黑龙江省哈尔滨三十二中2025届高二上数学期末统考模拟试题含解析

黑龙江省哈尔滨三十二中2025届高二上数学期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B.C. D.2．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（）网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率餐馆甲100095%100085%餐馆乙1000100%200080%餐馆丙100090%100090%餐馆丁200095%100085%A.餐馆甲 B.餐馆乙C.餐馆丙 D.餐馆丁3．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.16030.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.744．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（）A. B.C. D.5．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.6．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（）A. B.C.2 D.37．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于（）A. B.C. D.8．在等比数列中，，，则等于（）A. B.5C. D.99．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（）A. B.C. D.10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（nào）．如图所示的三棱锥为一鳖臑，且平面，平面，若，，，则（）A. B.C. D.11．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）A. B.C. D.12．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（）A.-5 B.-3C.1 D.7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________14．双曲线的右焦点到C的渐近线的距离为，则C渐近线方程为______15．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________16．已知茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．甲组乙组三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的弦.求：（1）弦的长；（2）△的周长.18．（12分）如图1，已知矩形中，，E为上一点且.现将沿着折起，使点D到达点P的位置，且，得到的图形如图2.（1）证明为直角三角形；（2）设动点M在线段上，判断直线与平面位置关系，并说明理由.19．（12分）设函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值.20．（12分）已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标21．（12分）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，，，，，（1）证明：是直角三角形；（2）求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值22．（10分）已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.2、D【解析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.【详解】餐馆甲的总好评率为：，餐馆乙的总好评率为：，餐馆丙的好评率为：，餐馆丁的好评率为：，显然，所以餐馆丁的总好评率最高.故选：D3、D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题4、B【解析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为故选：B5、B【解析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.【详解】由可得：，由可得，所以直线：过定点，作出图象如图所示：，，若直线与线段相交，则或，所以实数的取值范围是或，故选：B6、A【解析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.【详解】，，由中点坐标公式，得，所以.故选：A7、C【解析】先由cosA的值求出，进而求出，用正弦定理求出b的值.【详解】因为cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故选：C8、D【解析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【详解】由题设，，∴故选：D9、A【解析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.【详解】=,故选：A.10、A【解析】根据平面，平面求解.【详解】因为平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故选：A11、C【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】求解不等式可得：，由几何概型的概率计算公式可得：在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.故选：.12、C【解析】根据，可知向量建立方程求解即可.【详解】由题意根据，可知向量，则有，解得.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据点是弦的中点，为坐标原点，利用点差法求解.【详解】设，且，则，（1），（2）得：，，.又，，.故答案为：14、【解析】根据给定条件求出双曲线渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答【详解】双曲线的渐近线为：，即，依题意，，即，解得，所以C渐近线方程为.故答案为：15、【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16、【解析】根据中位数、平均数的定义，结合茎叶图进行计算求解即可.【详解】根据茎叶图可知：甲组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别；乙组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别，因为甲组数据的中位数为，所以有，又因为乙组数据的平均数为，所以有，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）联立直线方程与双曲线方程，求得交点的坐标，再用两点之间的距离公式即可求得；（2）根据（1）中所求，利用两点之间的距离公式，即可求得三角形周长.【小问1详解】设点的坐标分别为，由题意知双曲线的左、右焦点坐标分别为、，直线的方程，与联立得，解得，代入的方程为分别解得.所以.【小问2详解】由（1）知，，，所以△的周长为.18、（1）证明见解析（2）答案不唯一，见解析【解析】（1）利用折叠前后的线段长度及勾股定理求证即可；（2）动点M满足时和，但时两种情况，利用线线平行或相交得到结论.【小问1详解】在折叠前的图中，如图：，E为上一点且，则，折叠后，所以，又，所以，所以为直角三角形.小问2详解】当动点M在线段上，满足，同样在线段上取，使得，则，当时，则，又且所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以此时平面；当时，此时，但，所以四边形为梯形，所以与必然相交，所以与平面必然相交.综上，当动点M满足时，平面；当动点M满足，但时，与平面相交.19、（1）单调递减区间为和，单调递增区间为（2）极小值，极大值为【解析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负可求出函数的单调区间，（2）根据（1）中求得单调区间可求出函数的极值【小问1详解】.当变化时，，的变化情况如下表所示：00减极小值增极大值减的单调递减区间为和，单调递增区间为.【小问2详解】由（1）可知在处取得极小值，在处取得极大值.的极小值为，极大值为.20、（1）（2）证明见解析，定点【解析】（1）先判断出在椭圆上，再代入求椭圆方程；（2）假设斜率存在，设出直线，利用斜率之和为，求出之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可.【小问1详解】由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，将，代入椭圆的方程，解得，所以椭圆的方程为【小问2详解】当直线斜率存在时，令方程为，由得所以得方程为，过定点当直线斜率不存在时，令方程为，由，即解得此时直线方程为，也过点综上，直线过定点.【点睛】本题关键点在于先假设斜率存在，设出直线，利用题目所给条件得到之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可，属于定点问题的常见解法，注意积累掌握.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接BD，在四边形ABCD中求得，在中，取得，得到，由线面垂直的性质证得平面，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面PBD，进而得到，即可证得是直角三角形（2）以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行直线为y轴，所在直线为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接BD，因为四边形中，可得，，，所以，，则在中，由余弦定理可得，所以，所以因为平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，因为，，所以平面PBD因为平面PBD，所以，即是直角三角形【小问2详解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中点O，连接PO，因为，所以，因为平面，平面底面，平面底面，所以底面,以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，可得，，，设平面的一个法向量为，则，令，可得，，所以，因为是平面的一个法向量，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为22、（1）（2）【解析】设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，.又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得