次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.

甲每天生产的次品数/件01234

对应的天数/天4020201010

乙每天生产的次品数/件0123

对应的天数/天30252520

(1)将甲每天生产的次品数记为x(单位：件)，日利润记为y(单位：元)，写出y与％

的函数关系式;

(2)按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润.

13.已知函数/(x)=\x+l\+\x-a\.

(1)当Q=2时，求不等式/(X)<5的解集；

(2)若f(x)>2的解集为R,求a的取值范围.

14.设函数f(x)=\x+2\.

(1)求不等式/(%)+/(-X)>6的解集；

(2)若不等式f(x-4)-f(x+1)>kx+?n的解集为(一8,+8)，求&+机的取值范围.

15.已知函数/(x)=ex+bx-l(beR).

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若方程/(X)=Inx有两个实数根，求实数b的取值范围.

16.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调

整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳^所得额.依照个

人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

个人所得税税率表(调整前)个人所得税税率表(调整后)

免征额3500元免征额5000元

级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率

(%)(%)

1不超过1500元部分31不超过3000元部分3

2超过1500元至4500元102超过3000元至12000元10

的部分的部分

3超过4500元至9000元203超过12000元至25000元20

的部分的部分

•・・・・・・・・・・・……

(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表

示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；

(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并

制成下面的频数分布表：

收入

[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000)

(元)

人数304010875

①先从收入在［3000,5000)及［5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为

新纳税法知识宣讲员，用Q表示抽到作为宣讲员的收入在［3000,5000)元的人数，b表示抽到作

为宣讲员的收入在［5000,7000)元的人数，随机变量Z=\a-b\,求Z的分布列与数学期望；

②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比

调整前增加了多少？

17.已知函数f(x)=e2x+aex—a2x.

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(2)当Q'O时，讨论函数/(%)的零点个数.

18.已知数列｛an｝中，4。6=64,且log2an,^log2an+1，1(nWN")成等差数列.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足bn=(Q“+i栽+］+i)，数列｛bn｝的前n项和为7〃，求心.

19.［选修4-5：不等式选讲］

设函数/(x)=lg(\2x-1|+2|x+l|-a).

(I)当Q=4时，求函数/(x)的定义域；

(II)若函数/(%)的定义域为R,求a的取值范围.

20.已知定义在区间(0,2)上的函数/(x)=^+lnx,meR.

(I)证明：当m=1时，/(x)>1；

(II)若曲线y=f(x)过点>1(1,0)的切线有两条，求实数m的取值范围.

21.已知函数f(%)=伍%—+X,QWR.

⑴令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间；

(2)若Q=-2,正实数xlfx2满足/(/)+/(%2)+%1%2=0，证明：xi+x2>底二'-

2

22.已知f［x)=ax+bx+c(a,btcER).

(I)当/(I)=-1,且f(x)<0的解集为(0,2),求函数f(x)的解析式；

(2)若关于x的不等式2^-1>0对一切实数恒成立，求实数a的取值范围.

23.已知函数/(%)=|x-l|-2\x+1|的最大值为t.

(1)求实数t的值：

(2)若g(x)=/(x)+2|x+1|,设m>0,n>0,且满足4t，求证：g(m4-

2)+g(2n)>2.

24.已知/(x)=|x+1|+\2x+m\.

(I)当m=-3时，求不等式/(x)<6的解集；

(2)设关于x的不等式/(x)<|2x-4|的解集为M,且[-l,1]c/4,求实数m的取值范围.

25.春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在｛11,12,…,30｝范围内等可能

取值，该礼盒的进货量也在｛11,12,…,30｝范围内取值(每天进1次货).商店每销售1盒礼盒可获

利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店

调拨，销售I盒礼盒可获利30元.设该礼盒每天的需求量为x盒，进货量为a盒，商店的日利润

为y元.

(1)求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式；

(2)试计算进货量a为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值.

26.已知函数/(x)=ex—ax2.

(1)若a=l,证明：当%>0时，/(x)>1；

(2)若/(X)在(0,+00)只有一个零点，求a的值.

27.已知函数f。)=吗(7+1),g(x)=x2-ax+6.

(I)若g(x)为偶函数，求a的值并写出g(x)的增区间；

(II)若关于x的不等式g(x)<0的解集为(%|2<%<3｝,当％>1时，求必斗的最小

X—L

值；

(III)对任意的xie[1,+«>)，x2e[-2,4],不等式/(%!)<g(X2)恒成立,求实数a的取

值范围.

28.已知函数/'(%)=①刀+a/->0,QwR).

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)若曲线y=/(x)上存在唯一的点M,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点

M,求实数Q的取值范围.

29.选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=\x\4-|x4-1|.

(1)若/(x)>|7n-l|恒成立，求实数m的最大值M:

(2)在(1)成立的条件下，正数a,b满足a2+b2=M，证明：a+b>2ab.

30.设函数/(x)=2\x-l|+|x+2|.

(1)求不等式/(x)>4的解集；

(2)若不等式f｛x)<\m-2\的解集是非空的集合，求实数m的取值范围.

31.已知函数/(X)=\x\,g(x)=-\x-4\+m,xeRfmeR是常数.

(1)解关于x的不等式g(|x|)+3-m>0；

(2)若曲线y=/(x)与y=g(^x)无公共点，求m的取值范围.

32.已知数列｛Qn｝的前n项的和为Sn,Sn=^an-1.

(1)求数列｛Sn｝的通项公式；

(H)判断数列｛当”的单调性，并证明.

33.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然一可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变

绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位.已知某种树木的高度f(t)(单

位:米)与生K年限£(单位：年，t©N")满足如下的逻辑斯蒂函数：7•«)=i+eJl.5t+2，其中e

为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.(m5kl.61)

(1)需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？(精确到个位)

(2)在第几年内，该树长高最快？

34.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量％(10WX420,单位：公

斤)，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大

于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可

获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.

(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.

①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；

②估计日利润在区间［580,760］内的概率.

35.已知函数/(x)=-2lnx4-(x2+1)—ax,a>0•

(1)判断/(%)的单调性；

(2)若/(%)>0在(1,+oo)上恒成立，且/(%)=0有唯一解，试证明avl.

36.已知函数/(X)=|x-5|+|x-l|.

(1)求/(x)的最小值m；

(2)若正实数Q,b满足：+去=求证:+A-771.

37.已知函数/(x)=-|2x-l|-2.

(1)求/(X)>-5的解集；

(2)若,/,(x)<-|x+3|-t2+|t+l恒成立，求实数t的取值范围.

38.已知函数/(>)=,+Inx(awR).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设/(X)的导函数为/(x),若/(x)有两个不相同的零点%i，%2.

①求实数a的取值范围；

②证明：xxf(%i)+x2f(x2)>2lna+2-

39.设集合B是集合4={1,2,3,…，3n一2,3n-1,3n],nWN，的子集.记B

中所有元素的和为S(规定：B为空集时，S=0).若5为3的整数倍，则称B为4的“和

谐子集求：

(1)集合&的“和谐子集''的个数：

(2)集合A”的“和谐子集”的个数.

40.某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：

①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值占(单位：exp)与

游玩时间七(小时)满足关系式：E=t2+20t+16a；

②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不

变)；

③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，

比例系数为50.

(1)当Q=1时，写出累积经验值E与游玩时间f的函数关系式E=/(t),并求出游玩6小

时的累积经验值；

(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间，的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H(£)；若a>

0，旦该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数。的取值范

围.

X

41.设函数/(x)=2-1的反函数为,g(x)=log4(3x+1).

(1)若f~\x)<g(x),求%的取值范围D；

(2)在(1)的条件下，设H(x)=^(x)-1/-1(x),当％6。时，函数H(x)的图像与直线

y=a有公共点，求实数Q的取值范围.

42.已知函数/(x)=|x+3|-|x-1|.

(I)求函数f(x)的值域；

(II)若对VxE/?,/(X)V|-可恒成立，求a的取值范围.

43.已知a>0,函数f(x)=ax2-x-Inx,g(x)=Inx.

(1)求证：g(x)<x；

(2)讨论函数y=/(x)零点的个数.

44.已知函数/(x)=仅+m|+2\x-l|(m>0).

(1)当m=2时，求不等式/(x)<8的解集；

(2)若不等式f(%+l)<3的解集为0,求实数m的取值范围.

45.某项研究性课题由一个团队完成，团队由一个主持人和若干个助手组成，助手分固定和临时两

种，每个固定助手的工资为3000元/月，当固定助手人手不够时，需要招聘临时助手，每个临时助手

的工资为4000元/月，现在搜集并整理了以往的20个团队需要的助手数；得到如图柱状图.

记n为提供给一个团队的固定助手数(提供的每个固定助手均按3000元/月的标准支付工资).x

为一个团队需要的助手数，y为支付给一个团队的助手的月工资总额(单位：元)

(I)当n=4时，求y关于x的函数关系式；

(II)假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手，分别计算这

20个团队每月支付给助手的工资总额，以此作为决策依据，判断每一个团队提供4个固定助手划算

还是泥供5个固定助手划算；

(Ill)以这20个团队需要助手数的频率代替一个团队需要助手数的概率，若40个团队中需要5

个以下(不包括5个)助手数的团队个数记为X,求E(X).

46.已知函数f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0).

(I)当m=l时，求不等式f(x)>1的解集；

(II)若Vx£R,3teR,使得f(x)+|t-l|<|t+l|,求实数m的取值范围.

47.已知函数/(%)=xlnx-Inx,g(x)=x-k.

(I)令h(x)=f(x)-g(x)

①当k=l时，求函数h(x)在点(l,h(l))处的切线方程；

②若xeA={x|x)l}时，/i(x)>0恒成立，求k的所有取值集合与A的关系；

(H)记w(x)=(/(%)-])(g(x)-/)，是否存在mEN+t使得对任意的实数k6

(m,+oo),函数w(x)在(1,+8)上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数

m,若不存在，请说明理由.

48.己知函数/(x)=cos2x+2y/3sinxcosx-sin2x»xER.

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)求方程f(x)=0在(0,n]内的所有解.

49.已知函数/(x)=\2x+1|—|x—3|.

(1)求不等式/(x)>6的解集；

(2)设关于x的不等式/(%)>|x-m|的解集为A,若[3,4]QA,求实数m的取值范围.

50.设函数/(%)=\2x\+|2x+3|ER.

(1)当m=-2时，求不等式/(r)<3的解集；

(2)VxE(-00,0),都有/(X)-V+恒成立，求m的取值范围.

51.已知函数/(X)=ex-alnx.

(1)讨论/(%)的导函数/(%)的零点的个数；

(2)证明：当Q>0时，/(x)>a(2-Ina).

52.已知函数f(x)=\2x—1|+卸一2a\.

(1)当Q=1时，求/(x)<3的解集；

(2)当%€|1,2|时，/(X)<3恒成立，求实数Q的取值范围.

53.设函数/(%)=-minx,g(x)=x2-(m+l)x.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)当mNO时，讨论函数/(%)与g(x)图象的交点个数.

54.已知函数/(%)=ax2+(a-2)x-Inx.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

55.已知f(x)=|x+1|-\2x-1|.

(1)求不等式/(%)>0的解集；

(2)若xER时，不等式/(x)<x+a恒成立，求Q的取值范围.

56.设函数f(x)=—+%-Q+2[QWR).

(1)当曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线与直线y=x垂直时，求实数a的值；

(2)若函数"⑺=/(%)+会有两个零点，求实数a的取值范围。

S7.已知函数/'(幻=|丫一3一2比一l|(a£R)

(1)当a=3时，求函数/(x)的最大值；

(2)解关于x的不等式/(x)>0.

58.已知函数/(%)=|x-a|+*(aHO)

(1)若不等式f(x)-f(x+m)W1恒成立，求实数m的最大值；

(2)当aV4时，函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点，求实数a的取值范围.

59.设函数f(x)=|2x-1|,x£R.

⑴若不等式f(x)0a的解集为{x|OSxSl},求a的值；

(2)若g(x)=/(%)+/(：+i)+m的定义域为R，求实数m的取值范围.

60.某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学

随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：

①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；

②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共

需交纳20天.

请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.

答案解析

1.【答案】(1)解：由题意可得，g(x)=2x-l,

21>氏n

弛X

--♦

Ii

九

解得

所

a>H>X1X>O以X>

-Z2X----,-

l

I所

2X解得

22

九

<>1以-<

---XX>--9-

@x3,3

综上：X6R,+8).

(2)解：因为|2x-l|-c>|x-l|,

即c<\2x-1|—|x—1|.

A；X>1

3x-2f^<x<1f

{-x,x<|

所以=0(1)=•

即C<-i

【知识点】函数的最大(小)值；含绝空值不等式的解法

【解析】【分析】(1)利用零点分段法求出绝对值不等式。

(2)因为|2x-l|-c>|x-l|,即c<|2x-l|-|x-1|,再将函数。(x)=|2x-1|-

|x-11转化为分段函数，再利用分段函数图象求出函数。(口的最小值，从而利用不等式恒成立问题

的解决方法求出c的取值范围。

2.【答案】解：(1)当6=0时，/(%)=2(1-1=2(。丁),(x>0),

当QW0时，/(X)<0在(0,+8)上恒成立..•・函数f[x)在(0,+8)单调递减；

当a>0时，由/(%)<0得Ovxv：,由/(%)>0得％>:,

・•・/。)的单调递减区间为(0,》，单调递增区间为+8),

综上，当QW0时，f(x)的单调递减区间为(0,+8)，无单调递增区间，

当a>0时，/(x)的单调递减区间为(0,》，单调递增区间为6,+8).

(II)证明：v%>y>e—1,•%x4-l>y+l>e，即ln(x4-1)>ln(y+1)>1,

欲证ex\n(y4-1)>eyln(x+1).

即证明ln(；+l)>K+l)'

令贝乃=反近，

eXln(+1)

则g'(x)=^2­—，显然函数h(x)=ln(x+1)一士在(e—1,+<»)上单调递增，

In(x+1)“+1

h(x)>1—^>0，即g(%)>0,

・•.g(x)在(e-1,+8)上单调递增，

—l时，g(%)>g(y)，即E(m)>，

•••当%>y>e-1时，exln(y+1)>ey\n(x+1)成立.

【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性：分析法的思考过程、特点及应用

【解析】【分析】(I)求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.(II)将不等式

进行等价转化为篇高需，构造函数。(%)=京占，求函的导数，研究函数的单调性，利用

函数的单调性证明gM>g{y}即可.

3.【答案】当a=0时，由f(x)>g(x)得\2x+1|>\x\,两边平方整理得3/+4x+1>

0,

解得X<—1或％之/原不等式解集为(—00,—1]U[―i;4-oo).

(2)若存在xER,使得/(X)<g(x)成立，求实数a的取值范围.

-x-l,x<-1

3x+1>_l<x<0，

(x+l,x>0

故Kx)min=h(-1)=-1,从而所求实数a的取值范围为6V•

【知识点】函数的最大(小)值；含绝末值不等式的解法；分段函数的应用

【解析】【分析】(1)利用a的值代入求出函数g(x)的解析式，再利用平方法转化为一元二次不等

式，再利用一元二次不等式求解集的方法求出不等式的解集。

(2)利用不等式成立的已知条件求出a>|2x+1|-|%|,再利用构造法构造分段函数九(x)=|2x+

l|-|x|,再利用分段函数的图象求出分段函数的最小值，从而求出与分段函数有关的a的取值范

围。

2

4.【答案】(1)由题意可得：2xy-x=V5，贝IJy=，

y>%,:."士底>%,解得0v%<.

・•.y关于X的解析式为y=学5(0<x<V5)；

(2)设正十字形的外接圆的直径为d,

2

由图可知d2=%2+y2=/+l岁)=孚+2+空泞+够,

当且仅当％=1,、=要时，正十字形的外接圆直径d最小，

最小为产了二J10产,则半径最小值为J10：2店,

•・・正十字形的外接圆面积最小值为J10+2相、2_5+店.

加X(-----4-----)--Q-n

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】(1)利用实际问题的已知条件结合图形特征求生)，关于工的函数解析式。

(2)利用均值不等式求最值的方法结合正十字形的外接圆面积公式求出正十字形的外接圆面积最小

值。

5.【答案】(1)解：函数/(%)的定义域为(0,+8).八乃=］_*_,二.一(岁］(%+1).

当。三一1时，即Q+140,/(X)>0，/(%)在(0,+8)上单调递增，

・・・/Q)在(0,+8)上单调递增.

当。>一1时，即a4-1>0,当x€(0,a+1)时，/(%)<0，当xe(a+1,4-oo)时，

f(x)>0，

・•・/•(彳)在(0,a+l)上单调递减，在(a+1,+8)上单调递增.

・•・当a<-l时，f(x)在(0,+8)二单调递增.

当a>—1时，/(%)在(0,a+l)上单调递减，在(Q+1,+8)上单调递增.

(2)解：设f(x)=x+^—alnx=0,则由(1)知

①当a>e-l时，即a+l>e,当xG(l,e)时，/(x)<0，/(x)在(l,e)单调递减

/⑴=2+a>0，/(e)=e+噜1-a=a(1-1)+e+1

・••当/(e)>0,即a(i-l)+e+i>0,Qv贮邙时，/(%)>0在［l,e］上恒成立，

・••当e-1VQ<皿时，/(%)在［1,。］内无零点.

当/(e)<0,即。6-1)+。+：40,QN当时，/(0)-f(e)<0,

根据零点存在性定理知，此时，f(x)在［l,e］内有零点，

V/(x)在［lfe］内单调递减，，此时，f(x)在［l,e］有一个零点.

②当QW0时，即Q+1V1,当xe(l.e)时，/(r)>0,/(x)在(Le)单调递增，

/⑴=2+a,/(e)=a(J-l)+e+|>0.

・••当/(1)=2+QW0,即QW—2时，/(l)•/(e)<0,根据零点存在性定理，此时，/(%)

在［l,e］内有零点.

•・,/(%)在［l,e］内单调递增，，此时，/(%)在［l,e］有一个零点.

当-2VQW0时，fminM=/(I)>0，，此时，/(X)在［lte］无零点.

③当OVaWe-l时，即1<a+1<e,当》W(1,Q+1)时，f(x)<0:当工£(Q+1,e)

时，f(x)>0;

则/(x)在(1,Q+1)单调递减,在(a+l,e)单调递增.

/mtn(x)=f(a+1)=a+2-aln(a4-l)>a+2-a=2

・・・/(%)>0在［l,e］上恒成立，，此时,/(x)在［l,e］内无零点.

，综上所述：

当时，/(x)在［1,句内有1个零点；

当。工一2时，/(X)在［l,e］有一个零点；

当一2VQ〈Q二牛时，/(%)在［l,e］无零点.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大(小)值；函数零点存在定理

【解析】【分析】(1)利用分类讨论的方法结合求导的方法讨论出函数的单调性。

(2)利用不等式恒成立问题的解决方法结合求导的方法判断出函数的单调性，从而求出函数的最

值，再利用零点存在性定理讨论出f(x)在区间［1,句上的零点个数。

6.【答案】(1)解：当XV0时，/(x)=-%2是增函数，且/(x)<0=/(0),

故当％N0时，/(x)为增函数，即f(x)>0恒成立，

当％N0时，函数的导数/'(%)=+2ax-2a=宏+2aoT)=(1一%)(E-2a)。0

恒成立，

当》之1时，1一"0,此时相应^-2a<0恒成立，即2QZ备恒成立，即2a>

点)max=|恒成立,

当OWxVl时，1一%>0,此时相应p：-2a>0恒成立，即2a恒成立，即2a<1

恒成立，

则2a=工，即a=:.

e2e

(2)若kwo,则gM在R上是增函数，此时gM最多有一个零点，不可能有三个零点，则

不满足条件.

故k>0,

当％V0时，g(x)=-x2-kx有一个零点一k,

当％=0时，g(0)=f(0)-0=0,故0也是故g(%)的一个零点，

故当%>0时，g(x)有且只有一个零点，即g(x)=0有且只有一个解，

即1+%，得去+疑>"，

则k=&+壬一］，在x>o时有且只有一个根，

ex2ee

即y=k与函数h(x)=去+，在x>0时有且只有一个交点，

川㈤=一2+/，

由hJ(x)>0得-白+疝>。，即/得那>2e,得x>ln2e=1+Zn2,此时函数递

增，

由九'(%)<0得-白+点V。，即春>克得e'〈2e,得0<x<ln2e=1+m2,此时函数

递减：

即当x=l+，n2时，函数取得极小值，此时极小值为力(1+m2)=3版+上普一:

1,1,Zn211,1Zn21ln2

=/+石+左一1石+石+石一5二芯'

/i(0)=l+0-J=l-J.

作出九(%)的图象如图，

要使y=k与函数九(%)=£+合一;，在x>0时有且只有一个交点,

则八器或心1］，

即实数k的取值范围是偿｝U[1-1,+00）.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研窕函数的极值；函数零点存在定理

【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用不等式恒成立问题的解决方法，用

求函数最值的方法求出a的值。

（2）利用函数零点和方程的根的等价关系结合求导判断函数单调性求函数极值的方法，从而求出k

的取值范围。

7.【答案】（1）解：/⑺工5=J3〈°,…或1°-x-i或1X>1

l-Zx+3-Zx<5（2x+3-2x<5l2x+2x-3<5

解得一,

不等式/(x)<5的解集为5±,2].

(2)由x€[1,+co),/(x)+m<x+—有解,

000人0

得XQ+|2%o—3|—^-4-?n<0有解，

3工「3市、3

3Xo>2

令^)=x|2x-3|--=

oo+o3-、。_泰3

1<x0<2

当勾斗时，gg）=3%-3显然单调递增，

2

--

当1W<梳时，g（X0）=3-x0T，求导得g'（%0）=-1+二7=3*。2

显然在14与V。时，上马>0,即gQo）在1时，单调递增，

则gOo）znin=g⑴=-1，

-1+m<0,m<1.

【知识点】函数的最大（小）值；含绝疝值不等式的解法

【解析】【分析】（1）利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。

（2）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合不等式成立的已知条件求出

m的取值范围。

8.【答案】(I)当x>3时，f(x)=|x+2|-2|x—3|=x4-2—2x4-6=-x4-8>2,

解得x<6,3<x<6；

当一24%V3时，f(x)=|x+2|-2|x—3|=x+2+2x-6=3x—4>2

解得x>2,2<x<3；

当x<-2时，f（x）=|x+2|-2|x-3|=-%-2+2%-6=%-8>2,

解得x>10,无解.

综上所述，原不等式的解集为（2,6）.

x-Sfx<C—2,

3x—4,-2<X<3/*',f（X）小收—5,

—%+8,x>3/

Q

即"A-+!

52b5

他2=l248

a>a

•-+--『->-+2-

：5555-55(当且仅当a=2b时，等号成

立

【知识点】含绝对值不等式的解法；分段函数的应用

【解析】【分析】(1)利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。

(2)将绝对值函数转化为分段函数，再利用分段函数的图象求出分段函数的最大值，从而求出

21

-5>成立

a+2b的值，再利用均值不等式求最值的方法证明出不等式Q-

9.【答案】(1)解：/(x)=x2-b，所以/(l)=l-d=2，得b=-1

又/⑴=24-1=3,所以J—b+c=3,得c=擀

⑵解：因为b=1所以/(x)=寺炉一工+。，=x2-1

当％W(0,1)时，/(%)<0,当xW(1,2)时，/(%)>0

所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增

又/(0)=c</(2)=j+c,可知f(x)在区间(0,2)内有唯一零点等价于

-1)=。或偿受

得c=5或一,<cW0

(3)解：若对任意的刈,必：均有\fM-f(X2)\<^，等价于f(x)在［-1,1］上的

最大值与最小值之差M<|

(i)当bWO时，在［一1,1］上/(x)>0，/(%)在上单课递增

由M=/(I)-/(-I)=1-26<，得此一义

所以一段WbW0

(ii)当b>0时，由/(%)=0得工=±y[b

X-4b(-痣.4b)4b(线,+8)

f(x)+o—o+

/(.V)递增极大值递减极小值递增

由/1工)=f(一&)得x=2VF或x=—yfb

所以/(2Vb)=/(-Vb)，同理八一2前)=/(VF)

24

当

与

便

1>即b>1->

33,

1244

诋

当

2\即-<<A--3<-

J一

Z4--=33-3

恒成立

4

-

3)当2①Vl,即Ovbv/时，M=/(I)-f(-l)=3

综上所述，b的取值范围为［-11］

【知识点】函数恒成立问题：利用导数研究函数的单调性：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点

存在定理

【解析】【分析】本题考查导数的运算，利用导数求切线方程、判断函数的单调性、求函数的最值等

基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.(1)先求导，将切点的

横坐标代入到导数中，得到切线的斜率，结合已知切线的斜率可求出b的值，再由切点在切线上，

可求出f(l)即切点的纵坐标，然后代入f(x)的解析式即可求出c的值；(2)先将b=l代入

得到/(%)解析式，求导数，判断函数的单调性，因为/(%)在(0,2)有唯一的零点，所以/(1)=

0或(^2)；o，所以解得c=，或一|vcMO;(3)属于恒成立问题，通过分析题意，可以转

化为f(x)在［-1,1］上的最大值与最小值之差,因为f\x)=x2-b，所以讨论b的正

负来判断/(x)的正负，当b40时，/(X)为单调递增函数，所以M=/(l)-/(-l)，当

0时，需列表判断函数的单调性和极值来决定最值的位置，这种情况中还需要讨论4b与1的大小.

10.【答案】(1)解：由题意可知f(x)的定义域为R,因此，