2025届高考数学统考二轮复习增分强化练二十五概率离散型随机变量及其分布理含解析

PAGE增分强化练(二十五)考点一古典概型与几何概型1．一个盒子里装有标号为1－6的6个大小和形态都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(2,15)C.eq\f(3,15) D.eq\f(4,15)解析：盒子里装有标号为1－6的6个大小和形态都相同的小球，其中1到4号球是红球，5,6号是黄球，从中任取两个球，有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种状况，恰有1个球的号码是偶数且颜色不同的有16,25,36,45共有4种状况，故所求概率P＝eq\f(4,15).故选D.答案：D2．(2024·合肥模拟)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖须要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行其次次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．依据这样的规则摸奖，中奖的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50) D.eq\f(41,100)解析：分两种状况，第一种第一次摸到连号，则概率为P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，其次种状况对应概率为P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5))·eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，所以概率为P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故选C.答案：C考点二相互独立事务和独立重复试验1．(2024·内江模拟)设随机变量X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0．6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544.A．7539 B．7028C．6587 D．6038解析：由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为S＝1，又由随机变量听从正态分布X～N(1,1)，所以正态分布密度曲线关于x＝1对称，且σ＝1，又由P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，即P(0<X<2)≈0.6826，所以阴影部分的面积为S1＝1－eq\f(0.6826,2)＝0.6587，由面积比的几何概型可得概率为P＝eq\f(S1,S)＝0.6587，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587＝6587，故选C.答案：C2．(2024·南昌模拟)某品牌餐饮公司打算在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理支配各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1,2,3,4,5时，单店日平均营业额y(万元)的数据如下：加盟店个数x(个)12345单店日平均营业额y(万元)10.910.297.87.1(1)求单店日平均营业额y(万元)与所在地区加盟店个数x(个)的线性回来方程；(2)该公司依据回来方程，确定在其他5个地区中，开设加盟店个数为5,6,7的地区数分别是2,1,2.小赵与小王都打算加入该公司的加盟店，但依据公司规定，他们只能分别从这5个地区的30个加盟店中随机抽取一个加入．记事务A：小赵与小王抽取到的加盟店在同一个地区，事务B：小赵与小王抽取到的加盟店预料日平均营业额之和不低于12万元，求在事务A发生的前提下事务B发生的概率．(参考数据及公式：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝125，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，线性回来方程eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(a,\s\up11(^))，其中eq\o(b,\s\up11(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up11(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up11(^))eq\x\to(x).)解析：(1)由题可得，eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9，设所求线性回来方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝bx＋a，则eq\o(b,\s\up11(^))＝eq\f(125－135,55－45)＝－1，将eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9代入，得eq\o(a,\s\up11(^))＝9－(－3)＝12，故所求线性回来方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝－x＋12.(2)依据回来方程，加盟店个数为5的地区单店预料日平均营业额为7万元，加盟店个数为6的地区单店预料日平均营业额为6万元，加盟店个数为7的地区单店预料日平均营业额为5万元；P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)×2,C\o\al(2,30))＝eq\f(77,435)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6),C\o\al(2,30))＝eq\f(35,435)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,11).考点三随机变量的分布列、均值与方差1．(2024·云南质检)已知随机变量ξ听从正态分布N(1,2)，则D(2ξ＋3)＝________.解析：∵随机变量ξ听从正态分布N(1,2)，∴D(ξ)＝2，则D(2ξ＋3)＝22×D(ξ)＝8.答案：82．(2024·保定模拟)某次聘请分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用．笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关．假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为eq\f(2,3)，面试两科每科优秀的概率均为eq\f(3,4).(1)求该考生被录用的概率；(2)设该考生在此次聘请活动中考试的科目总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．解析：(1)该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关．所以P＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋C\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·\f(1,3)))·eq\f(3,4)·eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).(2)易得ξ的可能取值为3,5.∴P(ξ＝3)＝1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋C\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·\f(1,3)))＝1－eq\f(20,27)＝eq\f(7,27)，P(ξ＝5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\