第二章-各向异性材料弹性力学基本知识

2各向异性材料弹性力学基础2.1各向异性弹性力学基本方程2.2各向异性弹性体的应力-应变关系2.3正交各向异性材料的工程弹性常数2.4正交各向异性材料工程常数的限制条件对于直角坐标系oxyz，三个正交平面上的应力为2.1.1弹性体中任意一点的应力分量2.1各向异性弹性力学基本方程其中：txy

=

tyx，tzx

=

txz，

tzy

=

tyz

即切应力互等6个应力分量：sx，sy

，

sz

，

txy

，

tyz

，tzx对于直角坐标系oxyz，应变张量为2.1.2弹性体中任意一点的应变分量其中：exy

=

eyx=gxy/2，ezx

=

exz

=

gzx/2

，

ezy

=

eyz

=

gyz/2

。exy

，ezx

，eyz

为张量切应变，gxy

，

gzx

，

gyz

为工程切应变。6个应变分量：ex，ey

，

ez

，

gxy

，

gyz

，gzx对于直角坐标系oxyz，位移分量为2.1.3弹性体中任意一点的位移分量3个位移分量：u，v

，w

弹性力学有15个基本未知量：3个位移分量：u，v

，w6个应力分量：sx，sy

，

sz

，

txy

，

tyz

，tzx6个应变分量：ex，ey

，

ez

，

gxy

，

gyz

，gzx2.1.4各向同性弹性力学基本方程其中：fx，fy，fz

为体力分量对于直角坐标系oxyz，平衡微分方程为对于直角坐标系oxyz，几何方程为根据变形协调方程，应变分量间满足：应力边界条件：位移边界条件：对于直角坐标系oxyz，平面应力问题物理方程为平面应变问题：E、m

作相应替换2.1.5各向异性弹性力学平衡微分方程和几何方程其中：fx，fy，fz

为体力分量对于直角坐标系oxyz，平衡微分方程为对于直角坐标系oxyz，几何方程为应力与应变关系的一般形式为：小变形情况下，展开成泰勒级数，并略去其二阶及以上的小量等表示函数f1

对应应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值，表示函数f1

在应变分量为零时的值，即初始应力，由初始应力的假设，为零。上式简化为小变形时，应变分量与应力分量间的关系：其中：C11，C12，…，C66共36个，称为刚度系数。元素Cij

组成的矩阵称为刚度矩阵，记为C

。应变分量与应力分量间的关系写成矩阵表示式为

各向异性弹性力学的基本方程有15个，加上给定的边界条件，可以确定15个基本未知量。结论：

各向异性弹性力学基本方程与各向同性弹性力学基本方程相比，平衡微分方程、几何方程相同，只是物理方程不同。2.2各向异性弹性体的应力-应变关系（本构关系）2.2.1各向异性弹性体的本构关系用1，2，3

轴代替x，y，z

轴，把应力、应变分量符号用简写符号表示，相应替代关系为应力：应变：

gij

表示工程切应变，

eij

（i

≠

j）表示张量切应变。凡j重复，表示由1,2,…,6共6项相加。si

是应力分量，ej

是应变分量，Cij

是刚度系数。各向异性弹性体应力应变线弹性关系：或对于完全弹性体，当应力si

作用于应变增量dei

时，单位体积外力功的增量为dA，即应变能密度增量dW

，按能量守恒原理应变能与加载过程无关沿整个加载变形过程积分，应变能密度为应变能密度为应变分量的二次函数。刚度矩阵C为对称矩阵，只有21个刚度系数是独立的，即Sij

为柔度系数，柔度矩阵S=C-1，也为对称矩阵，即Sij

=Sji，

也只有21个柔度系数是独立的。各向异性材料的应变能密度表达式为2.2.2几种常见对称材料的应力-应变关系

绝大多数工程材料具有对称的内部结构，因此材料具有弹性对称性。常见的对称材料有单对称材料、正交各向异性材料、横观各向同性材料和各向同性材料。1.单对称材料的应力-应变关系材料内每一点都存在一个弹性对称面，则称该材料为单对称材料。关于弹性对称面对称的任意两个方向上的弹性性质是相同的。例如取1-2坐标平面与弹性对称面平行，3

轴与弹性对称平面垂直，过O点按坐标方向切取一微单元体。由弹性对称面定义可知，将3

轴转到轴，应力-应变关系保持不变。当3轴换成

轴时，123os3t13t2312o应变能密度W是应变状态的单值函数，是标量，与坐标系的选择无关。为保证W值不变，含gyz

和gzx

（即e4和e5

）的一次项的刚度系数等于零。独立的刚度系数减为13个同样为保证W值不变，含tyz

和tzx

（即s4

和s5

）的一次项的柔度系数等于零。独立的柔度系数减为13个材料弹性对称性的物理意义

取单对称材料，仅在

方向加正应力，即s3≠0，其他应力分量均为零。

垂直于弹性对称面的正应力只引起正应变和垂直于正应力平面的切应变。材料弹性对称性的存在，可降低正应力和切应变或切应力与正应变的耦合程度，降低材料各向异性。2.正交各向异性材料

材料中的每一点都存在三个相互垂直的弹性对称面，称作正交各向异性体。材料有三个正交的弹性主轴。

1-2面、1-3面和2-3面均为弹性对称面。123os3t13t231-2面为弹性对称面，按单对称材料分析方法有1-3面和2-3面为弹性对称面，按单对称材料分析方法又有独立刚度系数减少为9个对于正交各向异性材料，正应力只引起正应变，切应力只引起切应变。正应力与切应变或切应力与正应变之间没有耦合，这一点是和各向同性材料相同。独立柔度系数减少为9个3.横观各向同性材料

材料中的每一点都存在三个相互垂直的弹性对称面，但其中的一个平面是各向同性的，称为横观各向同性材料。取1-2面为各向同性面，1，2，3轴都是弹性主方向。与3轴有关的系数S33、S13、

S44、C33、C13、C44都独立。123o由于1-2面为各向同性面某点应力状态：将坐标1-2在面内转45°，新坐标

下的应力分量

讨论S66

与S11、S12

间的关系ss215个独立弹性常数4.各向同性材料材料具有无穷多个性能对称平面，称为各向同性材料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面的弹性性能完全相同。刚度系数、柔度系数分别满足独立弹性常数2个2.3

正交各向异性材料的工程弹性常数除了表示材料弹性特性的刚度系数Cij

、柔度系数Sij

外，工程上常用工程弹性常数来表示材料的弹性特性。大型通用结构有限元分析软件输入复合材料的弹性性能时，也要求按工程弹性常数形式给出。工程弹性常数：拉压弹性模量Ei

、剪切弹性模量Gi

和泊松比nij

。工程弹性常数可用三个单向拉伸和三个纯剪切试验测定。1方向单向拉伸试验：s1≠0，其他应力均为零。s1s1由胡克定律得2方向单向拉伸试验：s2≠0，其他应力均为零。s3s33方向单向拉伸试验：s3≠0，其他应力均为零。s2s21-2面纯剪切试验：t21t12由胡克定律得2-3面和1-3面纯剪切试验：t23t32t13t31用工程常数来表示的正交各向异性材料的柔度矩阵Ei（i

=1，2，3）表示沿材料主方向i的弹性模量。nij

表示由于沿材料主方向i作用应力si

而在材料主方向j引起横向变形的泊松比，Gij

表示在i-j

平面的剪切模量。（i，j=1，2，3，但i≠j）

三个互等关系：用工程常数来表示的正交各向异性材料的应力-应变关系正交各向异性材料的刚度系数：2.4正交各向异性材料工程常数的限制条件2.4.1各向同性材料工程弹性常数的限制条件各向同性材料工程弹性常数E、G、n之间的相互关系各向同性体受到静水压力–p作用时的体积应变为体积模量各向同性材料泊松比取值范围2.4.2正交各向异性材料工程弹性常数的限制条件材料应变能密度函数考虑材料承受单向拉应力s1正交各向异性材料的刚度矩阵C和柔度矩阵S主对角线元素大于零，刚度矩阵C和柔度矩阵S正定。柔度矩阵正定三个泊松比的乘积小于1/2例2-1：通过实验得玻璃钢单层板实验数据：试由工程弹性常数的限制条件验证实验数据