2025届上海复旦附中高一数学第一学期期末检测试题含解析

2025届上海复旦附中高一数学第一学期期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，在R上为增函数的是（）A.y=2-xC.y=2x2．命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，3．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．有三个函数：①，②，③，其中图像是中心对称图形的函数共有（）.A.0个 B.1个C.2个 D.3个5．命题的否定是（）A. B.C. D.6．若，的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（）A. B.C. D.7．已知是以为圆心的圆上的动点，且，则A. B.C. D.8．已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.9．定义在上的奇函数，当时，，则的值域是A. B.C. D.10．已知函数，则的解析式是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.12．已知函数定义域是________（结果用集合表示）13．若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________14．某时钟的秒针端点到中心点的距离为6cm，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则_______，其中15．用秦九韶算法计算多项式，当时的求值的过程中，的值为________.16．已知函数定义域为，若满足①在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数且是“半保值函数”，则的取值范围为________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，其中(1)求函数的定义域；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)若，求使成立的的集合18．设函数（1）若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；（2）若函数在，的最大值为，求实数的值19．设有一条光线从射出，并且经轴上一点反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为)；(2)设动直线，当点到的距离最大时，求所围成的三角形的内切圆(即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程.20．已知圆：关于直线：对称的图形为圆.（1）求圆的方程；（2）直线：，与圆交于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.21．（1）已知，则；（2）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】对于A，y=2-x=12x，在R上是减函数；对于B，y=x2在-∞，0上是减函数，在0，+∞上是增函数；对于C，当【详解】解：对于A，y=2-x=12对于B，y=x2在-∞，0对于C，当x≥0时，y=2x是增函数，当x<0时，y=x是增函数，所以函数fx对于D，y=lgx的定义域是0，+∞故选：C.2、B【解析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，判断即可.【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，命题“”的否定为：.故选：B.3、C【解析】求解不等式化简集合，，再由题意可得，由此可得的取值范围【详解】解：由，即，解得或，所以或，，命题是命题的必要不充分条件，，则实数的取值范围是故选：C4、C【解析】根据反比例函数的对称性，图象变换，然后结合中心对称图形的定义判断【详解】，显然函数的图象是中心对称图形，对称中心是，而的图形是由的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是，由得，于是不是中心对称图形，，中间是一条线段，它关于点对称，因此有两个中心对称图形故选：C5、C【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，选出正确选项.【详解】因为命题是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，.故选：C.6、A【解析】因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，则，，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解【详解】因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，则，，选项，故正确，选项，故错误，选项，故错误，选项，故错误，故选：7、A【解析】根据向量投影的几何意义得到结果即可.【详解】由A，B是以O为圆心的圆上的动点，且，根据向量的点积运算得到＝||•||•cos，由向量的投影以及圆中垂径定理得到：||•cos即OB在AB方向上的投影，等于AB的一半，故得到＝||•||•cos.故选A【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，以及向量投影的应用．平面向量数量积公式的应用主要有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8、D【解析】由题可得函数为偶函数，且在上为增函数，可得，然后利用余弦函数的性质即得.【详解】∵函数，定义域为R，∴，∴函数为偶函数，且在上为增函数，，∵，∴，即，又，∴.故选：D.9、B【解析】根据函数为奇函数得到，，再计算时，得到答案.【详解】定义在上的奇函数，则，；当时，，则当时，；故的值域是故选：【点睛】本题考查了函数的值域，根据函数的奇偶性得到时，是解题的关键.10、A【解析】由于，所以.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设出点的坐标，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以，，，所以故该点到原点的距离为，故填.【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.12、【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.【详解】函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案为：13、(1，2)【解析】分类讨论得到当时符合题意，再令在[0，1]上恒成立解出a的取值范围即可.【详解】令，当时，为减函数，为减函数，不合题意；当时，为增函数，为减函数，符合题意，需要在[0，1]上恒成立，当时，成立，当时，恒成立，即，综上.故答案为：(1，2).14、【解析】设函数解析式为，由题意将、代入求出参数值，即可得解析式.【详解】设，由题意知：，当时，，则，，令得；当时，，则，，令得，所以.故答案为：.15、，【解析】利用“秦九韶算法”可知：即可求出.【详解】由“秦九韶算法”可知：，当求当时的值的过程中，，，.故答案为：【点睛】本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题.16、【解析】根据半保值函数的定义,将问题转化为与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.【详解】因为函数且是“半保值函数”，且定义域为，由时，在上单调递增，在单调递增，可得为上的增函数；同样当时，仍为上的增函数，在其定义域内为增函数，因为函数且是“半保值函数”，所以与的图象有两个不同的交点，所以有两个不同的根，即有两个不同的根,即有两个不同的根,可令，，即有有两个不同正数根，可得，且，解得.【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“半保值函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）奇函数（3）【解析】(本小题满分14分)(1)由，得∴函数的定义域为.…4分（2）函数的定义域为关于原点对称，∵∴是奇函数．……………8分(3)由，得.…10分∴，由得，∴…12分得，解得.∴使成立的的集合是．……14分18、（1）（2）【解析】（1）通过，求出．得到函数的解析式，解方程，求解函数的零点即可（2）利用换元法令，，，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可【小问1详解】解：的图象关于原点对称，奇函数，，，即，．所以，所以，令，则，，又，，解得，即，所以函数的零点为【小问2详解】解：因为，，令，则，，，对称轴，当，即时，，；②当，即时，，（舍；综上：实数的值为19、(1)(2)【解析】（1）由入射光线与反射光线的关系可知关于轴对称故斜率互为相反数（2）∵恒过点，∴作于，则，∴当时最大.即，时点到的距离最大.设所围三角形的内切圆的方程为，则，解得试题解析：(1)∵，∴.∴入射光线所在的直线的方程为.∵关于轴对称，∴反射光线所在的直线的方程为.(2)∵恒过点，∴作于，则，∴当时最大.即，时点到的距离最大.∵，∴，∴的方程为.设所围三角形的内切圆的方程为，则，解得(或舍去)，∴所求的内切圆方程为.20、（1），（2）【解析】（1）设圆圆心为，则由题意得，求出的值，从而可得所求圆的方程；（2）设圆心到直线：的距离为，原点到直线：的距离为，则有，，再由的面积为，列方程可求出的值，进而可得直线方程【详解】解：（1）设圆的圆心为，由题意可得，则的中点坐标为，因为圆：关于直线：对称的图形为圆，所以，解得，因为圆和圆的半径相同，即，所以圆的方程为，（2）设圆心到直线：的距离为，原点到直线：的距离为，则，，所以所以，解得，因为，所以，所以直线的方程为【点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系