2024-2025高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案含解析新人教A版必修4

PAGE6-2．2平面对量的线性运算2.2.考试标准课标要点学考要求高考要求向量加法的定义及其几何意义bb向量加法的交换律与结合律bb相反向量的概念aa向量减法的定义及其几何意义bb学问导图学法指导1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为背景引入．而向量的减法运算是通过类比实数的减法运算引入的．2．由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题．第1课时向量加法运算及其几何意义1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法．2．向量加法的运算法则(1)三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up10(→))，则向量eq\o(AC,\s\up10(→))叫作a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.(2)平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up10(→))就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．eq\x(状元随笔)1.精确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的运用条件不同：三角形法则适用于随意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一样的．如图所示：eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))(平行四边形法则)，又∵eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))，∴eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))(三角形法则)．(3)在运用三角形法则时，应留意“首尾连接”；在运用平行四边形法则时应留意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))与非零向量eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(b,\s\up10(→))的模及方向的联系(1)当向量eq\o(a,\s\up10(→))与eq\o(b,\s\up10(→))不共线时，向量eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))的方向与eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(b,\s\up10(→))都不相同，且|eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))|<|eq\o(a,\s\up10(→))|＋|eq\o(b,\s\up10(→))|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．(2)当向量eq\o(a,\s\up10(→))与eq\o(b,\s\up10(→))同向时，向量eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))与eq\o(a,\s\up10(→))(或eq\o(b,\s\up10(→)))方向相同，且|eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))|＝|eq\o(a,\s\up10(→))|＋|eq\o(b,\s\up10(→))|.(3)当向量eq\o(a,\s\up10(→))与eq\o(b,\s\up10(→))反向时，且|eq\o(a,\s\up10(→))|≤|eq\o(b,\s\up10(→))|时，eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))与eq\o(b,\s\up10(→))方向相同(与eq\o(a,\s\up10(→))方向相反)，且|eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))|＝|eq\o(b,\s\up10(→))|－|eq\o(a,\s\up10(→))|.[小试身手]1．推断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋0＝a.()(2)a＋b＝b＋a.()(3)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.()(4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝2eq\o(AB,\s\up10(→)).()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，则a＋b等于()A.eq\o(CA,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(AB,\s\up10(→))D.eq\o(AC,\s\up10(→))解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).答案：D3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))B.eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))C.eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))D.eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0解析：因为eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))≠eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))，故C错误．答案：C4．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a、b是方向相反的向量C．a＝－bD．a、b无论什么关系均可解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．答案：A类型一已知向量作和向量例1如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.【解析】方法一可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝c，则得向量eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋c，然后作向量eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，则向量eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b＋c为所求．①②方法二三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b；(2)作平行四边形AOBC，则eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b；(3)再作向量eq\o(OD,\s\up10(→))＝c；(4)作平行四边形CODE，则eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋c＝a＋b＋c.即eq\o(OE,\s\up10(→))即为所求.利用三角形法则或,平行四边形法则→先作出两个向量,的和向量→再作出三个向量的和向量方法归纳(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与其次个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以其次个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练1如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.解析：方法一如图(1)，在平面内作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b；再作eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，则eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b＋c.方法二如图(2)，在平面内作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则eq\o(OD,\s\up10(→))＝a＋b；再作eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则eq\o(OE,\s\up10(→))＝a＋b＋c.本题是求向量的和问题，方法是运用三角形法则或平行四边形法则．类型二向量的加法运算例2化简：(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.先依据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．方法归纳向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最终一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，依据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．跟踪训练2化简：(1)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).解析：(1)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝0.(2)方法一(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法三(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).多个向量的加法运算可依据随意的次序与随意的组合进行.如(eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→)))＋(eq\o(c,\s\up10(→))＋eq\o(d,\s\up10(→)))＝(eq\o(b,\s\up10(→))＋eq\o(d,\s\up10(→)))＋(eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(c,\s\up10(→)))；eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))＋eq\o(c,\s\up10(→))＋eq\o(d,\s\up10(→))＋eq\o(e,\s\up10(→))＝[eq\o(d,\s\up10(→))＋(eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(c,\s\up10(→)))]＋(eq\o(b,\s\up10(→))＋eq\o(e,\s\up10(→)))．类型三向量加法的实际应用例3长江两岸之间没有大桥的地方，经常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸A点动身，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．【解析】(1)如图所示，eq\o(AD,\s\up10(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up10(→))表示水速，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则eq\o(AC,\s\up10(→))表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2，|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝5，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(22＋52)＝eq\r(29)≈5.4.因为tan∠CAB＝2.5，由计算器得∠CAB≈68°，所以船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水速间的夹角约为68°.eq\o(AD,\s\up10(→))表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，eq\o(AB,\s\up10(→))表示水流速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则eq\o(AC,\s\up10(→))就是船的实际航行速度．跟踪训练3本例中若该船从A点动身以2eq\r(3)km/h解析：由题意，|eq\o(AB,\s\up10(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up10(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up10(→))|2，故|eq\o(AB,\s\up10(→))|2＋(2eq\r(3))2＝42，解得|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2，故水速大小为2km/h.结合例题中的图形，由勾股定理得|eq\o(AB,\s\up10(→))|.2.2.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))等于()A.eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(DA,\s\up10(→))解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).故选A.答案：A2．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝0D.eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(NP,\s\up10(→))＋eq\o(PM,\s\up10(→))解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝2eq\o(AC,\s\up10(→))≠0，故B错．答案：B3．设a表示“向东走5km”，b表示“向南走5km”，则a＋b表示()A．向东走10kmB．向南走10kmC．向东南走10kmD．向东南走5eq\r(2)km解析：如图所示，eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝5，且AB⊥BC，则|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝5eq\r(2)，∠BAC＝45°.答案：D4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同D．不确定解析：假如a和b方向相同，则它们的和的方向应当与a(或b)的方向相同；假如它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．答案：A5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up10(→))B.eq\o(OG,\s\up10(→))C.eq\o(FO,\s\up10(→))D.eq\o(EO,\s\up10(→))解析：设a＝eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))，由a和eq\o(FO,\s\up10(→))长度相等，方向相同，得a＝eq\o(FO,\s\up10(→))，即eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))＝eq\o(FO,\s\up10(→)).答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(CA,\s\up10(→))＝c，则a＋b＋c＝________.解析：由向量加法的三角形法则，得eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，即a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0.答案：07．化简(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋(eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝________.解析：原式＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).答案：eq\o(AC,\s\up10(→))8．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，则|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))|＝________.解析：在菱形ABCD中，连接BD，∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，又∵|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，∴|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.解析：(1)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如图(1)；(2)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如图(2)；(3)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如图(3)．10.如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))；(2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FE,\s\up10(→)).解析：(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→)).(2)由图可知，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(FE,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))，所以eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FE,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→)).[实力提升](20分钟，40分)11．设a＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋Ceq\o(D,\s\up10(→)))＋(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→)))，b是任一非零向量，则下列结论中正确的有()①a∥b②a＋b＝a③a＋b＝b④|a＋b|<|a|＋|b|⑤|a＋b|＝|a|＋|b|⑥|a＋b|>|a|＋|b|A．①②⑥B．①③⑥C．①③⑤D．③④⑤⑥解析：a＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0又b为非零向量，故①③